Преобразование Фурье в действии: точное определение частоты сигнала и выделение нот

последняя редакция статьи доступна на сайте makeloft.xyz

Начнём с пианино. Очень упрощёно этот музыкальный инструмент представляет собой набор белых и чёрных клавиш, при нажатии на каждую из которых извлекается определённый звук заранее заданной частоты от низкого до высокого. Конечно, каждый клавишный инструмент имеет свою уникальную тембральную окраску звучания, благодаря которой мы можем отличить, например, аккордеон от фортепиано, но если грубо обобщить, то каждая клавиша представляет собой просто генератор синусоидальных акустических волн определённой частоты.

Когда музыкант играет композицию, то он поочерёдно или одновременно зажимает и отпускает клавиши, в результате чего несколько синусоидальных сигналов накладываются друг на друга образуя рисунок. Именно этот рисунок воспринимается нами как мелодия, благодаря чему мы без труда узнаём одно произведение, исполняемое на различных инструментах в разных жанрах или даже непрофессионально напеваемое человеком.




Наглядная иллюстрация нотного рисунка


Определение частоты (режим гитарного тюнера)


Обратная задача состоит в том, чтобы разобрать звучащую музыкальную композицию на ноты. То есть разложить суммарный акустический сигнал, улавливаемый ухом, на исходные синусоиды. По сути, этот процесс и представляет собой прямое преобразование Фурье. А нажатие на клавиши и извлечение звука есть процесс обратного преобразования Фурье.

Математически в первом случае происходит разложение сложной периодической (на некотором временном интервале) функции в ряд более элементарных ортогональных функций (синусоид и косинусоид). А во втором их обратное суммирование, то есть синтез сложного сигнала.

Ортогональность, в некотором роде, обозначает несмешиваемость функций. Например, если мы возьмём несколько кусочков цветного пластилина и склеим их, то потом всё же сможем разобрать, какие цвета были изначально, но если хорошенько перемешаем несколько баночек гуашевых красок, то точно восстановить исходные цвета без дополнительной информации уже будет невозможно.

(!) Важно понимать, когда мы берёмся анализировать реальный сигнал с помощью преобразования Фурье, мы идеализируем ситуацию и исходим из предположения, что он периодический на текущем временном интервале и состоит из элементарных синусоид. Зачастую это именно так, поскольку акустические сигналы, как правило, имеют гармоническую природу, но вообще возможны и более сложные случаи. Любые наши допущения о природе сигнала обычно ведут к частичным искажениям и погрешностям, но без этого выделить полезную информацию из него крайне сложно.

Теперь опишем весь процесс анализа более подробно:

1. Всё начинается с того, что звуковые волны колеблют мембрану микрофона, который преобразует их в аналоговые колебания электрического тока.

2. Затем происходит дискретизация аналогового электрического сигнала в цифровую форму. На этом моменте стоит остановиться подробно.

Поскольку аналоговый сигнал математически состоит из бесконечного непрерывного во времени множества точек-значений амплитуды, в процессе измерения мы можем выделить из него лишь конечный ряд значений в дискретные моменты времени, то есть, по сути, выполнить квантование по времени…

Как правило, значения-отсчёты берутся через небольшие равные временные промежутки, то есть с определённой частотой, например, 16000 или 22000 Гц. Однако в общем случае дискретные отсчёты могут идти и неравномерно, но это усложняет математический аппарат анализа, поэтому на практике обычно не применяется.



Существует важная теорема Котельникова-Найквиста-Шеннона, которая гласит, что аналоговый периодический сигнал, имеющий конечный (ограниченный по ширине) спектр, может быть однозначно восстановлен без искажений и потерь по своим отсчётам, взятым с частотой, большей или равной удвоенной верхней частоте спектра (называемой частотой дискретизации или Найквиста).

Для этого восстановления необходимо применить специальные интерполирующие функции, но проблема в том, что при использовании данных функций вычисления нужно выполнять на бесконечном временном интервале, что на практике невозможно. Поэтому в реальной жизни нельзя сколь угодно повысить частоту дискретизации искусственным образом без искажений даже если изначально она удовлетворяет теореме Котельникова-Найквиста-Шеннона. Для этой операции применяются фильтры Фарроу.

Также дискретизация происходит не только по времени, но и по уровню значений амплитуды, поскольку компьютер способен манипулировать лишь ограниченным множеством чисел. Это также вносит небольшие погрешности.

