kia_stc 6 мая в 08:13

Определение G/T и других характеристик антенны с помощью излучения Солнца и неба (часть 1)

Средний

5 мин

888

Блог компании Специальный Технологический ЦентрСистемы связи*ФизикаЛюбительская радиосвязь

Туториал

Для определения параметров параболических антенн можно использовать излучение внеземных источников радиоизлучения. Им может быть звезда, планета, Луна или Солнце. В этом ряду Солнце является самым мощным источником радиоизлучения пригодным для тестирования антенн с небольшой чувствительностью.

Наверное, самой подробной публикацией на эту тему является отчет NIST "10-60 GHz G/T measurements using the sun as a source - a preliminary study", а также отчеты и статьи, на которые в нем ссылаются. Кроме того имеются многочисленные статьи (например, "Determination of Earth Station Antenna G/T Using the Sun or the Moon as an RF Source") и публикации радиолюбителей (например, "Determination of G/T"). Однако, приведенные в этих материалах формулы даются без их вывода, что не позволяет оценить в каком диапазоне параметров они применимы. В этой статье я хочу показать вывод основных используемых формул и продемонстрировать результаты расчетов на их основе. Для сравнения результатов воспользуемся указанными выше публикациями, на которые будем ссылаться как на отчет, статью и сайт.

Часть 1. Основные формулы

Постановка задачи

Объектом измерений является антенна СВЧ диапазона с острой диаграммой направленности, содержащая МШУ и/или малошумящий преобразователь частоты (LNB). Активная часть антенны (т.е. МШУ, LNB и т.п.) описывается коэффициентом усиления G_RX и шумовой температурой T_RX. В целом такая антенна может быть сложной приемной радиосистемой, которую будем далее называть антенной системой (АС). Для простоты вычислений удобно разделить эту АС на антенну без потерь и остальной приёмный тракт, куда включаются и потери в самой антенне (см. схему слева).

Для определения G/T (шумовой добротности) АС будем использовать Y-метод. Данный метод широко применяется для измерения шумов активных электронных устройств (МШУ и т.п.). Тут задача аналогична. Есть две неизвестных:

G_S - коэффициент усиления (КУ) радиотракта, который включает КУ активных устройств и все потери в тракте до разъема которым оканчивается АС;
T_S- шумовая температура радиотракта пересчитанная к апертуре антенны.

При этом считаем, что КНД антенны (D_A) может быть найден по ширине диаграммы направленности (ДН) антенны.

Y-метод

Чтобы найти T_S необходимо провести два измерения, направляя АС на источники радиоизлучения с известными свойствами. В качестве холодного источника будет использовано радиоизлучение неба, а в качестве горячего источника - Солнце. Запишем связанные с этим выражения.

Мощность на выходе АС, направленной на горячий источник:

$P_H = \Delta f k_B ( T_H + T_S) G_S$

Здесь $\Delta f$ - полоса частот, в которой измеряется мощность, - постоянная Больцмана. Следует отметить, что при наличии LNB измерения мощности происходят на промежуточной частоте f_IF. Но поскольку вся радиосистема предполагается линейной, то это не влияет на вычисления. Необходимо только произвести пересчет частоты по известной функции преобразования частоты f(f_IF).

Аналогично, запишем для холодного источника:

$P_C = \Delta f k_B (T_C+T_S)G_S$

Найдем Y-фактор:

$Y = \frac{P_H}{P_C}=\frac{T_H + T_S}{T_C + T_S}$

Тогда можно найти T_S следующим образом:

$T_S = \frac{T_H-YT_C}{Y-1}$

Поскольку обычно T_H>>T_C, выражение может быть упрощено:

$T_S \approx \frac{T_H}{Y-1}$

Точечный горячий источник

Пусть ширина ДН антенны больше угловых размеров горячего источника. Для Солнца, угловой размер которого $\Delta \phi _S = 0,53 ^ \circ$ , ширина ДН антенны должна быть более 2^о (это будет показано в следующем разделе) .

Пусть также нам известна спектральная плотность потока мощности источника W (Вт/м²/Гц) в месте установки антенны. Поскольку Солнце излучает неполяризованные электромагнитные волны, то для антенны с некой конкретной поляризацией в расчетах используется половина W.

