О форме вращающейся жидкости


    Сегодня я заварил себе чай и задумался


    Сегодня утром я задумался, пока размешивал два кубика сахара в чашке с только что заваренным чаем. Задумался о форме жидкости, которую она принимает при вращении. Безусловно, все представляют себе что будет, если очень быстро начать размешивать сахар в чашке с чаем. Мне захотелось рассмотреть этот банальный и привычный процесс подробнее и попытаться рассказать Вам немного интересного из физики окружающих нас в быту явлений.

    Идея эксперимента


    Давайте представим, что мы имеем некоторую цилиндрическую тару, в которой находится некоторая жидкость. Вращаться жидкость можно заставить, как минимум, двумя очевидными способами: размешать её каким-нибудь предметом или начать вращать цилиндрическую тару, что, благодаря силам трения между жидкостью и поверхностью сосуда, приведет к вращению жидкости, увлекаемой содержащим её вращающимся сосудам.

    Физическая модель


    Остановимся на втором варианте. Итак, у нас есть вращающийся с постоянной циклической частотой сосуд, в котором при динамическом равновесии с постоянной циклической частотой вращается жидкость в том же направлении.

    Вырежем из всей жидкости элементарный бесконечно малый объем около поверхности и рассмотрим какие силы на него действуют. В силу симметрии задачи, будем ориентироваться на цилиндрические координаты, что заметно упростит расчеты.

    Качественный расчет формы поверхности


    Запишем второй закон Ньютона для элементарного кусочка объема жидкости:
    $m\overrightarrow a = \sum\limits_i {\overrightarrow F _i } $
    К примеру, после размешивания ложкой сахара в чашке только что заваренного чая, жидкость вращается вокруг оси симметрии, отсюда наш элементарный кусочек объема имеет центростремительное ускорение. Поэтому спроецируем наш закон Ньютона на ось, совпадающую с радиусом-вектором от элементарного объема до оси симметрии. Не будем учитывать вязкость и поверхностное натяжение. Сила, сообщающая центростремительное ускорение (в правой части нашего закона движения) возникнет из-за разности давлений столбов жидкости, что можно увидеть на увеличенной части первого рисунка.

    Таким образом, у нас получится следующее выражение:
    $Or:ma_{c} = F_{\Delta p} $, где $a_{c} = \frac{{v^2 }}{r} = \frac{{\left( {\omega r} \right)^2 }}{r} = \omega ^2 r$, а та самая сила определится как $F_{\Delta p} = \Delta p \cdot S_{eff.section} $, где площадью эффективного сечения $S_{eff.section} = rd\varphi \cdot dh = rd\varphi dh $ обозначена та площадь нашего элементарного объема, на которую действует разница давлений столбов жидкости $\Delta p = \rho gdh$.
    Получаем силу $F_{\Delta p} = \rho gdh \cdot rd\varphi dh = \rho grd\varphi \left( {dh} \right)^2$

    Масса нашего элемента объема определяется по знакомой всем формуле $m = \rho dV$, а сам объем будет равен $dV = rd\varphi \cdot dh \cdot dr$ (элементарный объем в цилиндрических координатах).
    В итоге, 2 закон Ньютона для нашей маленькой задачки расписывается в следующее выражение:
    $\rho rd\varphi \cdot dh \cdot dr \cdot \omega ^2 r = \rho grd\varphi \left( {dh} \right)^2$
    После небольших сокращений и преобразований получаем:
    $\omega ^2 rdr = gdh$
    Теперь проинтегрируем обе части выражения, используя неопределенные интегралы:
    $\int {\omega ^2 rdr = \int {gdh} } $
    $\omega ^2 \frac{{r^2 }}{2} = gh + const$
    $h(r) = \frac{{\omega^2 }}{{2g}}r^2 + C$

    Детальный расчет формы поверхности


    Теперь мы получили вполне ясную зависимость для формы поверхности и с уверенностью можем сказать, что это параболоид. Но нам неизвестна постоянная величина $C$. Давайте её определим для полного понимания физики процесса.

    Так как объем жидкости не меняется (мы считаем, что не пролили ни капли, пока размешивали наш чай ツ), то запишем объемы до вращения и во время вращения с постоянной циклической частотой.

    До вращения:
    $V = \pi R^2 H$, где $H$ — это высота жидкости в цилиндрической поверхности в спокойном состоянии (вращения нет).

    Во время вращения:
    $V = \int {\int {\int {dV} } } = \int {\int {\int {rd\varphi dhdr} } } $
    $\begin{array}{l} V = \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^R {rdr} \int\limits_0^{\frac{{\omega ^2 }}{{2g}}r^2 + C} {dh} = \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^R {r\left( {\frac{{\omega ^2 }}{{2g}}r^2 + C} \right)dr} = \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^R {\left( {\frac{{\omega ^2 }}{{2g}}r^3 + Cr} \right)dr} = \\ = \int\limits_0^{2\pi } {\left( {\frac{{\omega ^2 }}{{8g}}R^4 + \frac{C}{2}R^2 } \right)d\varphi } = \left( {\frac{{\omega ^2 }}{{8g}}R^4 + \frac{C}{2}R^2 } \right)2\pi = \frac{{\pi \omega ^2 }}{{4g}}R^4 + \pi CR^2 \\ \end{array}$

    Данные объемы равны, поэтому:
    $\pi R^2 H = \frac{{\pi \omega ^2 }}{{4g}}R^4 + \pi CR^2 $
    Отсюда выражается ранее неизвестная постоянная: $C = \frac{1}{{R^2 }}\left[ {R^2 H - \frac{{\omega ^2 }}{{4g}}R^4 } \right] = H - \frac{{\omega ^2 }}{{4g}}R^2$
    И окончательное уравнение формы поверхности вращающейся жидкости имеет вид:
    $h(r) = \frac{{\omega ^2 }}{{2g}}r^2 + H - \frac{{\omega ^2 }}{{4g}}R^2$ или преобразовав $h(r) = \frac{{\omega ^2 }}{{2g}}\left( {r^2 - \frac{{R^2 }}{2}} \right) + H$

    Некоторые заметки


    Хотелось бы обратить внимание на то, что форма поверхности зависит от частоты вращения, ускорения свободного падения, геометрических параметров сосуда, первоначального объема жидкости, но не зависит от плотности жидкости. Это выражение мне показалось довольно интересным, так как с его помощью можно легко смоделировать примерное расположение жидкости внутри вращающегося вокруг своей оси симметрии цилиндрического сосуда. Для этого можно воспользоваться MathCAD’ом и построить несколько графиков.

    Графическое представление результатов расчета


    Возьмем вполне реальные параметры системы, соизмеримые с размерами чашки или стакана.
    Радиус цилиндрической поверхности: $R0: = 0.05$
    Высота жидкости в цилиндрической поверхности без вращения: $H0: = 0.1$
    Ускорение свободного падения: $g0: = 9.81$
    Циклическая частота вращения цилиндрической поверхности: $w0$
    (Все значения этих величин заданы в системе Си)

    Далее перепишем нашу функцию для её отображения в MathCAD.
    Для 2D отображения сечения:
    $h(r): = if\left( { - R0 \le r \le R0,\frac{{w0^2 }}{{2 \cdot g0}} \cdot \left( {r^2 - \frac{{R0^2 }}{2}} \right) + H0,0} \right)$

    Для 3D отображения поверхности:
    $N0: = 100$
    $i: = 0..N0$
    $j: = 0..N0$
    $x_i : = 0.001 \cdot \left( {2 \cdot i - N0} \right)$
    $y_j : = 0.001 \cdot \left( {2 \cdot j - N0} \right)$
    $r(x,y): = \sqrt {x^2 + y^2 }$
    $hv(x,y): = \frac{{w0^2 }}{{2 \cdot g0}} \cdot \left( {r^2 (x,y) - \frac{{R0^2 }}{2}} \right) + H0$
    $fh(x,y): = if\left( { - R0 \le r(x,y) \le R0,if(hv(x,y) \ge 0,hv(x,y),0),0} \right)$
    $M_{i,j} : = fh(x_i ,y_j )$