3. На следующем этапе происходит само дискретное прямое преобразование Фурье.

Мы выделяем короткий кадр (интервал) композиции, состоящий из дискретных отсчётов, который условно считаем периодическим и применяем к нему преобразование Фурье. В результате преобразования получаем массив комплексных чисел, содержащий информацию об амплитудном и фазовом спектрах анализируемого кадра. Причём спектры также являются дискретными с шагом равным (частота дискретизации)/(количество отсчётов). То есть чем больше мы берём отсчётов, тем более точное разрешение получаем по частоте. Однако при постоянной частоте дискретизации увеличивая число отсчётов, мы увеличиваем анализируемый временной интервал, а поскольку в реальных музыкальных произведениях ноты имеют различную длительность звучания и могут быстро сменять друг друга, происходит их наложение, поэтому амплитуда длительных нот «затмевает» собой амплитуду коротких. С другой стороны для гитарных тюнеров такой способ увеличения разрешения по частоте подходит хорошо, поскольку нота, как правило, звучит долго и одна.

Существует также довольно простой трюк для увеличения разрешения по частоте — нужно исходный дискретный сигнал заполнить нулями между отсчётами. Однако в результате такого заполнения сильно искажается фазовый спектр, но зато увеличивается разрешение амплитудного. Также возможно применение фильтров Фарроу и искусственное увеличение частоты дискретизации, однако и оно вносит искажения в спектры.

Длительность кадра обычно составляет приблизительно от 30 мс до 1 с. Чем он короче, тем лучшее разрешение мы получаем по времени, но худшее по частоте, чем сэмпл длиннее, тем лучшее по частоте, но худшее по времени. Это очень напоминает принцип неопределённости Гейзенберга из квантовой механики..и не с проста, как гласит Википедия, соотношение неопределенностей в квантовой механике в математическом смысле есть прямое следствие свойств преобразования Фурье…

Интересно и то, что в результате анализа сэмпла одиночного синусоидального сигнала амплитудный спектр очень напоминает дифракционную картинку…

Синусоидальный сигнал, ограниченный прямоугольным окном, и его «дифракция»



Дифракция световых волн


На практике это нежелательный эффект, затрудняющий анализ сигналов, поэтому его стараются понизить путём применения оконных функций. Таких функций придумано немало, ниже представлены реализации некоторых из них, а также сравнительное влияние на спектр одиночного синусоидального сигнала.

Применяется оконная функция ко входному кадру очень просто:

for (var i = 0; i < frameSize; i++)
{
    frame[i] *= Window.Gausse(i, frameSize);
}

using System;
using System.Numerics;

namespace Rainbow
{
    public class Window
    {
        private const double Q = 0.5;

        public static double Rectangle(double n, double frameSize)
        {
            return 1;
        }

        public static double Gausse(double n, double frameSize)
        {
            var a = (frameSize - 1)/2;
            var t = (n - a)/(Q*a);
            t = t*t;
            return Math.Exp(-t/2);
        }

        public static double Hamming(double n, double frameSize)
        {
            return 0.54 - 0.46*Math.Cos((2*Math.PI*n)/(frameSize - 1));
        }

        public static double Hann(double n, double frameSize)
        {
            return 0.5*(1 - Math.Cos((2*Math.PI*n)/(frameSize - 1)));
        }

        public static double BlackmannHarris(double n, double frameSize)
        {
            return 0.35875 - (0.48829*Math.Cos((2*Math.PI*n)/(frameSize - 1))) +
                   (0.14128*Math.Cos((4*Math.PI*n)/(frameSize - 1))) - (0.01168*Math.Cos((4*Math.PI*n)/(frameSize - 1)));
        }
    }
}

Что касается компьютеров, в своё время был разработан алгоритм быстрого преобразования Фурье, который минимизирует число математических операций, необходимых для его вычисления. Единственное требование алгоритма состоит в том, чтобы число отсчётов было кратно степени двойки (256, 512, 1024 и так далее).

Ниже его классическая рекурсивная реализация на языке C#.

using System;
using System.Numerics;

namespace Rainbow
{
    public static class Butterfly
    {
        public const double SinglePi = Math.PI;
        public const double DoublePi = 2*Math.PI;

        public static Complex[] DecimationInTime(Complex[] frame, bool direct)
        {
            if (frame.Length == 1) return frame;
            var frameHalfSize = frame.Length >> 1; // frame.Length/2
            var frameFullSize = frame.Length;

            var frameOdd = new Complex[frameHalfSize];
            var frameEven = new Complex[frameHalfSize];
            for (var i = 0; i < frameHalfSize; i++)
            {
                var j = i << 1; // i = 2*j;
                frameOdd[i] = frame[j + 1];
                frameEven[i] = frame[j];
            }

            var spectrumOdd = DecimationInTime(frameOdd, direct);
            var spectrumEven = DecimationInTime(frameEven, direct);

            var arg = direct ? -DoublePi/frameFullSize : DoublePi/frameFullSize;
            var omegaPowBase = new Complex(Math.Cos(arg), Math.Sin(arg));
            var omega = Complex.One;
            var spectrum = new Complex[frameFullSize];

            for (var j = 0; j < frameHalfSize; j++)
            {
                spectrum[j] = spectrumEven[j] + omega*spectrumOdd[j];
                spectrum[j + frameHalfSize] = spectrumEven[j] - omega*spectrumOdd[j];
                omega *= omegaPowBase;
            }

            return spectrum;
        }

        public static Complex[] DecimationInFrequency(Complex[] frame, bool direct)
        {
            if (frame.Length == 1) return frame;
            var halfSampleSize = frame.Length >> 1; // frame.Length/2
            var fullSampleSize = frame.Length;

            var arg = direct ? -DoublePi/fullSampleSize : DoublePi/fullSampleSize;
            var omegaPowBase = new Complex(Math.Cos(arg), Math.Sin(arg));
            var omega = Complex.One;
            var spectrum = new Complex[fullSampleSize];

            for (var j = 0; j < halfSampleSize; j++)
            {
                spectrum[j] = frame[j] + frame[j + halfSampleSize];
                spectrum[j + halfSampleSize] = omega*(frame[j] - frame[j + halfSampleSize]);
                omega *= omegaPowBase;
            }

            var yTop = new Complex[halfSampleSize];
            var yBottom = new Complex[halfSampleSize];
            for (var i = 0; i < halfSampleSize; i++)
            {
                yTop[i] = spectrum[i];
                yBottom[i] = spectrum[i + halfSampleSize];
            }

            yTop = DecimationInFrequency(yTop, direct);
            yBottom = DecimationInFrequency(yBottom, direct);
            for (var i = 0; i < halfSampleSize; i++)
            {
                var j = i << 1; // i = 2*j;
                spectrum[j] = yTop[i];
                spectrum[j + 1] = yBottom[i];
            }

            return spectrum;
        }
    }
}

Существует две разновидности алгоритма БПФ — с прореживанием по времени и по частоте, но оба дают идентичный результат. Функции принимают массив комплексных чисел, заполненный реальными значениями амплитуд сигнала во временной области, а после своего выполнения возвращают массив комплексных чисел, содержащий информацию об амплитудном и фазовом спектрах. Стоит помнить, что реальная и мнимая части комплексного числа — это далеко не то же самое, что его амплитуда и фаза!

magnitude = Math.Sqrt(x.Real*x.Real + x.Imaginary*x.Imaginary)
phase = Math.Atan2(x.Imaginary, x.Real)

Результирующий массив комплексных чисел заполнен полезной информацией ровно на половину, другая половина является лишь зеркальным отражением первой и спокойно может быть исключена из рассмотрения. Если вдуматься, то этот момент хорошо иллюстрирует теорему Котельникова-Найквиста-Шеннона, о том, что частота дискретизации должна быть не меньше максимальной удвоенной частоты сигнала…

Также существует разновидность алгоритма БПФ без рекурсии по Кули-Тьюки, которая часто применяется на практике, но она чуть более сложна для восприятия.

Сразу после вычисления преобразования Фурье удобно нормализовать амплитудный спектр:

var spectrum = Butterfly.DecimationInTime(frame, true);
for (var i = 0; i < frameSize; i++)  
{
	spectrum[i] /= frameSize;
}

Это приведёт к тому, что величина значений амплитуды получится одного порядка не зависимо от размеров сэмпла.

Вычислив амплитудный и частотный спектры, легко производить обработку сигнала, например, применять частотную фильтрацию или производить сжатие. По сути, таким образом можно сделать эквалайзер: выполнив прямое преобразование Фурье, легко увеличить или уменьшить амплитуду определённой области частот, после чего выполнить обратное преобразование Фурье (хотя работа настоящих эквалайзеров обычно основана на другом принципе — фазовом сдвиге сигнала). Да и сжать сигнал очень просто — нужно всего лишь сделать словарь, где ключом является частота, а значением соответствующее комплексное число. В словарь нужно занести лишь те частоты, амплитуда сигнала на которых превышает какой-то минимальный порог. Информация о «тихих» частотах, не слышимых ухом, будет потеряна, но получится ощутимое сжатие при сохранении приемлемого качества звучания. Отчасти этот принцип лежит в основе многих кодеков.

4. Точное определение частоты

Дискретное преобразование Фурье даёт нам дискретный спектр, где каждое значение амплитуды отстоит от соседних на равные промежутки по частоте. И если частота в сигнале кратна шагу равному (частота дискретизации)/(количество отсчётов), то мы получим выраженный остроконечный пик, но если частота сигнала лежит где-то между границами шага ближе к середине у нас выйдет пик со «срезанной» вершиной и нам будет затруднительно сказать, что же там за частота. Очень может быть что в сигнале присутствуют две частоты лежащие рядом друг с другом. В этом и заключается ограничение разрешения по частоте. Так же как на фотоснимке с низким разрешением мелкие предметы склеиваются и становятся неразличимы, так же и тонкие детали спектра могут теряться.

Но частоты музыкальных нот лежат далеко не на сетке шагов преобразования Фурье, а для повседневных задач настройки музыкальных инструментов и распознавания нот необходимо знать именно точную частоту. Более того, на низких октавах при разрешении от 1024 отсчётов и ниже сетка частот Фурье становится настолько редкой, что попросту на одном шаге начинают умещаться несколько нот и определить какая же на самом деле из них играет становится фактически невозможно.

Чтобы как-то обойти это ограничение иногда применяют аппроксимирующие функции, например, параболические.
www.ingelec.uns.edu.ar/pds2803/Materiales/Articulos/AnalisisFrecuencial/04205098.pdf
mgasior.web.cern.ch/mgasior/pap/biw2004_poster.pdf
Но всё это искусственные меры, которые улучшая одни показатели могут давать искажения в других.

Существует ли более естественный путь для точного определения частоты?
Да, и скрыт он как раз-таки в использовании фазового спектра сигнала, которым часто пренебрегают.
Данный метод уточнения частоты сигнала, основан на вычислении задержки фаз у спектров двух кадров, наложенных друг на друга, но немного сдвинутых во времени.

Подробно прочитать о нём можно по ссылкам:
www.guitarpitchshifter.com/algorithm.html
www.dspdimension.com/admin/pitch-shifting-using-the-ft (+ примеры кода)
eudl.eu/pdf/10.1007/978-3-642-29157-9_43
ctuner.googlecode.com (примеры использования алгоритма на C++ и Java)

На C# реализация метода выглядит довольно просто:

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Numerics;

namespace Rainbow
{
    //  Δ∂ωπ
    public static class Filters
    {
        public const double SinglePi = Math.PI;
        public const double DoublePi = 2*Math.PI;

        public static Dictionary<double, double> GetJoinedSpectrum(
            IList<Complex> spectrum0, IList<Complex> spectrum1,
            double shiftsPerFrame, double sampleRate)
        {
            var frameSize = spectrum0.Count;
            var frameTime = frameSize/sampleRate;
            var shiftTime = frameTime/shiftsPerFrame;
            var binToFrequancy = sampleRate/frameSize;
            var dictionary = new Dictionary<double, double>();

            for (var bin = 0; bin < frameSize; bin++)
            {
                var omegaExpected = DoublePi*(bin*binToFrequancy); // ω=2πf
                var omegaActual = (spectrum1[bin].Phase - spectrum0[bin].Phase)/shiftTime; // ω=∂φ/∂t
                var omegaDelta = Align(omegaActual - omegaExpected, DoublePi); // Δω=(∂ω + π)%2π - π
                var binDelta = omegaDelta/(DoublePi*binToFrequancy);
                var frequancyActual = (bin + binDelta)*binToFrequancy;
                var magnitude = spectrum1[bin].Magnitude + spectrum0[bin].Magnitude;
                dictionary.Add(frequancyActual, magnitude*(0.5 + Math.Abs(binDelta)));
            }

            return dictionary;
        }

        public static double Align(double angle, double period)
        {
            var qpd = (int) (angle/period);
            if (qpd >= 0) qpd += qpd & 1;
            else qpd -= qpd & 1;
            angle -= period*qpd;
            return angle;
        }
	}
}