Мощность, принятую антенной на ее раскрыве, можно записать как:

$P_{H0} = \Delta f k_B T_H$

Мощность, принятую идеальной изотропной антенной, найдем как:

$P_{Hi} = \Delta f \frac{W}{2} \frac{\lambda ^2}{4\pi}$

Тогда КУ антенны может быть найден как отношение этих мощностей (т.к. антенна не имеет потерь, то это фактически КНД антенны):

$D_A= \frac{P_{H0}}{P_{Hi}}= \frac{4\pi}{\lambda^2} \frac{2P_{H0}}{W \Delta f}= \frac{4\pi}{\lambda^2} \frac{2 \Delta f k_B T_H}{W \Delta f} = \frac{8\pi k_B T_H}{\lambda^2 W}$

В итоге для АС получаем следующее выражение G/T :

$\frac{G}{T}=\frac{D_A}{T_S}=\frac{Y-1}{T_H} \frac{8\pi k_B T_H}{\lambda^2 W}= \frac{8\pi k_B (Y-1)}{\lambda^2 W}$

Мы получили известную в радиоастрономии формулу для нахождения G/T. При выводе этой формулы были сделано два предположения: T_H >>T_C, горячий источник можно считать точечным.

Горячий источник конечных размеров - Солнце

Чтобы учесть конечные угловые размеры источника, в формуле для G/T вместо W должно стоять уточненное значение W_iс учетом формы ДН антенны. Можно формально записать следующее выражение:

$W_i = \int {I(\Omega)U(\Omega)d\Omega}$ , при этом $W = \int I(\Omega) d\Omega$

где I [Вт/м2/Гц/ср] - распределение интенсивности излучения по сфере, которую наблюдает антенна с нормированной ДН $U(\Omega)$ .

Пусть Солнце имеет равномерное распределение интенсивности излучения в телесном угле $\Omega _S = 2\pi (1-\cos(\Delta \phi _S /2)) = 4\pi\sin^2(\Delta \phi _S /4)$ (см. Стерадиан). Тогда $I = W/\Omega_S$ и можно записать интеграл в следующем виде:

$W_i = \frac{W}{\Omega _S} \int_0^{2\pi}\int_0^{\Delta\phi_S/2} U(\theta) \sin(\theta) d\theta d\phi = \frac{2\pi W}{\Omega _S} \int_0^{\Delta\phi_S/2} U(\theta) \sin(\theta) d\theta$

При этом предполагается, что ДН антенны симметричная в обеих плоскостях, т.е. не зависит от угла $\phi$ .

Удобно ввести поправочный коэффициент (цифра 2 использована для единообразия с обозначением в отчете NIST) и применить формулу для G/T с этим коэффициентом.

Аппроксимация ДН антенны

Для дальнейших вычислений необходимо аналитически описать форму ДН антенны. Рассмотрим две популярные апроксимации ДН антенны:

1) функцией Гаусса следующего вида (см. Gaussian function) :

$U_1(\theta)=\exp \left(-4\ln(2)\frac{\theta ^2}{\Delta \theta ^2} \right)$

где $\Delta \theta$ - ширина ДН антенны по уровню 3 дБ.

2) косинусной функцией

$U_2 (\theta) =\cos ^{2N}\left(\frac{\theta}{2}\right)$

При этом N можно вычислить по $\Delta \theta$

$N = \frac{10\log(0.5)}{20\log(\cos(\Delta\theta/4))} \approx \frac{16ln(2)}{\Delta\theta^2}$

КНД антенны с такими формами ДН может быть вычислен следующим образом:

$D_A=\frac{4\pi}{\int^{2\pi}_0 \int ^\pi _0 U(\theta) \sin(\theta)d\theta d\phi} = \frac{2}{\int ^\pi _0 U(\theta) \sin(\theta)d\theta}$

1) для U₁

Поскольку для малых $\Delta \theta$ , функция $U(\theta)$ очень быстро уменьшается с ростом $\theta$ , то можно сделать замену $\sin(\theta) \approx \theta$ и воспользоваться известным интегралом (см. List of integrals of exponential functions) :

$\int x e^{-cx^2}dx = -\frac{1}{2c}e^{-cx^2}$

Тогда КНД можно записать в явном виде:

$D_{A1} = \frac{16\ln(2)}{\Delta \theta ^2 \left( 1-exp \left( -\frac{4\ln(2)\pi^2}{\Delta \theta^2}\right) \right)} \approx \frac{16 \ln(2)}{\Delta \theta ^2} = \frac{36407}{\Delta \theta ^2 [градусы]}$