    В качестве изменяющегося параметра будем менять циклическую частоту вращения $w0$. Результаты можно наблюдать на рисунках ниже:


    При циклической частоте $w0 = 0(рад/c)$


    При циклической частоте $w0 = 5(рад/c)$


    При циклической частоте $w0 = 15(рад/c)$


    При циклической частоте $w0 = 25(рад/c)$


    При циклической частоте $w0 = 39.5(рад/c)$


    При циклической частоте $w0 = 90(рад/c)$

    Выводы


    Видно, что если циклическая частота превысит значение $w0 = 39.5(рад/c)$, то мы увидим дно вращающегося цилиндрического сосуда, и, начиная с этой частоты, жидкость будет плавно «переходить» на стенки сосуда, всё сильнее оголяя дно. Очевидно, что при очень больших частотах вся жидкость растечется по стенкам сосуда. Теперь мы знаем все параметры такой жидкости. Зная её уравнение, не составит большого труда рассчитать толщину слоя жидкости на стенке сосуда на определенной высоте при определенной частоте.

    upd. Отдельно хотелось бы подчеркнуть те противоречащие друг другу допущения, которые были приняты при рассмотрении задачи:
    1. Считалось что, жидкость вращается благодаря вращению сосуда, который её содержит. Это может быть только при учете внутреннего трения, вязкости и поверхностного натяжения.
    2. Но при выводе формы поверхности эти явления не учитываются для того, чтобы упростить решение и показать только качественный результаты моделирования. Т.е. решение немного противоречит описываемой изначально модели. Учет всех явлений, включая нелинейность процесса при высоких частотах, настолько бы усложнил задачу, что её вряд ли можно было бы решить аналитически и показать примерную и понятную модель для человека, который не связан с математикой/физикой.
    3. Цель состоялась в том, чтобы показать лишь очень приближенное и самое простое решение, включающее в себя ряд допущений.
    AdBlock похитил этот баннер, но баннеры не зубы — отрастут

    Подробнее
    Реклама

    Комментарии 44

      +7
      Кому-то в Новый Год было очень скучно)
        0
        мне кажется, эта статья родилась после того, как автор поболтал вино в бокале
        +1
        > Хотелось бы обратить внимание на то, что форма поверхности зависит от частоты вращения, ускорения свободного падения, геометрических параметров сосуда, первоначального объема жидкости, но не зависит от плотности жидкости.

        Странно. Т.е. если мы возьмем, скажем, ртуть и этанол, поместим в одинаковые сосуды и будем вращать с одной скоростью, то форма жидкости будет одинаковая?
          +7

          Да. Но энергии, чтобы придать эту скорость вращения придётся потратить по-разному

            0
            А, теперь все встало на свои места :)
              +3
              Возможно и нет, ведь силу поверхностного натяжения Вы не учитывали.
              0
              Да, как это ни странно. Как-то меня тоже удивляло, почему масса не влияет на подобные процессы, но по формулам сходится. Скажем, при торможении — тормозной путь не зависит от массы (сила трения компенсирует). Даже запуская спутник на геостационарную орбиту, из расчетного уравнения масса спутника сокращается (вики).
              +6
              Зачем указан хаб «Программирование»? Где хоть строчка кода?
                +2
                Я вот, честное слово, в закорючках не силен.
                Но с детства знал, что жидкость принимает форму параболы.
                Это что, неверно?
                  +6
                  Параболоида. Парабола — плоская кривая.
                    0
                    Отвечая на комментарий, содержащий вопрос, вы, теоретически, акцептировали оферту, содержащую обещание ответить на вопрос.
                    Конец шутки.
                    Отвечу за Вас:
                    Вроде бы, да, параболоид (а не парабола)
                  +6
                  В заключении можно было бы ещё написать, что такой способ формирования параболической поверхности уже давно используется для получения зеркал для телескопа. См. например статью в Вики или страницу Mirror Lab Аризонского университета.
                    +3
                    Не будем учитывать вязкость и поверхностное натяжение.

                    1. Почему? Где хоть какое-то допущение, что данные характеристики жидкости не влияют на модель физического явления?
                    2. Скажите, если у вас не учитывается вязкость, каким образом вращение передаётся от стенок сосуда внутрь жидкости?

                    P.S. Я ещё прикиньте, как ваши рассуждения лягут на неньютоновскую жидкость. Там тоже будет много открытий, поскольку угловая скорость, как функция радиуса, будет нелинейной.
                      +2

                      Решение этой задачи известно достаточно давно (кстати форма параболическая).
                      Все же следует всегда прежде посмотреть предыдущие работы по этой теме — особенно с точки зрения полного физического анализа, не прибегая сразу к моделирующим программам.
                      Например, как в вашей модели опишется такой экспериментальный факт, что при размешивании чая, чаинки собираются в центре дна стакана

                        +2
                        Например, как в вашей модели опишется такой экспериментальный факт, что при размешивании чая, чаинки собираются в центре дна стакана

                        Элементарно же — жидкость принимает форму параболоида, и чаинки по нему вниз скатываются!
                          0
                          А никак=) Чаинки имеют другую плотность, а модели неоднородных сред — это та ещё мука.
                            +1
                            «у нас есть вращающийся с постоянной циклической частотой сосуд, в котором при динамическом равновесии с постоянной циклической частотой вращается жидкость в том же направлении.»

                            В рамках этой модели чаинки не будут собираться в центре дна стакана. Для обьяснения поведения чаинок важно наличие неподвижного дна, возле которого жидкость не вращается. Объяснение можно почитать в книге Р. Поля «Механика, акустика и учение о теплоте».
                            Для аккуратного описания формы поверхности чая в стакане, размешиваемого ложкой, важно наличие неподвижной боковой стенки чашки.
                          +2
                          Если не учитывать трение, то это тривиальная задача. На самом деле, в реальном стакане с чаем трение не учитывать нельзя. Я когда-то решал эту задачу с помощью уравнений Навье-Стокса. Помню, что решение выражалось суммой функций Бесселя (или суммой квадратов функций Бесселя, не помню уже).
                          Поэтому там не парабола, особенно около стенки стакана.
                            0
                            Вот да. Зашел написать про вязкость, числа Рейнольдса, поверхностное натяжение и Навье-Стокса
                              0
                              Было бы любопытно глянуть, как такая задача решается аналитически. Какие допущения используются? Нет ли ссылки на решение?
                                0
                                Там проблема в том, что обычная вязкость дает только пристеночный пограничный слой, дальше (в реальном стакане) будет жить турбулентная вязкость, которая ещё веселее.
                                0
                                –1
                                Вот почему Земля сплюснута у полюсов.
                                При циклической частоте 0.00007292115 радиан/с
                                  +5
                                  Это Высший Замысел, потому что при более быстром вращении слона сдувает с черепахи
                                • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                    0
                                    Ничем не подкреплённая гипотеза — при вращении проще заставить двигаться весь объём жидкости.
                                    –1
                                    А мне понравился пост!
                                      +3
                                      Позвольте вмешаться.
                                      Здесь мы имеем как раз очень хороший пример когда задача решается без анализа физических допущений. В педагогическом плане такие задачи здорово дезориентируют как школьников так и студентов.
                                      «жидкость вращается вокруг оси симметрии» — это как это она делает? Видимо как квазитвёрдое тело которое может деформироваться. Т.е. по сути это не жидкость, а… скорее что-то сыпучее или какое-то желе.
                                      Так, ну а что же происходит в жидкости?
                                      1. Жидкость тормозится у стенок, и мы имеем т.н. «дифференциальное вращение» — когда скорость непостоянна по радиусу.
                                      2. Вязкость переносит взаимодействие, она важна.
                                      3. Начиная с какой-то частоты вращения жидкость теряет устойчивость и в ней образуются вихри. Много и сложные. Нужно учитывать нелинейную часть уравнения Навье-Стокса.
                                      4. Поверхностное натяжение стремится как раз не дать жидкости изменить форму.
                                      Итак — как же решать-то?
                                      Решать трудно.
                                      Форма поверхности зависит от внутренней гидродинамики, а чтобы решать дифференциальные уравнения — систему Навье-Стокса надо задаться расчетной областью — т.е. той самой формой.
                                      Например делают так — решают ДВУФАЗНОЕ уравнение и в воде и в воздухе, а между водой и воздухом у нас межфазная поверхность — и ячейки расчетной сетки частично заполнены водой, частично воздухом. И при этом есть еще уравнение для доли фазы в ячейке. Метод называется Volume Of Fluid.
                                      Есть и другие методы — приближение «мелкой воды» например.
                                      Метод который изложил автор тоже имеет право на жизнь — вопрос насколько можно верить получившемуся результату? Скорее всего можно — вопрос при каких условиях, в каких диапазонах значений параметров, откуда эти параметры взялись, и т.п…
                                      Это традиционные проблемы которые есть у школьной/младшекурсной физики. Преподаватели часто считают, что а) модели очевидны, б) сами не пробовали пользоваться результатами. В результате задачи по физике превращаются в задачи, в лучшем случае, по математике, в худшем — в головоломки с неполными данными.
                                        +1
                                        Проблема усугубляется ещё тем, что автор сам не понимает того, что пишет. То есть, уравнения для определённого диапазона условий — верны. Явно взяты откуда-то. А вот текст, сопровождающий их — полная отсебятина. Чего стоит уже упоминавшееся мной предложение не учитывать вязкость жидкости и, при этом, «раскручивать» её путём вращения ёмкости.