Применение также несложное:

                        var spectrum0 = Butterfly.DecimationInTime(frame0, true);
                        var spectrum1 = Butterfly.DecimationInTime(frame1, true);
                        for (var i = 0; i < frameSize; i++)
                        {
                            spectrum0[i] /= frameSize;
                            spectrum1[i] /= frameSize;
                        }

                        var spectrum = Filters.GetJoinedSpectrum(spectrum0, spectrum1, ShiftsPerFrame, Device.SampleRate);

Обычно исходные кадры сдвинуты на 1/16 или 1/32 своей длины, то есть ShiftsPerFrame равно 16 или 32.

В результате мы получим словарь частота-амплитуда, где значения частот будут довольно близки к реальным. Однако «срезанные пики» всё ещё будут наблюдаться, хоть и менее выражено. Чтобы устранить этот недостаток, можно просто «дорисовать» их.

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Numerics;

namespace Rainbow
{
    public static class Filters
    {
        public static Dictionary<double, double> Antialiasing(Dictionary<double, double> spectrum)
        {
            var result = new Dictionary<double, double>();
            var data = spectrum.ToList();
            for (var j = 0; j < spectrum.Count - 4; j++)
            {
                var i = j;
                var x0 = data[i].Key;
                var x1 = data[i + 1].Key;
                var y0 = data[i].Value;
                var y1 = data[i + 1].Value;

                var a = (y1 - y0)/(x1 - x0);
                var b = y0 - a*x0;

                i += 2;
                var u0 = data[i].Key;
                var u1 = data[i + 1].Key;
                var v0 = data[i].Value;
                var v1 = data[i + 1].Value;

                var c = (v1 - v0)/(u1 - u0);
                var d = v0 - c*u0;

                var x = (d - b)/(a - c);
                var y = (a*d - b*c)/(a - c);

                if (y > y0 && y > y1 && y > v0 && y > v1 &&
                    x > x0 && x > x1 && x < u0 && x < u1)
                {
                    result.Add(x1, y1);
                    result.Add(x, y);
                }
                else
                {
                    result.Add(x1, y1);
                }
            }

            return result;
        }
    }
}

Перспективы

Нотный анализ музыкальных произведений открывает ряд интересных возможностей. Ведь имея в наличии готовый нотный рисунок, можно осуществлять поиск других музыкальных композиций со схожим рисунком.

Например, одно и то же произведение может быть исполнено на другом инструменте, в различной манере, с другим тембром, либо транспонировано по октавам, однако нотный рисунок останется похожим, что позволит найти различные варианты исполнения одного и того же произведения. Это очень напоминает игру «угадай мелодию».

В некоторых случаях подобный анализ поможет выявить плагиат в музыкальных произведениях. Также по нотному рисунку, теоретически, можно искать произведения определённого настроения или жанра, что поднимает поиск на новый уровень.

Итоги

В этой статье изложены основные принципы точного определения частот акустических сигналов и выделения нот. А также показана некоторая тонкая интуитивная связь дискретного преобразования Фурье с квантовой физикой, что подталкивает на размышления о единой картине мира.

P.S. Радужный фреймворк (Rainbow Framework) содержащий все вышеизложенные примеры кода можно скачать с Кодплекса.

P.P.S. Возможно, эта статья когда-нибудь серьёзно пригодится вам в профессиональной деятельности и поможет сохранить уйму времени и сил, поэтому если вы желаете отблагодарить автора за труд, то можете сделать пожертвование, купить приложение (бесплатная версия с рекламой), благодаря которому статья возникла, либо просто выразить благодарность добрым словом.

Литература

1. Основы спектрального анализа звуков pandia.org/text/77/481/644.php

2. Алгоритм Кули-Тьюки www.codeproject.com/Articles/32172/FFT-Guitar-Tuner

3. Передискретизация (ресэмплинг)
www.dsplib.ru/forum/viewtopic.php?f=5&t=11
www.dsplib.ru/content/farrow/farrow.html

4. Коррекция частоты по смещению фазы
www.guitarpitchshifter.com/algorithm.html
www.dspdimension.com/admin/pitch-shifting-using-the-ft (+ примеры кода)
eudl.eu/pdf/10.1007/978-3-642-29157-9_43
ctuner.googlecode.com (примеры использования алгоритма на C++ и Java)