Комментарии 18
сейчас наиболее известна модель дуального сверхпроводника предложенная Намбу, Хоофт, Мальдештам, - на её основе мои построения. Известно, что в сверхпроводниках второго рода в магнитном поле возникают тонкие нитевидные вихри Абрикосова, магнитный поток сжимается в тонкую трубку вихрем электронов вокруг неё. Смысл термина "дуальный" состоит в том что все электрические заряды заменяются на магнитные заряды, а электрические поля на магнитные, тогда вихрь будет состоять из магнитных зарядов (монополей), а внутри трубки будет проходить электрический поток. Этот хромо-электрический поток будет притягивать кварк и антикварк, поток будет сжиматься в трубку вихрем монополей. Действительно, компьютерные вычисления и многолетние наблюдения подтверждают существование трубок и монополей в вакууме КХД. три кварка вращаются на орбиталях вокруг общей оси, спины кварков стремятся встать вдоль этой оси. Соответственно связанные с ними спин-спиновой связью переносчики (глюоны-эфирки) должны иметь антипараллельные спины (по закону сохранения спина), при этом орбитали глюонов и орбитали кварков имеют общую ось. Модель напоминает смерч или аксиальный вихрь с оболочками глюков и кварков. "Вакуум КХД поляризуется кварками, в фазе конфайнмента образуется конденсат монополей, в нём глюонная трубка", – теперь стало понятно что трубка образована множеством поляризованных эфирков летящих по спиральным траекториям в трубке (перекрытием множества волн глюонов, эффект «слияния струн»). При этом естественным образом решается проблема асимптотической свободы кварков в центре трубки, т. к. электрические глюоны сконцентрированы на трубку, магнитные глюоны образуют вихри вокруг трубки – аналог вихрей Абрикосова. Фрэнк Вильчек пишет, - "Несколько кварков отклоняют прямолинейный путь глюона так сильно, что этот глюон полностью поворачивается в пределах радиуса протона и остается внутри него" — это не так, глюонам не нужно притягиваться, они по своей природе движутся по спирали, им достаточно поляризоваться в скирмион, – центр вихря и будет протон.
Считается что монополи в SU(2), SU(3) Dual QCD - глюдинамики имеют замкнутые траектории – «мировые линии» частиц, они концентрируются на поверхности «центрального вихря», множество монополей образуют замкнутую двумерную мировую поверхность трубки (или брану, браны (вихри + монополи) сжимают V (r) = r на всех расстояниях, в том числе при r 0.). Мировая линия эфирка это свёрнутое пространство Калуцы-Клейна. Кристоф Шмидхубер определяет глюонную трубку как свёрнутую брану Калуцы-Клейна. https://arxiv.org/abs/hep-th/9803152v1
Далее, эффект «Ааронова - Бома» – зацепление мировой линии кварка за мировую поверхность трубки надо трактовать в буквальном смысле как – опору кварков на внутреннюю поверхность трубки (причина конфайнмента). Этот механизм тесно связан с нарушением электрослабой симметрии (когда к безмассовым векторным бозонам добавляться продольная мода отвечающая за массу - скалярная хиггсова мода), в данном случае продольные моды глюонов браны придают им дополнительное свойство скалярной частицы, теперь они могут "сесть" на кварки сделав из массивными как в теории Хиггса (глюоны давят на кварки снаружи, поперечно к оси трубки). Продольно оси удерживает кварки хромоэлектрическая сила.
Диаметр спирали эфирка соответствует его длине волны (или нулевого колебания), среднее значение глюонного конденсата в КХД масштаб 250 МэВ будет определять диаметры трубок ~0,4 фм. В свою очередь диаметр трубки определяет диаметры орбиталей кварков (корреляционная длина, или средняя ширина распределения для u и d-кварков порядка 0,3 фм) и задаёт массы нуклонов ~939 МэВ.
Комментарии по коду.
Использовать pytorch и брать производные через численную схему (self.calc_diff(f) / self.hx), по моему крайне неэффективно. Попробуйте использовать встроенные методы алгоритмического взятия производных (torch.autograd), точность которых соответствует точности аналитических методов.
"Для расчета более сложных скирмионов, размерность сетки будет многомерной и время вычисления при той же точности возрастет на несколько порядков". Используйте бессеточные методы решения дифференциальных уравнений, у которых вычислительные затраты пропорциональны N*d (а не N^d в случае сеточных методов). Здесь N - количество исследуемых точек, d - размерность пространства.
Спасибо за замечания.
Да, если бы у нас была аналитическая функция f(r), которая зависит от параметров сетки r_i, тогда использование модуля torch.autograd имело бы смысл. Этот метод позволяет аналитически вычислять частные производные, или градиенты, по отношению к параметрам функции из любого аналитического выражения. Однако у нас возникает сложность: функция f(r) нам неизвестна в аналитическом виде. Мы не можем представить ее как математическое выражение, зависящее только от радиуса, и, следовательно, не можем выразить ее в виде выражения для PyTorch.