                                        Предлагаю автору провести натурный эксперимент. Налить воду в тарелку. Подождать, пока она успокоится. Поместить на поверхность спичку. Покрутить тарелку. Боюсь, будет весьма неожиданный результат.

                                        За пропущенные шаги в выкладках формул — отдельное порицание. Я вот даже с профильным образованием не сразу вспомнил все нюансы курса, который слушал 10 лет назад.
                                          0
                                          В данной статье я хотел показать только очень примерную модель, не претендующую на точнейшее решение, учитывающее все физические явления. Так как абсолютно всё в тексте я набросал от себя, включая уравнения и описание, то я понимал о чём пишу. Согласен с тем, что с реальными физическими процессами очень большая разница. Повторюсь, эта была грубая модель. Математические выкладки старался писать максимально подробно, опускал только сокращение подобных слагаемых, подразумевая, что для аудитории Хабра не нужно рассказывать о том, что такое интегрирование и законы Ньютона.

                                          Благодарю Вас за аргументированную критику! Мне было полезно прочитать все мои огрехи и неточности, чтобы в дальнейшем повышать качество написания текстов. В конце статьи дописал о всех моих неточностях, допущенных при описании. Спасибо за Ваш комментарий.
                                            0
                                            Да, пожалуйста. Редко всё-таки сегодня адекватно реагируют на критику. Рад, что с вами не так.
                                              +1
                                              Тоже повторюсь ))) из методических соображений.
                                              «эта была грубая модель».
                                              Может быть и нет — т.е. не грубая. Ваша модель может быть превосходна! Проблема в том, что она неизвестная какая для неспециалистов. По хорошему надо ставить эксперимент и смотреть насколько близко/далеко реальная кривая будет от параболы.
                                              Судя по тому, что этот метод использовался для телескопов
                                              www.popmech.ru/science/234834-teleskopy-s-zhidkimi-linzami-kak-eto-rabotaet
                                              модель ХОРОШАЯ. Хорошая — значит её можно использовать на практике.
                                            0
                                            Это традиционные проблемы которые есть у школьной/младшекурсной физики. Преподаватели часто считают, что а) модели очевидны, б) сами не пробовали пользоваться результатами. В результате задачи по физике превращаются в задачи, в лучшем случае, по математике, в худшем — в головоломки с неполными данными.

                                            Это проблема любого обучения потому что в основе практически любого обучения лежит принцип «От простого к сложному» и поэтому реальное явление зачастую заменяется упрощенной моделью.
                                            Я уже не говорю о том, что многие «законы природы» по своей сути являются эмпирическими моделями. Самая простая иллюстрация — вопрос: «Что такое электрический ток?», на который легко несколькими словами ответит школьник (даже не обязательно отличник по физике) и который, прежде чем ответить серьезно, заставит задуматься серьезного физика со степенями и званиями. И его честный ответ будет: «Точный ответ науке сейчас не известен».
                                              0
                                              Ну хочется все же чтобы преподаватель знал и сложное и простое, и мог объяснить почему можно или нельзя пользоваться простыми моделями. Я как-то на курсе физики твердого тела столкнулся с некой непонятностью в модели. Ну и… все дальнейшее изложение мне было как-то так уже… Потом через много лет, я нашел, что оказывается Альберт Эйнштейн возражал против такого подхода ))). Мне сразу полегчало, а то я думал, что я уж такой глупый. )))
                                              Кстати хороший пример — «ультрафиолетовая катастрофа» — простая модель которая давала неправильные результаты привела к созданию сложной модели — квантовой механики.
                                              «многие «законы природы» по своей сути являются эмпирическими моделями»
                                              Ну до определенной степени — и как раз надо знать до какой.
                                              Так-то есть «первые принципы» — из них очень много чего можно получить, что поначалу выглядит чистой эмпирикой.
                                                0
                                                Ну хочется все же чтобы преподаватель знал и сложное и простое, и мог объяснить почему можно или нельзя пользоваться простыми моделями.

                                                Вы затронули еще одну аналогию обучения с физикой. С одной стороны в обучении действует второй закон термодинамики, устанавливающий что перенос знаний идет от более грамотного к менее грамотным и большая часть этого потока рассеивается на дураках. И величина этого потока пропорциональна дельте знаний.
                                                Но с другой стороны в обучении зачастую работают и «демоны Максвелла», когда серьезный научный труд некоторых преподавателей по сути является компиляцией идей студентов из их курсовиков и дипломов.
                                                привела к созданию сложной модели — квантовой механики

                                                Многие идеи квантовой механики для неподготовленных умов выглядят бредом сумасшедшего по сравнению с простотой законов сэра Ньютона.
                                            +1
                                            Еще раз — кривая не параболоид. Параболоидом можно интерполировать только центр стакана, поскольку он далеко от стенок. Граничными условиями при решении уравнений Навье-Стокса является нулевое значение скорости у стенок стакана. Провелите простейший эксперимент — раскрутите чай ложкой, а затем уберите ее. Очень скоро увидите, что это далеко не параболоид. Кстати, в данном случае уравнения не такие супер сложные если выбрать цилиндрические координаты.
                                              0
                                              Забавно было бы автору сравнить свою статью с соответствующей главой «Занимательной физики» Перельмана.
                                                0
                                                Эти формулы можно вывести и проще
                                                составив каноническое распределение от высоты и про интегрировав
                                                и следует учесть еще ланиарность течения и поверхностное натяжение
                                                  0
                                                  Алаверды с экспериментом — www.youtube.com/watch?v=pL6tF1N2vr4
                                                  Ответ —
                                                  Заголовок спойлера
                                                    0
                                                    Замечательная статья. Я был очарован вашими расчётами, логикой, последовательностью рассуждения. С дикой завистью прочел публикацию, хотя не понял «закорючки». ) Как смотреть на мир через формулы? Что прочесть? Хочу также. Спасибо.

                                                    Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                                    Самое читаемое