Javascript: Рисуем с помощью кривых Безье

Доброго времени суток, хабражители!
Мне очень нравятся барочные элементы. В очередной раз встретив подобный узор на одном из сайтов, представил, как бы он чудесно смотрелся в анимации, картинка бы ожила. Тем более с приходом html5 оживление должно стать гораздо проще в реализации. Но как по точкам нарисовать кривую? Тут как раз кстати вспомнилась кривая Безье!

На уроках векторной графики я люто ненавидел кривые Безье. Принцип ее работы казался магическим, непостижимым и, как бы не сказать грубее, нелогичным. Складывалось ощущение, что сама кривая не знает как извернуться, и как наглый котяра растягивалась как ей удобнее, а не как мне надо.

На самом деле, как всегда, надо было лишь уделить немного времени теории. Все оказалось просто и довольно интересно. В итоге получилась реализация кривых на яваскрипте с использованием canvas.
Кому интересно как строится эта извилистая бестия добро пожаловать под кат!

Немного теории

Начнем с принципа построения. Кривая Безье строится по нескольким опорным точкам. Образно говоря: кривая начинается в нулевой опорной точке, начинает двигаться к первой, но вдруг замечает вторую — начинает тяготеть к ней, плавно меняет свой маршрут в ее сторону, а тут на горизонте появляется третья, еще более привлекательная… И так пройдя стороной мимо всех точек, кривая останавливает свой выбор на последней опорной точке, куда и приходит. Путь получается как у алкоголика идущего под утро домой.


От лирики перейдем к суровой математике.

Теория нагло заимствована из Википедии:

Кривая Безье является частным случаем многочленов Бернштейна, представляет собой параметрическую кривую и задаётся выражением:

, где

n — количество опорных точек;
i — номер опорной точки;
t — шаг на котором мы считаем положение кривой. К примеру, при построении кривой по 100 точкам, шаг будет 0,01 (не опорным, а точкам на самой кривой);
Р — в нашем случае координата опорной точки;
b(t) — базисная функция кривой Безье. Этот коэффициент, определяет вес опорной точки. Является собственно полином Бернштейна:



, где — число сочетаний из n по i, где n — степень полинома, i — порядковый номер опорной вершины.

На первом и последнем шагах значение полинома Бернштейна равно 1, объяснение здесь. На середину кривой наибольшее влияние оказывают средние опорные точки, в первой трети — опорные точки первой трети и так далее. Полином Бернштейна принимает значения от 0 до 1.

И так, чтобы посчитать координату кривой Безье нам надо:

1. Посчитать вес опорной точки;
2. Умножить вес на координату этой опорной точки;
3. Повторить шаги 1-2 для всех опорных точек;
4. Сложить получившиеся значения — это и будет координата кривой.

С теорией вроде разобрались, переходим к практике.

Ура! Практика.

Считаем базисную функцию:

// i - номер вершины, n - количество вершин, t - положение кривой (от 0 до 1)
function getBezierBasis(i, n, t) {
	// Факториал
	function f(n) {
		return (n <= 1) ? 1 : n * f(n - 1);
	};
	
	// считаем i-й элемент полинома Берштейна
	return (f(n)/(f(i)*f(n - i)))* Math.pow(t, i)*Math.pow(1 - t, n - i);
}

Далее получаем координаты кривой.
Построить кривую Безье можно в трехмерном, четырехмерном пространстве и так далее, но мы остановимся на плоскости.

// arr - массив опорных точек. Точка - двухэлементный массив, (x = arr[0], y = arr[1])
// step - шаг при расчете кривой (0 < step < 1), по умолчанию 0.01
function getBezierCurve(arr, step) {
	if (step == undefined) {
		step = 0.01;
	}
	
	var res = new Array()
	
	for (var t = 0; t < 1 + step; t += step) {
		if (t > 1) {
			t = 1;
		}
		
		var ind = res.length;
		
		res[ind] = new Array(0, 0);
		
		for (var i = 0; i < arr.length; i++) {
			var b = getBezierBasis(i, arr.length - 1, t);
			
			res[ind][0] += arr[i][0] * b;
			res[ind][1] += arr[i][1] * b;
		}
	}
	
	return res;
}

Рисуем кривую:

// ctx - rendering context холста, arr - массив точек по которым строим кривую
// delay - задержка перед отрисовкой следующей точки, pause - пауза перед началом  рисования,
function drawLines(ctx, arr, delay, pause) {
	if (delay == undefined) {
		delay = 10;
	}
	
	if (pause == undefined) {
		pause = delay;
	}
	var i = 0;
	
	function delayDraw() {
		if (i >= arr.length - 1) {
			return;
		}
		
		ctx.moveTo(arr[i][0],arr[i][1]);
		ctx.lineTo(arr[i+1][0],arr[i+1][1]);
		ctx.stroke();
	
		++i;
		
		setTimeout(delayDraw, delay);
	}
	
	setTimeout(delayDraw, pause);
}

Пора пробовать:

drawC = document.getElementById('bezier');
drawC.width = document.width - 30;
drawC.height = document.height - 30;
		
if (drawC && drawC.getContext) {
	ctx = drawC.getContext('2d');
	ctx.fillStyle="#33CC99";
	ctx.lineWidth=0.1;
			
	var flow; // Массив координат кривой
	var arr = new Array();

	arr[0] = new Array(0, 100);
	arr[1] = new Array(100, 80);
	arr[2] = new Array(150, 150);
	arr[3] = new Array(200, 155);
	flow = getBezierCurve(new Array(arr[0], arr[1], arr[2], arr[3]), 0.01);
	drawLines(ctx, flow, 10);
}

Пример на jsfiddle

Ссылки по теме:
Статья на javascript.ru

upd: Стандарт HTML5 поддерживает методы quadraticCurveTo и bezierCurveTo для построения кривых Безье по трем и четырем точкам соответственно. Спасибо lany.