2) для U₂

Интеграл в выражении для D_A можно вычислить переходя к половинному углу и воспользовавшись известным интегралом (см. List of integrals of trigonometric functions)

$\int \sin(ax) \cos^n(ax)dx = -\frac{1}{a(n+1)}\cos^{n+1}(ax)$

Таким образом запишем следующие выражения

$\int ^\pi _0 U_2(\theta) \sin(\theta)d\theta = \int ^\pi _0 \cos^{2N}(\theta /2) \sin(\theta)d\theta =$ $= 4 \int ^{\pi/2} _0 \cos^{2N+1}(x) \sin(x)dx = \frac{2}{1+N}$

В итоге получаем следующие выражения для D_A₂:

$D_{A2} = 1+N \approx N \approx \frac{16\ln(2)}{\Delta\theta^2}$

Не смотря на то что мы начали с разных математических выражений для $U(\theta)$ для узких ДН мы получаем идентичные выражения для КНД. Эти формулы пригодятся для нахождения КДН по измеренной ширине ДН антенны.

Вычисление коэффициента k2 для U1

Для нахождения коэффициента k₂ используем тот же подход, который применяли для определения КНД антенны (см. выражения под спойлером выше):

$k_2 = \frac{2\pi}{\Omega _S} \int_0^{\Delta\phi_S/2} U_1(\theta) \sin(\theta) d\theta =$ $= \frac{2\pi\Delta\theta^2}{8\ln(2)\Omega_S}\left( 1-\exp\left(-\frac{\Delta\phi^2_S}{\Delta\theta^2} \ln(2)\right)\right)$

Подставим в формулу упрощенное выражение для $\Omega_S$ :

$\Omega _S = 4\pi\sin^2(\Delta \phi _S /4) \approx \frac{\pi}{4}\Delta\phi_S^2$

И в итоге получаем следующее выражению использованному в отчете NIST:

$k_2= \frac{1-\exp\left(-\frac{\Delta\phi^2_S}{\Delta\theta^2} \ln(2)\right)}{\frac{\Delta\phi^2_S}{\Delta\theta^2} \ln(2)}$

Вычисление коэффициента k2 для U2

Аналогично предыдущим выражениям запишем

$k_2 = \frac{2\pi}{\Omega _S} \int_0^{\Delta\phi_S/2} U_2(\theta) \sin(\theta) d\theta =$ $= \frac{2\pi}{\Omega _S} \frac{2}{N+1} \left( 1-\cos^{2N+2}(\Delta\phi_S/4)) \right) \approx \frac{2\pi}{\Omega _S} \frac{2}{N+1} \left( 1- \left(1-\frac{\Delta \phi ^2}{16} \right)^{N+1} \right)$

Если сейчас подставить в эту формулу выражение для N, то получится не очень удобная и громоздкая формула. Поэтому хочется избавиться от степени N+1 в выражении для k₂. Для этого используем следующее приближение

$1-(1-x)^N \approx \frac{Nx}{1+\alpha xN }$

Используя дополнительное условие, что обе эти функции должны быть при неком х равны 0,5, найдем значение $\alpha = 0.557$ (справедливо для N > 1000).

После подстановки получается следующее простое выражение

$k_{2a} = \frac{1}{1+\alpha\ln(2)\left(\frac{\Delta\phi_S}{\Delta\theta}\right)^2} = \frac{1}{1+0.386\left(\frac{\Delta\phi_S}{\Delta\theta}\right)^2}$

Эта формула идентична формуле для коэффициента k₂ приведенная на сайте.

Сравнение коэффициентов k2 и k2a — Сравнение коэффициентов k₂ и k_2a

Для сравнения этих выражений построим графики этих величин для Солнца. Для удобства график построен в масштабе log-log. При $\Delta \theta > 2^\circ$ коэффициент k₂ уже практически равен 1. Следует отметить, что до упрощения выражение k₂ для U₂ оба варианта формул дают практически идентичные значения.

В итоге получаем формулу для G/T в следующем виде:

$\frac{G}{T} = \frac{8\pi k_B (Y-1)}{\lambda^2 W k_2}$

В следующем разделе будет рассмотрено, как рассчитать W по известным экспериментальным данным.

P.S. Получение формулы для k_2a была сделана "реверс-инжинирингом" от известной формулы. Возможно есть более прямой путь. Но я его не нашел.

Хабы: