vadjuse 18 июл в 15:52

Обратная связь, творящая чудеса

Простой

8 мин

7.4K

Ненормальное программирование*Схемотехника*Электроника для начинающих

В одной из предыдущих статей я продемонстрировал, что основная сложность аналоговой электроники возникает из-за того, что все блоки схемы тесно переплетены и влияют друг на друга. Если говорить сложным языком, то токи и потенциалы внутри сложной сети создают причинно-следственные связи, которые стимулируют эти самые токи и потенциалы точек цепи меняться, приводя к дальнейшему изменению токов и потенциалов...

Одна из сложнейших вещей для понимания нашим человеческим мозгом — это петля обратной связи. Да, одну обратную связь понять мы сумеем, но две и более уже с трудом. Для решения придётся записывать систему уравнений. Хорошая порция обратных связей вообще может ввести вашу систему в хаос. Но это тема отдельной статьи.

Конечно, можно выучить несколько схем с обратными связями в цепи операционного усилителя, чтобы потом думать, что понимаешь их. А может, даже думать, что обратная связь это «очевидно, понятно, легко видеть».

Если вы тоже так думаете, то вместо того, чтобы читать эту статью дальше, предлагаю проверить глубину собственных знаний. Соберите аналоговую схему, которая будет реализовывать функцию $y = x^{-\frac{1}{3}}$ . Найдите обратное значение кубического корня из входного сигнала. Для этого вам понадобится несколько операционников, умножителей и, конечно, обратная связь.

Если получилось, то вы не целевая аудитория этой статьи. Снимаю перед вами шляпу - моё почтение!

Остальным предлагаю продолжить чтение, потому что в конце статьи мы получим такую схему. Но самое важное, я надеюсь, вы перестанете бояться и полюбите обратные связи. В этой статье я постараюсь показать взгляд на обратную связь с точки зрения причинно-следственных связей. Вы научитесь использовать обратную связь для формулирования алгебраических высказываний.

База

Большинство впервые встретились с обратными связями в электронике на примере неинвертирующего усилителя с отрицательной обратной связью на операционном усилителе. Хотя обратные связи есть почти во всех транзисторных усилителях, кроме пожалуй самого простого, обычно внимание на этом не акцентируется.

Я тоже начну с неинвертирующего усилителя. Обычно его объясняют так.

Запишем как для обычного дифференциального усилителя $(V_{in} - \beta V_{out})A = V_{out}$
$V_{out} = V_{in} \frac{A}{1+\beta*A}$
Так как $V_{out} \approx V_{in} \frac{A}{\beta A} \approx V_{in} \frac{1}{\beta}$

Результирующий коэффициент усиления зависит только от коэффициента в петле отрицательной обратной связи b. Он не зависит от свойств операционного усилителя, а зависит от сопротивлений, которые обладают более стабильными характеристиками.

После этого речь заходит про инвертирующий усилитель с отрицательной обратной связью на оперционном усилителе. Про бесконечный коэффициент никто уже не говорит, никто его не сокращает. Вместо этого начинают рассказывать про "виртуальную землю", про "операционный усилитель хочет уравновесить сигналы на своих входах".

Именно второе «магическое» определение операционника более эффективное с точки зрения его использования. Именно оно несет в себе отголоски причинно‑следственного мышления операционного усилителя.

Считайте, что идеальный операционник это не усилитель, а балансир или весы.
Он может уравновесить напряжения своих входов, напряжением своего выхода.
Токи в него (почти) не втекают, а выход может выдать любой ток.

Во втором пункте очень важное слово «может». Обычно в книгах пишут что‑то вроде «пытается». Из‑за этого создается ложное впечатление, что внутри операционника что‑то происходит, что делает всю работу. Нет, это не так.

Олды помнят старые стрелочные весы на рынке. Если положить на одну чашу продукт, а на другую ничего не положить, то стрелка упрется в максимум. Дальше нам нужна обратная связь, в качестве нее выступает продавец, который накладывает на противоположную чашу гирьки, пока стрелка не стабилизируется на каком-то значении, которое и определяет массу продукта. Вот это и есть иллюстрация работы операционника.

Он пытается установить на своем выходе такое значение, которое уравновесит оба входа, сделает напряжения на них одинаковыми.

Ключевым является то, что его абсолютно не интересует конфигурация обратной связи, соединяющей выход с балансируемым входом. Каким-то образом, который нам не сильно важен с точки зрения пользователя, он умудряется найти тот самый Vout, обеспечивающий баланс.

