На сайте бесплатных лекций MIT OpenCourseWare выложен курс лекций по космологии Алана Гуса, одного из создателей инфляционной модели вселенной.

Вашему вниманию предлагается перевод шестой лекции: «Динамика однородной расширяющейся вселенной, часть 2».


Невозможность существования статичной вселенной


Давайте кратко повторим, на чем мы остановились в прошлый раз, поскольку мы не закончили предыдущую тему.

Мы рассматривали абсолютно однородную вселенную, в которой вещество заполняет все пространство. Вспомним, что Ньютон пришел к выводу, что такая система будет статичной. Однако я утверждаю, что такая система не будет статичной даже согласно законам Ньютоновской механики.


Я привел несколько доказательств. Мы, например, рассмотрели теорему Гаусса для закона тяготения Ньютона. При помощи достаточно простых рассуждений мы перешли от закона тяготения Ньютона, сформулированного как сила, действующая на расстоянии, к закону Гаусса. Если сила тяготения описывается законом Ньютона, то для любой частицы, создающей гравитационное поле, выполняется закон Гаусса.

Поток вектора гравитационного ускорения $\vec g$ через любую замкнутую поверхность равен $-4πGM$, где $M$ — масса внутри поверхности. Если мы применим закон Гаусса к бесконечному распределению вещества, и предположим, что Ньютон был прав, и нет гравитационных сил, это означало бы, что гравитационное ускорение $\vec g$ было бы везде равно нулю. Тогда поток $\vec g$ через любую поверхность тоже будет равен нулю. Однако $-4πGM$ явно не равно нулю для любого объема с ненулевым размером, содержащего ненулевую массу. Таким образом, такая формулировка закона тяготения Ньютона ясно показывает, что бесконечное распределение вещества не может быть статичным.

Кроме того, я показал другую, более современную формулировку закона тяготения Ньютона, так называемого уравнение Пуассона. Она была приведена для тех, кто с ней знаком. Если вы с ней не знакомы, ни чего страшного. В этом нет необходимости.


Для этой формулировки закона гравитации мы введем гравитационный потенциал φ, и запишем гравитационное ускорение как минус градиент φ. Тогда можно показать, что φ подчиняется уравнению Пуассона,

$∇^2φ = 4πGρ$

, где ρ – плотность массы.

Опять, сразу видно, что статичное распределение вещества невозможно. Если бы распределение вещества было статичным, то вектор $\vec g$ был бы равен 0. Это означает, что градиент φ был бы равен 0. Это означало бы, что φ было бы константой. Если φ являлось бы константой, $∇^2φ$ было бы равно 0, а это несовместимо с уравнением Пуассона.

Хочу также добавить, что с современной точки зрения, такие уравнения, как уравнение Пуассона, считаются более фундаментальными, чем первоначальное уравнение Ньютона, рассматривающего гравитацию как действие на расстоянии. В частности, при обобщении закона Ньютона на общую теорию относительности Эйнштейн начал с уравнения Пуассона, а не с закона, описывающего силу на расстоянии.

В общей теории относительности нет закона, описывающего действие силы на расстоянии. Общая теория относительности формулируется способом, очень похожим на уравнение Пуассона. Ключевая идея, лежащая в основе такого подхода, заключается в том, что все известные нам законы физики могут быть выражены локально.

Уравнение Пуассона – это локальное уравнение. Это дифференциальное уравнение, которое выполняется в каждой точке пространства и ничего не говорит о том, как материя в одной точке пространства влияет на материю в другой точке. Это влияние является следствием уравнения, а не встроено в уравнение изначально.

Неоднозначность вычисления гравитационного ускорения


Затем мы обсудили, что будет, если сложить силы, используя закон Ньютона и действие на расстоянии. Я показал, что получится условно сходящийся интеграл. Такой интеграл сходится, но он может сходиться к разным значениям в зависимости от того, в каком порядке складывать разные части интеграла.


Мы рассмотрели два возможных порядка сложения сил. Мы вычислили силу в точке $P$, находящейся внутри бесконечного распределения вещества. Можно считать, что вся картинка заполнена веществом. В нашей задаче вещество равномерно заполняет всю картинку и всю вселенную. Единственное, что мы будем делать по-разному в наших двух вычислениях — это суммировать создаваемые веществом силы в разном порядке.

Если брать вещество, упорядоченное по концентрическим оболочкам вокруг $P$, то каждая оболочка не создает никакой силы в точке $P$. Поэтому в пределе, когда мы сложим бесконечное количество оболочек, сумма все равно будет равна 0. Таким образом, для этого случая мы получаем $\vec g$ равное 0.

Но закон Ньютона ничего не говорит нам, в каком порядке складывать силы. Закон Ньютона просто утверждает, что каждая масса создает силу пропорциональную $1/r^2$, и что это вектор. Согласно Ньютону нужно сложить векторы сил, создаваемые каждой массой. Обычно сложение векторов коммутативно. Не имеет значения, в каком порядке мы их складываем. Но в нашем случае порядок сложения имеет значение. Поэтому, ответ неоднозначен.

Чтобы это увидеть, мы рассмотрим другой порядок сложения. Мы по-прежнему будем использовать сферические оболочки, потому что с ними проще работать. Можно было бы складывать другим способом, но любую другую форму гораздо сложнее использовать.

На этот раз мы рассмотрим сферические оболочки, с центром в другой точке. Мы назовем эту точку $Q$. Мы опять вычислим силу в точке $P$, создаваемую бесконечным распределением вещества, заполняющим пространство, то есть решим ту же задачу, что и раньше, но будем складывать силы в другом порядке.

В прошлый раз мы показали, что все вещество внутри сферы, с центром в $Q$ и радиусом меньше расстояния от $Q$ до $P$, дает вклад в силу в точке $P$. А все остальное вещество может быть разбито на сферические оболочки, для которых точка $P$ находится внутри. Внутри сферической оболочки сила равна нулю. Так что все остальное вещество не вносит никакого вклада.

В данном случае сила в точке $P$ равна силе, создаваемой точечной массой, расположенной в $Q$, и массой равной общей массе затененной области. Очевидно, что эта сила не равна нулю. Кроме того, очевидно, что мы можем получить какую угодно силу, выбирая различные точки $Q$. Мы можем увеличить силу, выбрав более далекую точку. Поскольку сила всегда будет указывать в направлении точки $Q$, мы можем получить силу в любом направлении, выбрав точку $Q$ в соответствующем месте.

Поэтому, в зависимости от того, как мы суммируем силы, мы можем получить любой ответ. Таким образом, описание гравитации как действие на расстоянии, приводит к неоднозначности. Описание гравитации в виде закона Гаусса или закона Пуассона показывает, что система не может быть статичной. Скоро мы попробуем выяснить, как именно она будет себя вести.

Проблема симметрии


Теперь я хочу вернуться к аргументу, который убедил Ньютона в статичности вселенной. Ньютон считал, что при вычислении гравитационного ускорения в определенной точке в бесконечном распределении вещества возникает проблема симметрии. Все направления из этой точки выглядят одинаково. Если существует гравитационное ускорение в данной точке, то куда оно должно быть направлено? Этот аргумент симметрии очень логичный и звучит очень убедительно. Не может быть никакого ускорения, просто потому, что не существует никакого предпочтительного для него направления.

Вероятно, было бы трудно убедить Ньютона в ошибочности данного аргумента. Я не знаю, удалось бы нам его убедить его или нет. У нас нет возможности попробовать это сделать.
Но если бы у нас была такая возможность, мы попытались бы объяснить ему, что ускорение обычно измеряется в инерциальной системе отсчета. Ньютон сам всегда его так описывал. Для него существовала уникальная инерциальная система отсчета, с точностью до постоянной скорости, определяемая относительно неподвижных звезд. Это терминология Ньютона. Так он определял инерциальную систему отсчета. Все его законы физики были справедливы в этой инерциальной системе.

С другой стороны, если все пространство заполнено материей, которая, как мы утверждаем, будет сжиматься, то неподвижных звезд не существует. Пропадает сама идея инерциальной системы отсчета. Не существует объекта, который был бы в покое или двигался равномерно относительно любой потенциальной инерциальной системы отсчета.

В отсутствие инерциальной системы отсчета нужно признать, что все ускорения, как и скорости, являются относительными. Можно говорить об ускорении одной частицы относительно другой. Но нельзя говорить об абсолютном ускорении частицы, потому что не существует инерциальной системы отсчета, в которой можно измерить ускорение.

Когда все ускорения относительны, оказывается, что правильное описание, которое мы в конечном итоге выведем, это описание, похожее на закон Хаббла. Закон Хаббла — это закон о скоростях. Он гласит, что с точки зрения любого наблюдателя все остальные объекты удаляются от этого наблюдателя. Несмотря на то, что кажется, что наблюдатель находится в особом месте, можно перейти к системе отсчета любого другого наблюдателя и увидеть абсолютно ту же самую картину. Таким образом, то, что все объекты удаляются от наблюдателя, не нарушает однородности. Это не нарушает симметрию, которую мы пытаемся включить в систему. То же самое относится и к ускорению. Я не буду сейчас это доказывать. Мы покажем это в ходе наших будущих расчетов.

В нашей коллапсирующей вселенной любой наблюдатель может считать себя находящимся в покое. Тогда наблюдатель увидит, что все остальные частицы ускоряются по направлению к нему. Хотя это звучит так, будто наблюдатель находится в особенном месте, это не так. Можно перейти в систему отсчета любого другого наблюдателя и увидеть, что теперь он находится в покое, а все остальные объекты ускоряются по направлению к нему.

Математическая модель вселенной


Теперь мы готовы пойти дальше и построить математическую модель, которая покажет нам, как будет вести себя равномерное распределение вещества. Сначала мы устраним проблему бесконечностей. Для этого мы начнем с конечного шара. Затем, в самом конце, мы увеличим размер этого шара до бесконечности.

Наша цель — построить математическую модель нашей вселенной. Мы хотим включить в нее три особенности, которые ранее обсуждали — изотропию, однородность и закон Хаббла. Мы построим ее как механическую систему, используя известные нам законы механики. Мы будем использовать законы Ньютона. Но я уверяю вас, что, хотя мы будем использовать законы Ньютона, ответ, который мы получим, в точности совпадет с ответом, даваемым общей теорией относительности. Позже мы обсудим, почему это так. Мы не будем тратить время на приближенные расчеты. Мы получим абсолютно верный расчет, который даст нам абсолютно правильный ответ.


Для того, чтобы построить модель вселенной, мы представим, что наша вселенная представляет собой наполненный веществом шар конечного размера. Пусть $t_i$ – это начальный момент времени на нашей картинке. Этот момент времени не обязан быть каким-то особенным, с точки зрения эволюции вселенной. Когда мы построим модель, мы сможем вычислить, как вселенная будет вести себя во времена более поздние, чем $t_i$ и во времена более ранние, чем $t_i$. $t_i$ — это просто текущее время.

Для времени $t_i$ мы зададим нашему шару максимальный размер $R_{max,i}$. Я назвал его максимальным, поскольку шар заполнен частицами. Таким образом, это начальное максимальное расстояние от центра шара до любой частицы. Начальное имеется ввиду во время $t_i$. Мы будем считать заполняющее шар вещество пылью из очень мелких частиц. Вещество имеет плотность $ρ_i$. Вещество однородно и изотропно, по крайней мере изотропно из центра.

Теперь мы хотим добавить закон Хаббла. Пусть у нас все вещество, в нашей модельной вселенной, расширяется, причем расширяется точно согласно закону Хаббла. А именно, все скорости будут направлены от центра с величиной, пропорциональной расстоянию. Я обозначу скорость частицы $v_i$, $i$ означает начальная скорость. Для любой частицы в начальный момент скорость будет подчиняться закону Хаббла. Она будет равна некоторой константе, которую я назову $H_i$ — начальное значение постоянной Хаббла, умноженной на вектор $\vec r$, который равен вектору от центра шара до частицы. Он показывает, где находится рассматриваемая частица.

$\vec v_i = H_i \cdot \vec r $



Таким образом, $\vec v_i$ — начальная скорость любой частицы. $H_i$ — начальная постоянная Хаббла. А $\vec r$-положение частицы.

Как я уже сказал, мы начнем с конечной по размеру системы, с которой мы умеем работать. Мы знаем, как однозначно вычислить, по крайней мере, в принципе, как такая система будет эволюционировать при заданных начальных условиях. В конце расчета мы перейдем к пределу, когда $R_{max,i}$ стремится к бесконечности. Таким образом мы распространим нашу модель на бесконечное пространство.

Небольшое отступление о бесконечностях


Хочу еще сказать несколько слов о бесконечности, поскольку недавно встретился с одной интересной вещью. Это небольшое отступление, вы можете не обращать на него внимания. Но тем, кому интересно, понятие бесконечности преподнесло неожиданный сюрприз при рассмотрении мультивселенной, о которой я немного рассказал в обзорной лекции, и к которой мы вернемся в конце курса.

Мультивселенная заставила работать с бесконечностями гораздо осторожнее, чем раньше. В процессе я узнал некоторые вещи о бесконечности, которые меня удивили. В основном, в физике мы рассматриваем бесконечность как предел конечных систем, как мы поступаем в нашей модели. Если мы хотим понять поведение бесконечной системы, в физике мы очень часто начинаем с рассмотрения конечной системы, с которой гораздо легче работать математически. Затем мы берем предел, при котором система становится все больше и больше.

В физике это работает почти во всех ситуациях. Я полагаю, что это работает потому, что мы исходим из того, что физические взаимодействия являются локальными. То, что происходит очень далеко, не влияет на происходящее здесь.

По мере того, как мы делаем нашу сферу все больше и больше, мы добавляем вещество на все больших и больших расстояниях. Это новое вещество, который мы добавляем, не будет сильно влиять на то, что происходит внутри. На самом деле, в нашей задаче, дополнительное вещество, добавляемое снаружи, не будет имеет никакого влияния на то, что происходит внутри, из-за того, что гравитационное поле внутри сферической оболочки равно 0.

Это типичная ситуация, и из-за этого физики склонны всегда рассматривать бесконечности как пределы конечных систем. Однако я хочу отметить, что это не всегда правильно. Бывают случаи, когда это абсолютно неправильно. Математики знают об этом, а физики – обычно нет.

Поэтому я хочу отметить, что не все бесконечности хорошо описываются как пределы конечных систем. Это не относится к описанию нашей модельной вселенной. Здесь у нас все хорошо. Мы продолжим обсуждение нашей модели после того, как я закончу свое небольшое отступление.

В качестве примера системы, которая бесконечна и не очень хорошо описывается как предел конечных систем, можно взять множество натуральных чисел $\mathbb N$.

Предположим, мы хотим описать множество натуральных чисел как предел конечного множества. Можно попробовать считать множество всех натуральных чисел как множество натуральных чисел меньших N при N стремящемся к бесконечности. Если мы берем наборы из все большего и большего количества чисел и берем предел, получим ли мы множество всех натуральных чисел?

Можно подумать, что ответ утвердительный. Я утверждаю, что получившееся множество не равно множеству целых чисел. На самом деле, я утверждаю, что предел вообще не существует, поэтому он не может быть равен множеству целых чисел.

Чтобы это прояснить, я напомню вам, что такое предел. Поскольку у нас не математический курс, я не буду давать строгого определения. Я просто приведу вам пример, который освежит в памяти факты, которые вы узнали на математических курсах.

Предположим, мы рассматриваем предел $sin(x)/x$ при $x$ стремящемся к 0. Известно чему он равен. Обычно используют правило Лопиталя. Но можно просто напрямую использовать определение предела. Значение предела равно 1.

Для любого $x$ не равного 0, мы можем вычислить это выражение. При $x=0$ выражение неоднозначно. По мере того, как $x$ становится все ближе и ближе к 0, получаемые числа становятся все ближе к 1. Мы можем получить число сколь угодно близкое к 1, выбрав $x$ достаточно близко к 0.

Если применить то же понятие к множеству целых чисел от 1 до N, будет ли оно приближаться к множеству всех натуральных чисел при увеличении N? Близки ли числа от 1 до 10 к множеству всех натуральных чисел? Нет. А от 1 до миллиона? Все еще бесконечно далеко. От 1 до миллиарда? От 1 до 10 в сотой степени?

Независимо от того, какое число мы выберем в качестве верхнего предела, мы все равно бесконечно далеки от множества натуральных чисел. Мы не становимся ближе. Наши множества не сходятся к множеству натуральных чисел. Это другое понятие.

Какое это имеет значение? Есть ли какие-либо вопросы, где важно, считаете ли вы натуральные числа определенные каким-либо другим способом или этим пределом? Давайте сначала я скажу, как они определяются.

Если спросить у математиков, как они определяют множество натуральных чисел, я думаю, все они скажут, что они используют аксиомы Пеано. Ключевой пункт в аксиомах Пеано, который определяет факт существования бесконечного числа натуральных чисел, это аксиома следования.

Одной из аксиом Пеано, которые математически описывают натуральные числа, является утверждение, что у каждого натурального числа имеется число, следующее за ним. Кроме того, имеются другие утверждения, которые гарантируют, что следующее число не является одним из предыдущих. Таким образом, для любого числа, имеется еще большее число. Этот набор аксиом изначально гарантирует бесконечность множества натуральных чисел. Оно не рассматривается как предел конечных множеств и не может рассматриваться как предел конечных множеств. Потому что никакое конечное множество не похоже на бесконечное множество.

Имеет ли это значение? Существуют ли задачи, в которых важно, можем ли мы описать целые числа таким образом или нет? Я признаю, что те задачи, которые я знаю, звучат надуманно. Но хочу сказать, что в математике слово «надуманный» не имеет значения. Если вы где-то обнаружите противоречие, никто не скажет вам, что это противоречие стоит игнорировать, потому что оно надумано. Если это действительно противоречие, оно имеет значение.

Вопрос, в котором действительно имеет значение, рассматриваем ли мы натуральные числа как изначально бесконечные, или мы рассматриваем их как предел, это, например, вопрос — какая часть натуральных чисел настолько велика, что при удвоении они перестают быть натуральными числами?

Если мы рассмотрим конечное множество, для любого N, независимо от того, насколько велико N, половина целых чисел из этого множества настолько велика, что их нельзя удвоить, так, чтобы они остались в этом множестве. Это соотношение будет выполняться независимо от того, насколько большим мы выбрали N.

С другой стороны, если мы посмотрим на бесконечный ряд натуральных чисел, мы знаем, что любое натуральное число может быть удвоено, мы просто получим другое натуральное число. Это пример свойства натуральных чисел, которое будет неверным, если считать множество натуральных чисел пределом. Так делать нельзя.

Это было небольшое отступление. Это просто предупреждение о том, что нужно быть осторожным по отношению к бесконечности как пределу конечных множеств. Однако, оно не имеет прямого отношения к нашей теме.

Замечание об используемой форме
Давайте вернемся к нашей модели. Хочу еще сделать пару замечаний о форме, используемой в модели. Мы используем сферы. Вы можете спросить, почему сферы?

Сфера, безусловно, самая простая форма, с которой мы можем работать. Сфера также гарантирует изотропию, по крайней мере, изотропию из центра. Мы могли бы, проделав значительно больше работы, использовать, например, куб, увеличивая куб все больше и больше. По мере того, как куб становится все больше и больше, он также заполнит все пространство. Можно предположить, что этот другой способ даст тот же самый ответ. И это действительно так.

Если бы мы использовали кубы, у нас было бы гораздо больше вычислений. Но мы получили бы тот же самый ответ. Куб достаточно симметричен. В данном случае он даст такой же результат, что и сфера. Я не буду рассказывать вам, как вычислить результат для произвольной формы. Но я гарантирую, что куб даст тот же ответ.

С другой стороны, если мы будем использовать параллелепипеды, с тремя, или, по крайней мере, двумя разными сторонами, то мы начнем с изначально асимметричной фигуры. Одно из направлений будет выделенным. Затем, если мы будем использовать такие параллелепипеды, аналогично тому, как мы используем сферы, мы изначально создадим анизотропию. Мы получим анизотропную модель вселенной.

Так как мы пытаемся смоделировать реальную вселенную, которая в высокой степени изотропна, мы используем форму, которая гарантирует изотропию. Сфера — это самая простая форма, которую можно использовать.

Роль вещества в эволюции вселенной


Теперь, давайте добавим динамику в нашу модель. Динамика, которую мы добавим, будет чисто Ньютоновской динамикой. Мы будем считать вещество, которое наполняет сферу, пылью Ньютоновских частиц, или, если хотите, газом Ньютоновских частиц.

Эти частицы будут нерелятивистскими, что подразумевается под словом Ньютоновские. Эта модель описывает нашу реальную вселенную для значительного отрезка ее эволюции, но не для всего периода эволюции. Прежде чем мы продолжим, я хочу сказать несколько слов о реальной вселенной и о том, какая материя доминировала в ней в разные эпохи эволюции.

В начале в нашей вселенной, как мы полагаем, господствовало излучение. Это означает, что, если проследить за эволюцией нашей вселенной назад во времени, и посмотреть, что происходило во все более ранние времена, фотоны космического фонового излучения будут испытывать синее смещение.

Мы выяснили, что они испытывают красное смещение по мере расширения вселенной. Это означает, что, если мы экстраполируем в обратном направлении, они будут испытывать синее смещение. Каждый фотон становится все более энергичными. Количество фотонов остается постоянным. Их концентрация увеличивается из-за уменьшения объема. И они становятся все более энергичными.

Между тем, концентрация частиц обычного вещества и темной материи, из чего бы она ни состояла, также увеличивается при движении назад во времени. Но они не становятся более энергичными. Протон остается частицей, энергия которой равна массе протона, умноженной на $c^2$.

Таким образом, по мере движения назад во времени, плотность энергии космического микроволнового фонового излучения становится все больше по сравнению с плотностью энергии вещества. Позднее мы научимся это точно вычислять. Они сравниваются при возрасте вселенной около 50 000 лет.

СТУДЕНТ: Если частицы — это волны, то почему они не меняются?

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ: На самом деле, немного меняются. Но мы предполагаем, что эти частицы имеют пренебрежимо малую скорость. Их импульс испытывает синее смещение. Но синее смещение пропорционально начальному значению. Если начальное значение очень мало, даже когда оно смещается в большую сторону, импульс все равно остается незначительным.

Таким образом, в реальной вселенной, до примерно 50 000 лет, доминировало излучение. Мы поговорим об этом через несколько лекций. Но сегодня мы это не учитываем. Затем, начиная с около 50 000 лет и до 9 миллиардов лет, довольно большой период в истории вселенной, во вселенной доминировало вещество. Вещество означает нерелятивистское вещество. Это стандартный термин в космологии. Когда мы говорим, что во вселенной доминирует вещество, хотя мы не используем слово нерелятивистское, это всеми подразумевается. Это случай, который мы будем сегодня рассматривать, обычное нерелятивистское вещество, заполняющее пространство.

Затем в нашей реальной вселенной произошло еще одно изменение – примерно с 9 миллиардов лет до настоящего времени и, предположительно, так же будет в будущем, во вселенной стала доминировать темная энергия. Темная энергия — это нечто, что заставляет вселенную ускоренно расширяться. Вселенная расширяется ускоренно начиная с примерно 9 миллиардов лет после Большого Взрыва.

Обычное вещество не превращается в темную энергию, как можно было бы предположить из-за смены доминирования. Просто они ведут себя по-разному при расширении вселенной. Плотность обычной материи уменьшается пропорционально кубу масштабного фактора. Фиксированное число частиц распределяется по все большему объему. Темная энергия, по причинам, о которых мы узнаем ближе к концу курса, не меняет свою плотность энергии по мере расширения вселенной. 9 миллиардов лет назад плотность обычной материи упала ниже плотности темной энергии. Затем темная энергия начала доминировать и вселенная начала расширяться ускоренно. Сегодня темная энергия составляет около 60% или 70% от общей энергии. Это не абсолютное доминирование. Но это самая большая часть.

Для сегодняшнего вычисления мы сосредоточимся на среднем периоде и притворимся, что это вся история. Мы еще вернемся и обсудим другие эпохи. Мы не будем их игнорировать. Но сегодня мы их обсуждать не будем.

Разбиваем на оболочки


Итак, мы рассмотрим вселенную, в которой доминирует вещество. Мы будем пользоваться Ньютоновской механикой. Несмотря на то, что мы будем использовать Ньютоновскую механику, уверяю вас, и позже постараюсь привести некоторые аргументы, она даст точно такой же ответ, как и общая теория относительности.

Для того, чтобы записать уравнения, описывающие расширение шара, мы будем использовать сферические оболочки. Мы представим наш шар в виде составляющих его оболочек. Другими словами, в начальный момент времени мы разделим вещество на оболочки. Мы введем обозначение для каждой из оболочек и проследим за их эволюцией.

Причина, по которой мы можем все вещество описать при помощи оболочек, заключается в том, что начальные скорости всех частиц направлены вдоль радиуса. Согласно закону Хаббла, скорости пропорциональны радиус-вектору, отложенному от центра шара. Поэтому, все наши начальные скорости направлены вдоль радиуса.

Кроме того, Ньютоновская сила тяжести для частиц, также будет направлена вдоль радиуса. Поэтому движение любой частицы будет направлено вдоль радиуса. Никогда не возникнет никаких сил, которые будут действовать на частицу в тангенциальном направлении, где тангенциальное означает любое направление, кроме радиального. При изменении радиуса каждой частицы, ее угловые переменные ϑ и ϕ будут постоянными во времени. Поэтому я больше не буду о них говорить.

Каждая оболочка имеет обозначение $r_i$, равное ее радиусу в начальный момент времени $t_i$. В дальнейшем это обозначение оболочки сохраняется.

Для описания движения мы введем функцию $r(r_i,t)$. Функция равна радиусу оболочки $r_i$ в момент времени $t$. Функция $r(r_i,t)$ показывает нам, где оболочка находится в любое более позднее или раннее время.

Должен сказать, что в учебнике вы увидите более простой вывод, чем тот, что я вам покажу. Зачем я его усложняю? Дело в том, что мой расчет покажет больше, чем тот, что приведен в учебнике. В большинстве учебников предполагается, что движение оболочек будет продолжать подчиняться закону Хаббла и сохранять полностью однородную плотность. Мы не будем предполагать, что вещество остается однородным. Мы докажем, что оно остается однородным. Мне кажется, гораздо лучше доказать что-то, чем просто предположить, не доказывая этого.

Есть еще одна проблема, которая немного сложнее. Опять же, это тонкость, которая, скорее всего, не упоминается в учебниках. У нас есть различные расширяющиеся оболочки. Мы можем вычислить силу, действующую на любую оболочку, если мы знаем какое вещество находится внутри этой оболочки. Оболочки снаружи не создают силы. Поэтому, очень важно знать, в каком порядке расположены оболочки. Изначально, мы, конечно, это знаем. Они упорядочены в соответствии с $r_i$. Но как только они начинают двигаться, в принципе, есть возможность, что оболочки начнут пересекать друг друга.

Если оболочки пересекутся, наши уравнения движения изменятся, потому что изменится количество вещества, действующего на оболочку. Мы должны будем принять это во внимание. К счастью, такая проблема не возникает. Мы покажем это следующим образом. Изначально все оболочки удаляются друг от друга согласно закону Хаббла. Закон Хаббла гласит, что любые две частицы удаляются друг от друга с относительной скоростью, пропорциональной их расстоянию. Это справедливо и для любых двух оболочек. Если оболочки начнут пересекаться, они точно не будут этого делать сразу. Не существует двух оболочек, которые изначально приближаются друг к другу. Все оболочки изначально отдаляются друг от друга.

Эта ситуация может поменяться из-за действующих сил. Однако, мы можем записать уравнения, которые будут выполняться, по крайней мере, до тех пор, пока не появятся пересечения оболочек. Если оболочки будут пересекаться, эти уравнения должны быть справедливы вплоть до времени пересечения оболочек. Поэтому уравнения должны показать, что оболочки будут пересекаться. Оболочки не могут начать пересекаться вопреки уравнениям движения. Мы увидим, что согласно нашим уравнениям, не будет никаких пересечений оболочек.

Итак, мы запишем уравнения, которые будут справедливы до тех пор, пока не будет пересечений оболочек. Пока нет пересечений оболочек, общая масса внутри любой оболочки не зависит от времени. Это просто другие оболочки, находящиеся внутри. Таким образом, на оболочку с начальным радиусом $r_i$, действует сила, создаваемая массой внутри оболочки. Мы можем записать формулу для массы внутри оболочки. Масса внутри оболочки с начальным радиусом $r_i$ равна начальному объему оболочки умноженному на начальную плотность массы, $ρ_i$

$M(r_i) = \frac {4π}3{r_i}^3ρ_i$



Составляем дифференциальное уравнение
Закон Ньютона определяет ускорение произвольной частицы в нашей системе. Закон Ньютона утверждает, что ускорение направлено в противоположенную сторону от единичного радиус-вектора до частицы и равно постоянной Ньютона, умноженной на массу внутри сферы, деленной на квадрат расстояния оболочки от начала координат. Именно это расстояние равно функции $r(r_i,t)$. Это радиус оболочки в конкретный момент времени.

$\vec g=-\frac {GM(r_i)}{r^2(r_i,t)}\hat r$



Это справедливо для любой оболочки, обозначаемой переменной $r_i$.

Это действительно важное уравнение. Все остальное следует из него. Оно отражает теорему Ньютона, что если масса распределена сферически симметрично, то масса любой оболочки большего радиуса, чем расстояние до частицы, не дает вклада в ускорение данной частицы. Ускорение определяется только массой оболочек меньших радиусов.

Мы знаем, что все движения происходят вдоль радиусов. Все, что нам нужно — это выяснить как $r$ меняется со временем. Мы можем записать это в виде обычного дифференциальное уравнения для $r$, без всяких векторов.

$\ddot r=-\frac{4π}3 \frac {Gr^3_iρ_i}{r^2}$



$\ddot r$ — это ускорение. Мы подставили $M(r_i)$ из предыдущей формулы. $r$ – это функция от $r_i$ и $t$. Я больше не буду это указывать.

При расширении системы $r_i$ является просто константой, различной для каждой оболочки, но постоянной во времени. Представим, что мы решаем задачу для конкретной оболочки. $ρ_i$ – это тоже константа. Она равна плотности в начальный момент времени и сохраняет свое значение.

Мы получили дифференциальное уравнение, в котором во времени меняется только $r$, и больше ничего. Это дифференциальное уравнение второго порядка для $r$.

Начальные условия


Есть одна вещь, которую вы все должны помнить, работая с дифференциальными уравнениями второго порядка. Для того, чтобы иметь единственное решение, нам нужны начальные условия. Если это уравнение второго порядка, а такими обычно получаются уравнения Ньютона, мы должны указать начальное положение и начальную скорость, чтобы уравнение второго порядка дало уникальный ответ.

Мы зададим начальное значение положения $r$ и начальное значение скорости $\dot r$ частицы. У нас получится система, которую мы можем отдать математику. Если математик достаточно умен, он сможет ее решить.

Итак, мы хотим задать начальное значение $r$, начальное означает в момент времени $t_i$. Очевидно, оно просто равно $r_i$.

$r(r_i,t_i)=r_i$



Если мы хотим иметь единственное решение для этого уравнения, то нам также нужно задать начальное значение скорости $\dot r$. Начальное опять означает во время $t_i$. Оно определяется постоянной Хаббла. Каждая начальная скорость частицы равна начальному значению постоянной Хаббла умноженной на радиус.

$\dot r=H_ir_i$



Это Хаббловское расширение, которое мы изначально ввели в систему. У нас получилась чисто математическая система. У нас имеется дифференциальное уравнение второго порядка и начальные условия для $r$ и $\dot r$. Оно дает уникальное решение. Это чистая математика. Больше не нужно никакой физики, по крайней мере на данном этапе.

Сохранение однородности


Можно заметить интересные математические особенности этой системы уравнений. Мы увидим, что данные уравнения чудесным образом сохраняют однородность нашей системы. Это встроено в уравнения. Ключевая особенность этих уравнений заключается в том, что можно избавиться от $r_i$ при помощи замены переменных.

Давайте определим новую функцию $u$. Я произвольно выбрал букву для обозначения, можно взять какую угодно.

$u(r_i,t) = \frac {r(r_i,t)}{r_i}$



Для любой функции, $r(r_i,t)$ всегда можно определить новую функцию, которая равна изначальной функции, деленной на $r_i$.

Теперь давайте посмотрим, что произойдет с нашими уравнениями. Я утверждаю, что $r_i$ исчезнет. Давайте посмотрим, как это произойдет:

$\ddot u = \frac {\ddot r}{r_i} = -\frac {4π}3 \frac {Gr^3_iρ_i}{r_ir^2} = -\frac {4π}3 \frac {Gr^3_iρ_i}{u^2r^3_i} = -\frac {4π}3 \frac {Gρ_i}{u^2} $



Из уравнения видно, за счет чего происходит сокращение $r_i$. $r_i$ в кубе в числителе пропорционален объему сферы. В знаменателе $r_i$ стоит также в кубе. Один $r_i$ появился за счет замены переменных, еще $r^2_i$ появился из-за закона обратных квадратов.

Таким образом, сокращение $r_i$ появляется, если сила убывает как $1/r^2$. Если бы сила убывала по другому закону, если бы она всего немного отличалась от $1/r^2$, тогда $r_i$ не сокращалось бы в формуле. Именно сокращение $r_i$ имеет решающее значение для обеспечения однородности при эволюции системы. Если, согласно Ньютону, сила убывает, как $1/r^2$ в квадрате, то система остается однородной. В противном случае, нет. Это очень интересный факт.

Итак, $r_i$ у нас сократилось. Теперь мы получаем простое уравнение для $\ddot u$, больше без $r_i$ в уравнении. Это означает, что $u$ дает решение для любого $r_i$. У нас больше нет разных решений для разных значений $r_i$. $r_i$ исчезает из задачи. У нас есть единственное решение, независимое от $r_i$. Оно справедливо для всех $r_i$.

Что я забыл упомянуть? Начальные условия. Чтобы получить единое решение, у нас должно быть не только дифференциальное уравнение, независимое от $r_i$. У нас не будет единого решения, если мы не проверим начальные условия, которые также не должны зависеть от $r_i$. И они не зависят.

Начальное значение $u(r_i, t_i)$ равно начальному значению $r$ деленному на $r_i$. Но начальное значение $r$ равно $r_i$. Для любого $r_i$ мы получаем:

$u(r_i,t_i)=\frac {r_i}{r_i}=1$



Теперь рассмотрим начальное значение $\dot u$. Оно равно

$\dot u(r_i,t_i)=\frac {\dot r}{r_i}=\frac {H_ir_i}{r_i}=H_i$



Интерпретация переменных


Если посмотреть внимательнее, то можно понять физическую интерпретацию величины $u$. $u$ является не чем иным, как масштабным фактором, о котором мы говорили ранее.

Мы доказали, что у нас получилась однородно расширяющаяся система. Изначально у нас было однородное расширение, но мы не знали, пока не рассмотрели уравнение движения, будет ли вселенная продолжать расширяться однородно. Однако это так. Это значит, что расширение можно описать при помощи масштабного фактора.

Мы выяснили, что $u$ полностью определяется уравнениями, в которых нет $r_i$. Таким образом, $u$ не зависит от $r_i$ и может рассматриваться как просто функция от времени $t$. Мы также можем изменить его название на $a(t)$, чтобы установить идентичность с масштабным фактором:

$u(r_i,t)=u(t) \equiv a(t)$



Также видно, что

$r(r_i,t)=u(t)r_i=a(t)r_i$



Что это означает? $r_i$ является сопутствующей координатой. Мы пометили каждую оболочку согласно ее начальной позиции, $r_i$. По мере расширения, для каждой оболочки метка $r_i$ сохраняется. Она помечает частицы независимо от того, куда они перемещаются. А $r$ — это физическое расстояние, в данном случае от начала координат, равное масштабному фактору, умноженному на сопутствующее расстояние.

Эти уравнения полезно написать в другом виде. Предыдущее дифференциальное уравнение использовало $ρ_i$. Это очень удобно, потому что $ρ_i$ является константой. Она не меняется со временем. Тем не менее, полезно также написать дифференциальное уравнение с использованием значения $ρ$, которое меняется со временем, чтобы видеть отношения между физическими величинами в данный момент времени. Это не трудно сделать, потому что мы знаем, какова плотность в любой момент времени.

Для любой оболочки мы можем рассчитать плотность как общую массу внутри оболочки, деленную на объем. Мы знаем, что плотность остается однородной, поскольку у нас все расстояния просто пропорциональны общему масштабному фактору. Поэтому плотность будет однородной.

Мы можем вычислить плотность внутри оболочки, взяв $M(r_i)$, для которой у нас уже есть формула, и которая не зависит от времени, и разделив ее на объем внутри оболочки.

$ρ(t)=\frac {M(r_I)}{\frac {4π}3r^3}=\frac {\frac{4π}3r^3_iρ_i}{\frac {4π}3a^3r^3_i}=\frac {ρ_i}{a^3}$



Это ожидаемый результат. Плотность равна первоначальной плотности, деленной на куб масштабного фактора. Масштабный фактор равен 1 в начальный момент времени, согласно нашим определениям. Таким образом, в уравнении получается отношение масштабных факторов в кубе. По мере расширения вселенной плотность падает обратно пропорционально масштабному фактору в кубе.

Теперь мы можем переписать уравнение для $\ddot a$, используя текущую плотность массы.

$\ddot a= \frac {4π}3 \frac {Gρ_i}{a^2} = \frac {4π}3 \frac {Gρ_i}{a^2} \frac aa = \frac {4π}3Gρ(t)a$



Это уравнение дает замедление нашей модельной вселенной в зависимости от текущей плотности массы. Заметьте, что оно действительно зависит только от плотности массы. Оно определяет отношение $\ddot a/a$. Так и должно быть, потому что вспомним, что $a$ измеряется в делениях на метр. При этом деления сокращаются. Мы получаем ответ в физических единицах.

Я сказал в начале, что, когда мы закончим, мы возьмем предел, когда начальный максимальный радиус $R_{max,i}$ стремится к бесконечности. $R_{max,i}$ не появляется ни в одном из этих уравнений. Поэтому, при стремлении $R_{max,i}$ к бесконечности, на самом деле не ничего не происходит. Это означает, что ответ, который мы получили, не зависит от того, насколько велик шар, если все, что мы рассматриваем, находится внутри шара. Добавление дополнительного вещества снаружи ничего не меняет. Таким образом, в пределе, мы добавляем бесконечное количество вещества снаружи. Чтобы перейти к пределу $R_{max,i}$ стремящемся к бесконечности, не нужно ничего делать.

В конечном счете мы хотим получить различные решения этого уравнения и понять, как они выглядят. Сегодня я хочу сделать еще один шаг в этом направлении, переписав уравнение немного по-другому, что поможет нам выяснить, как выглядят решения. Я хочу найти первый интеграл этого уравнения.

Первый интеграл и закон сохранения энергии


Чтобы найти первый интеграл, я хочу вернуться к уравнению, где используется $ρ_i$, а не $ρ(t)$. Его преимущество заключается в том, что $ρ_i$ не зависит от времени. У $ρ$ имеется своя зависимость от времени, которую я не хочу сейчас учитывать. Поэтому, если я использую формулу в которой используется $ρ_i$, зависимость от времени будет только у масштабного фактора.

Я использую предыдущее уравнение, но я заменю $u$ на $a$, потому что мы переименовали $u$ в $a$. Я также перенесу все члены в одну сторону. Получается

$\ddot a +\frac {4π}3 \frac {Gρ_i}{a^2} =0$



Это дифференциальное уравнение второго порядка, которые очень часто встречаются в Ньютоновской механике, это уравнение определяет $\ddot a$, ускорение $a$, через значения $a$.

В Ньютоновской механике часто можно использовать закон сохранения энергии. В данном случае я не знаю, стоит ли называть это сохранением энергии. Позже мы поговорим о том, какой физический смысл имеет полученный нами результат. Но, конечно, в качестве математического приема, мы можем использовать тот же метод, который используется в Ньютоновской механике для получения закона сохранения энергии.

Чтобы получить закон сохранения энергии, соответствующий этому уравнению, мы умножим уравнение на интегрирующий множитель, $\dot a$. После этого все выражение станет полной производной. Это уравнение эквивалентно

$\frac {dE}{dt}=0, \:\:\:где \;E=\frac 12 \dot a^2 - \frac {4π}3 \frac {G ρ_i}a$



Это можно легко проверить. Если я продифференцирую $E$, я получаю именно это уравнение. Так что они эквивалентны. Таким образом, $E$ является сохраняющейся величиной.

Теперь, если мы хотим связать $E$ с какой-либо энергией, имеются различные способы это сделать. Один из способов – это умножить $E$ на $mr^2_i$ и считать это энергией тестовой частицы на поверхности сферы. $m$ — это масса тестовой частицы. $r_i$ – начальный радиус тестовый частицы.

Таким образом $E_{phis}$, или физическая энергия гипотетической тестовой частицы будет равна

$E_{phys}=mr^2_iE=\frac 12 m(\dot a r_i)^2-\frac{GmM(r_i)}{ar_i} = \frac 12 mv^2-\frac{GmM(r_i)}r $



Если мы считаем, что для тестовой частицы $r_i$ — это $R_{max,i}$, то есть мы говорим о границе нашей сферы, тогда понятно, что здесь сохраняется. Получается кинетическая энергия плюс потенциальная энергия — где потенциальная энергия отрицательна — точечной частицы на границе сферы.

Если мы хотим применить это уравнение к частице внутри сферы, будет немного сложнее подобрать правильную интерпретацию. Если частица находится внутри сферы, если $r_i$ не равно максимальному радиусу сферы, то $E_{phis}$, на самом деле, не является потенциальной энергией частицы.

Для вычисления потенциальной энергией частицы нужно вычислить какую работу придется совершить, чтобы взять частицу на бесконечности и поместить ее на свое место. При этом учитывается вклад массы, находящейся внутри сферы на которой находится частица, которая определяет силу в этой точке. Но у нас также имеется вклад от вещества, находящегося за пределами сферы с частицей.

При вычислении потенциальной энергии я не получаю просто $Gm$ умноженное на массу внутри сферы, деленную на расстояние от центра. Я получу гораздо более сложное выражение. На самом деле, энергия, которую я получу, не сохраняется. Почему она не сохраняется?

Она не сохраняется, потому в присутствии движущихся масс нет причин для ее сохранения. Энергия точечной частицы, движущейся в поле статических масс, сохраняется. Это то, что вы знаете из соответствующих курсов. Если другие частицы движутся, то сохраняется общая энергия всей системы. Но потенциальная энергия конкретной частицы, движущейся в гравитационном поле других частиц, может не сохранятся.

Кроме энергии частицы на границе также сохраняется полная энергия системы. Она будет связана с $E$ другой константой пропорциональности и будет сохранятся по очевидной причине. Здесь нужно быть внимательным, чтобы понять, что именно сохраняется, почему и как это использовать.