Мы ищем эту функцию численным методом, задавая значения f_i на сетке в качестве параметров и строим скалярную величину (полную энергию системы) в зависимости от этих значений f_i, используя в том числе вычисление приближенного значение производной. Поэтому autograd используется только внутри PyTorch для задачи минимизации энергии.
Вычисление производной численным методом, как обычная разность значений двух соседних точек (diff), конечно, не точно, и такой способ приведен лишь как простейшая демонстрация того, что задача нахождения функции решается за несколько минут. Для более точных результатов необходимо использовать несколько точек (См. коэффициенты формул численного дифференцирования. или Бронштейн, И. Н. и Семендяев, К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986, 7.1.2.8 «Приближенное дифференцирование»)Например, в работе указанной в списке литературы (N. S. Manton, B. M. A. G. Piette, (2000)), для вычисления функции скримиона в виде ежового анзаца использовалась пятиточечная схема, которую можно представить в виде конволюции с шириной 5 и фиксированным коэффициентами. А так как в начале координат у нас доступны только значения в узлах с i > 0, то должна использоваться схема "коэффициенты вперед" (приближение справа).
Autograd для вычисления производных может быть использован там, где функцию можно представить как аналитическое выражение. Например, в примере Solving multidimensional PDEs in pytorch при решении уравнения Фоккера — Планка.
Конечно, при работе с многомерными задачами, как в случае рассмотрения скирмионов, необходимо использовать различные методы и представления. Одномерный метод с регулярной сеткой, как вы правильно указали, применим только в самых простых случаях, когда можно описать скирмион как функцию одного параметра. "Рациональные отображения" также не уменьшают размерность, а упрощают лишь поиск симметричных решений.
Кроме перечисленного вами, для более сложных задач и многомерных пространств еще можно использовать нерегулярные сетки, представление в виде графов (с использованием сплайнов на графах) или адаптивные сетки. Адаптивные сетки особенно полезны, так как они позволяют через заданное количество шагов долгого процесса вычисления быстро автоматически перестраивать сетку так, чтобы плотность узлов была пропорциональна комбинации вторых производных. То есть на участках с высокой изменчивостью сетка становится более плотная, а для приближения линейных или плоских участков достаточно нескольких точек.
Для решения на PyTorch более сложных задач, например динамических а не статических, можно использовать специализированные библиотеки, которые заточены на решение уравнений в частных производных, например, NeuroDiffEq: A Python package for solving differential equations with neural networks или Depth learning method to solve the PDE of two-dimensional space
По первому пункту набросал небольшой "ноутбук" для colab от google, который можно запустить в браузере (вычисления производятся на серверах гугла). Ссылка на код https://colab.research.google.com/drive/1RH24-xTl8F739eWMCGfKQCQzuRaz96kT?usp=drive_link При запуске выбирете вычисление на видеокарте посредством изменения настроек Runtime/Change Runtime Type/ T4 GPU
В приведённом решении искомая функция представляет собой нейронную сеть, которая может быть представлена в аналитичесмо виде (но, как правило, этого не делают) и для которой может быть использован весть инструментарий взятия автоградиента.
В качестве иллюстрации я привёл зависимости первой, второй и трётьей производных решения от r.
.
Спасибо, интересно посмотреть, но доступ на код закрыт. Мне нужно запросить доступ через гугл-аккаунт?
Исправил оплошность: сейчас должно быть доступно по ссылке. Гугл - не Яндекс - требует дополнительных действий)
Для запуска в колабе возможно потребуется гугловский аккаунт.
Да, сейчас ноутбук доступен. И теперь понял, как использовать автоград: в вашем примере функция F(r) аппроксимируется многослойным перцептроном с числом нейронов 1, 128, 1), а потом через нее вычисляется полная энергия, и на радиусе используется решетка с числом узов N_r=20000 (возможно чрезмерно, по сравнению с 128, так как многослойный перцептрон апроксимирует кусочно-гладко, [впрочем, там не relu а нелинейный сигмоид типа tanh]). Спасибо за этот замечательный пример использования. Поиграюсь с ним на днях на своем расчетном сервере.
Спасибо за прекрасный обзор!
желательно, чтобы преобразования Лоренца продолжали работать
Вроде бы, это автоматом получается, когда слева □u?
Пожалуйста.
Именно. В принципе самый очевидный способ расширения.
В спойлере «Специальная унитарная группа. Обозначения. Индексы.» указывается, что если в лагранжиане мы используем греческий индекс «мю» сверху, то используется метрика (+1, -1, -1, -1), а при комбинации верхних и нижних индексов получаются соответствующие свертки. И поэтому преобразования Лоренца уже как бы вшиты в модель Скирма начиная с первого терма модели НСМ. Физики обычно как раз и работают с такими обозначениями, чтоб в том числе сохранять лоренц-ковариантность (раз она наблюдается в экспериментах) и строят модифицированные версии. Отдельный вопрос, а не является ли это какими-то жесткими рамками, в которые физики сами себя загоняют, и тем самым ограничивают множество вариантов и не позволяют выйти за эти рамки. Известно, что Ньютоновская механика может рассматриваться как приближение лоренцовских моделей при малых скоростях. Мы конструировали модель Скирма добавлением в лагранжиан еще более высоких порядков для топологической и энергетической устойчивости. А не существует ли такой математической конструкции, из которой наблюдаемая лоренц-ковариантность и ньютоновская механика вытекает из нее лишь как первые приближения? Ведь одно из ключевых направлений современной физики - поиск более общих теорий, которые охватывали бы и Ньютоновскую механику, и теорию относительности.
Разгоняя простейший скирмион до околосветовых скоростей, он, конечно, будет сжиматься (для «наблюдателя») и подчиняться модели. Но если разгонять сложный скирмион, например, «кристалл Скирма» он сожмется в одном направлении, и интересно как качественно изменится взаимодействие связанных блоков (альфа-частиц) в других направлениях. Интересно было бы и провести эксперименты. Если мы запустим атомные часы на орбиту, то можем наблюдать эффект замедления часов в согласии СТО, но было бы интересно запустить на одном борту сразу пару атомных часов, и которые сделаны на разных атомах, эти часы будут проявлять эффект замедления, но было бы интересно существует ли статистически значимая разница в эффекте замедления между ними. Эксперименты такого рода могут дать дополнительные данные и понимание фундаментальных законов физики.
А не существует ли такой математической конструкции, из которой наблюдаемая лоренц-ковариантность и ньютоновская механика вытекает из нее лишь как первые приближения?
Мне кажется, что-то такое делал В.И.Фущич.
Интересно было бы и провести эксперименты. Если мы запустим атомные часы на орбиту, то можем наблюдать эффект замедления часов в согласии СТО, но было бы интересно запустить на одном борту сразу пару атомных часов, и которые сделаны на разных атомах, эти часы будут проявлять эффект замедления, но было бы интересно существует ли статистически значимая разница в эффекте замедления между ними. Эксперименты такого рода могут дать дополнительные данные и понимание фундаментальных законов физики.
За ход релитивистских часов отвечает механизм Хиггса, есть такой термин "скорости Хиггса" Когда массивная частица летит сквозь поле Хиггса, в особом пространстве с постоянной скоростью) она сталкивается с виртуальным Хиггсом (или слабым зарядом, по разному называют), чем чаще частица сталкивается с этим слабым зарядом тем она массивнее. Это так называемое "зигзаг модель" частица как бы дрожит от столкновения со слабым зарядом. Например мюон долетает до земли не распавшись, в этом случае говорят что мюон летел к земле со своими часами, это возможно потому что гравитационный потенциал представляет собой поток импульса. Мюон летит к земле со своей глюонной шубой или шубой слабого заряда, импульс мюона и шубы направлен в одену сторону, поэтому какое то время шуба не рассеивается, мюон не распадается.
Почему часы идут быстрее вдали от земли? Итак, гравитационный потенциал это скалярное поле, чем выше тем больше температура (скорости Хиггса), тем быстрее тикают релятивистские часы. Это примерно как с молекулами, - больше температура, быстрее процессы протекают
А есть ли какая-то связь того, что нужно физике, с собственно "солитонностью" уравнения (пара Лакса или что-то типа)?
«Пара Лакса» скорее связанна с условием совместности системы уравнений и интегрируемостью, которое в свою очередь связанно с «солитонностью». (Рассмотрим подробней в следующих статьях). А что касается нужности солитонов физике... Они хоть и интересны с математической точки зрения, могут оказаться ограниченно интересными в контексте физики, так как они обладают слишком высокой устойчивостью и не проявляют сложных динамических свойств. Разбирая формулы решений солитонных уравнений, видно, что их форма и характеристики определяются параметрами, заданными на бесконечности в начальный момент времени, и они остаются неизменными даже после упругого взаимодействия. Это, конечно, интересное явление, но оно представляет собой упрощенную модель реальных физических систем. Для многих физических систем важны более сложные модели. Например, которые учитывают взаимодействие между различными компонентами поля и возможность переходов между различными физическими состояниями, то есть к примеру, когда поле задается слоями (компонентами поля) в каждом слое идет солитонное взаимодействие (упругое взаимодействие, например, взаимодействие электронов между собой). Но при определенном стечении обстоятельств во взаимодействие кратковременно вступают другие компоненты поля, и тогда при взаимодействии электрона и антиэлектрона получаются фотоны (которые опять ведут себя как обыкновенные солитоны до некоторых пор). Это как, пример. Наверное, можно придумать и более сложные модели. Но что важно, для полного использования солитонных идей необходимо глубокое понимание их математических основ, до которых в данных вводных статьях мы еще не дошли. Изучение математического аппарата, лежащего в основе солитонов, надеюсь, позволяет физикам разрабатывать более сложные модели и предсказывать их поведение в различных условиях.
Солитоны. Модель Скирма