Неинвертирующий усилитель

Давайте попробуем применить это знание, чтобы еще раз понять неинвертирующий усилитель, но уже в рамках концепции весов, а не усилителя с бесконечным коэффициентом.

Подаем на +вход напряжение Vin, -вход не подключен. Будем менять сопротивление обратной связи от нуля до бесконечности и посмотрим, что будет.
Создадим петлю отрицательной обратной связи с нулевым сопротивлением - просто замкнем выход на -вход. Усилителю достаточно установить на своем выходе Vin, чтобы сбалансировать входы. Такое подключение называется буффер. Обратите особое внимание, что входной ток нулевой, в операционник ничего не может втекать. Мы изолируем входной сигнал и подаем его копию на выход. Идеальная изоляция.

Чтобы подать часть выходного напряжения, будем использовать делитель напряжения с плечами R1 и R2. На -вход будет поступать R2/(R1+R2)*Vout. Именно это значение должно равняться Vin. Мы получили то же уравнение для неинвертирующего усилителя, где b = R2/(R1+R2), а усиление 1/b = (R1+R2)/R2

А если сделать R2 равным 0. В этом случае на -вход всегда будет поступать 0, и сколько бы операционник не пыжился, он не сможет уравновесить +вход. Давайте посмотрим на эту ситуацию с точки зрения эквивалентной схемы. На -вход подан 0, а обратной связи нет. Такое подключение называется компаратор.

Очень важно понять, что в данной конфигурации обратной связи операционник является устройством, которое умеет мгновенно находить решение простого алгебраического уравнения $\beta x = V_{in}$ .

Инвертирующий усилитель

Теперь посмотрим на процесс «мышления» операц ионника в инвертирующем усилителе. В этом усилителе входной сигнал и сигнал обратной связи подключаются к -входу. +вход подключается к земле.

Если вы совсем новичек, то почитайте про однополярное и двуполярное питание. В данном случае я говорю "сигнал подключен к земле", но он подключен к $(V_{s+} - V_{s-})/2$ . В случае однополярного питания "земля" это $V_{s+}/2$ . При таком питании в схеме возможны отрицательные напряжения. Но в действительности означает $-V + V_{s+}/2$

На +входе 0, на -входе Vin. Будем менять сопротивление обратной связи от нуля до бесконечности и посмотрим, что будет.
Создадим петлю обратной связи с нулевым сопротивлением. Просто замкнем выход на -вход. Операционнику достаточно установить на своем выходе 0, чтобы уравновесить входы. Будет неплохо, если между точкой подключения Vin и -входом операционника будет какое-то сопротивление, пусть R1, потому что разность потенциалов Vin и 0 спровоцирует протекание тока. Разность потенциалов между выходом и -входом равна 0, поэтому ток в цепи обратной связи протекать не будет.
Добавим в обратную связь сопротивление R2. Теперь мы имеем делитель напряжения, в котором постоянна сила тока в силу закона сохранения заряда. Именно это требование операционный усилитель стремится выполнить через установление напряжения на своем входе. Отсюда получаем $(V_1 - 0)/R_1 = (0-V_{out})/R_2$ . Откуда $V_{out} = - V_{in}*R_2/R_1$

Аналогично с неинвертирующим усилителем, увеличим R2 до такой степени, что его будет не возможно отличить от разрыва в цепи (отсутствие обратной связи). И снова получим операционник в режиме компаратора.

Очень важно понять, что в данной конфигурации обратная связь происходит по току, а не по напряжению. Но операционник тем не менее мыслит через напряжения. Это опять же выглядит как магия, но операционник всё сделает, чтобы его выходы были уравновешены. Он создает такую разность потенциалов в делителе напряжения, чтобы потенциал -входа равнялся потенциалу +входа.

Еще раз хочу акцентировать внимание. Вы можете установить какое угодно напряжение на +входе Vbias. Вы можете установить какие угодно сопротивления R1 и R2, какое угодно напряжение Vin. Операционник найдет такое напряжение Vout, чтобы на -входе было напряжение Vbias. Постарайтесь научиться думать об операционнике так.

На основании уже полученных знаний о инвестирующем и неинвертирующем усилителях попробуйте в качестве упражнения вывести формулу дифференциального усилителя на операционнике, в котором ни один из его входов не подключён к земле.

Чудеса

Итак, операционник сделает всё возможное, чтобы увидеть на своих входах равенство. Если обратная связь есть, а в рамках нее существует такое значение Vout, которое в результате уравняет входы, то операционник моментально его находит.

Давайте построим схему, которая будет вычислять обратное значение сигнала X. Ищем $y = x^{-1}$ . Для этого нам потребуется операционник, умножитель и обратная связь.

Кто-то может заметить, что мы добавили умножитель, а почему не сразу делитель?Соглашусь, умножитель это довольно навороченное устройство, если нужно перемножать 2 сигнала с разными знаками. Но в первом приближении он у нас уже есть. Тот же неинвертирующий усилитель сгодится в качестве умножителя. Один аргумент устанавливаем через Vin, а другой через R2 делителя напряжения. Также в качестве умножителя можно использовать микросхему LM13700. В общем, производить прямую операцию всегда как-то проще, чем искать элемент, который при умножении на заданный даст единицу.

Но еще раз - реализация умножителя сейчас не важна, цель данной статьи показать работу обратной связи.

Итак, $y = \frac{1}{x}$ . Следите за руками.

Переносим X в левую часть, . Сейчас мы имеем классическую задачу уравновешивания сигналов
X и Y Подаем на входы умножителя
Выход умножителя (X*Y) подаем на -вход операционника. е (единичный сигнал, от которого отсчитываются остальные сигналы) подаем на +вход операционника

Куда подать выход операционника? Откуда возьмется Y? Говорим себе, операционник сделает всё, чтобы равенство выполнилось. Значит...

...надо просто соединить выход операционника с Y входом умножителя. И всё. Выход операционника и будет Y.

Посмотрите еще раз и осознайте, что происходит. Мы не думаем о токах, напряжениях. Мы формулируем логическое высказывание через обратную связь. Если на выходе операционник не установит Y, то и входы не сбалансируются. У него нет другого выбора. Мы загнали его в угол. Обратная связь загнала его в угол. Он вычислил для нас обратное значение X.

Теперь, я думаю, вы легко сможете создать схему вычисления $y = \sqrt{x}$ . Компоненты не меняются, нужно лишь поменять местами подключение сигналов.

А пугающая в начале $y = x^{-\frac{1}{3}}$ теперь просто является комбинацией уже известных модулей.

Логарифмический и экспоненциальный усилители

Сейчас у кого-то возникает вопрос, а зачем нам делить и извлекать корни в аналоге, мы же не в 1960м году? Примеры с делением и извлечением корней намеренно очень экзотические, чтобы полностью разорвать шаблон восприятия обратных связей.

Теперь покажу практический пример — логарифматор (логарифмический усилитель). Мы хотим получить на выходе логарифм входного напряжения.

Известно, что ток в диоде имеет участок, где он экспоненциально зависит от напряжения. Вспоминаем, что имея на руках умножитель, расположенный в петле обратной связи, у нас получилось сконструировать вычисление обратных функций.

Значит, поместив в петлю обратной связи экспоненциальный элемент, мы сможем сконструировать обратную функцию — логарифм.

Если экспонентой описывается ток от напряжения, значит обратная связь у нас также должна быть по току. Из этого следует, что усилитель будет иметь инвертирующую схему подключения: входной сигнал и обратная связь будут подключены к -входу операционника. А +вход будет подключен к 0.

Входная цепь будет генерировать входной ток $I_{in} = V_{in}/R$ . А в цепи обратной связи будет генерироваться равный ток (операционник организует), который пропорционален экспоненте от напряжения выхода операционника. $V_{in}/R$ ~ $exp(-V_{out})$ . Откуда получаем, что $V_{out}$ ~ - $ln(V_{in})$ .

Поместив диод во входую цепь, а сопротивление в цепь обратной связи, мы сможем сделать экспоненциальный усилитель. То есть $-V_{out}$ ~ $exp(V_{in})$ . То есть имея элемент с экспонентой, описывающей ток, мы получаем блок который выдает экспоненту напряжения.

Имея на руках логарифмический и экспоненциальный усилитель, можно проделать следующий трюк.

То есть, мы получили одноквадрантный умножитель сигналов, о котором говорили в предыдущем разделе. При этом используются только усилители с обратными связями.

Заключение

В конце хочу оговориться, что цель статьи в том, чтобы развить интуицию в работе с обратными связями. Конкретная реализация описанных схем выходит за рамки темы статьи.

В следующей статье посмотрим, как можно синтезировать периодические функции с помощью обратных связей и линий задержки. Нам понадобится интегратор и компаратор. Поэтому, чтобы укрепить только что полученные знания, можете сами додуматься до их схем (ну или хотя бы разобраться в принципах их работы).

Спасибо за внимание! Надеюсь, было интересно. И удачи в ваших исследованиях и работе!

Теги:

Хабы: