В предыдущей статье я пояснил, почему наивным наблюдателям, не знающим о наличии дополнительного измерения, будет казаться, что у частицы, способной передвигаться в дополнительных измерениях, есть партнёры Калуцы-Клейна (КК) — более тяжёлые версии изначальной частицы. Я указал на то, что когда изначальная частица массы m движется в направлении дополнительного измерения, наивному наблюдателю она кажется неподвижной и более тяжёлой, чем она должна быть, то есть, будто бы это частица другого типа. Такой класс якобы новых частиц, похожих на изначальную, но более тяжёлых, называется КК-партнёрами.
В случае с полоской, если частица массы m движется поперёк полосы с моментом pпоперёк, наблюдатель, считающий полоску линией, будет считать, что частица — это КК-партнёр с нулевым импульсом и массой M, где
Хотя в целом это верно, из этого следует, что для каждой массы M, большей m, должен существовать свой КК-партнёр. Но это не так — наш мир квантовый (см. рис. 1 предыдущей статьи). Теперь узнаем, как именно квантовая механика меняет всю картину.
Ключевая особенность квантовой физики, которая нам нужна — для квантовой «частицы», перемещающейся в измерении конечного размера, допустимы не все возможные величины pпоперёк. В более общей формулировке: квантовая механика говорит о том, что «частица», движущаяся в измерении конечного размера, может обладать лишь определёнными значениями импульса в этом направлении.
Это одно из важнейших и самых странных последствий квантовой механики! На первый взгляд это совершенно контринтуитивно, поскольку что может помешать вам задать «частице» с импульсом p небольшое ускорение, чтобы её импульс немножечко отличался от p?
Вы могли обратить внимание на то, что я начал брать слово «частица» в кавычки, поскольку в текущем контексте нам нужно отличать термин «частица», использующийся для описания электронов, мюонов, кварков, глюонов и всех остальных известных элементарных частиц, от интуитивного понятия частицы, которое мы наследуем из нашего опыта с пылью, песком, солью и гравием. Лучше будет называть такие «частицы», как электрон, фотон, Кварк и т.п., квантами, более хитрыми объектами. Эти кванты представляют собой возмущения полей, они во многом больше похожи на волны, чем на частицы. Лучший способ понять квант — представить себе волны. Это ещё один важный лингвистический момент: говоря «волна», я не имею в виду нечто вроде отдельной волны в океане, разбивающейся о берег — я имею в виду последовательность волн, со многими гребнями и впадинами.
Примером таких волн будут электромагнитные волны, к которым принадлежат и световые волны, различимые для наших глаз. Представьте, что мы взяли такую волну — например, свет лазера — и приглушаем свет, всё больше и больше. Насколько его можно приглушить? Оказывается, что в нашем квантовом мире существует самая тусклая из возможных вспышка света, которую мы зовём квантом света, или фотоном. Фотон — это волна света, чья высота волн и интенсивность — наименьшая из всех возможных. Всеми этими концепциями и названиями мы обязаны Эйнштейну, которые — несмотря на всё его известное недовольство концептуальными последствиями квантовой механики — был одним из основателей этой теории.
Нет ничего интуитивного — с моей точки зрения — в том, что световые волны состоят из квантов, поскольку ни в одном из наблюдаемых нами непосредственно процессов это не проявляется. Но наши тела, благодаря процессам, которые мы не осознаём, используют этот факт постоянно. Свет лампы кажется нашему мозгу непрерывным, но наши глаза на самом деле поглощают фотоны по одному. Более того, я своими глазами видел подтверждение того, что свет состоит из квантов — я знаю об этом не только из книг.
Мы, физики, часто называем эти кванты света «частицами света», поскольку во многих отношениях они ведут себя как частицы. Любой фотон, перемещающийся по прямой сам по себе, обладает определённой энергией и импульсом; у всех фотонов есть одно и то же значение массы (конкретно, нулевое); фотон нельзя разделить на более мелкие части; фотон можно испустить или поглотить только целиком. Эти свойства грубо соответствуют тому, что наша интуиция могла бы ожидать от таких частиц, как крупицы песка, стеклянные шарики, частички пыли и т.п.
Но слово «квант» по многим причинам лучше слова «частица», поскольку некоторые свойства квантов похожи на свойства частиц, а некоторые — на свойства волн. Хорошо известный пример волнового поведения — квант способе проходить через две двери одновременно и взаимодействовать (в том же смысле, в котором волны взаимодействуют друг с другом и гребни с впадинами взаимно уничтожают друг друга) с самим собой. А дальше мы увидим ещё один пример.
Нужно помнить, что то, что выполняется для фотона, выполняется и для всех известных «частиц». И действительно, каждая из них представляет собой тип кванта — волны минимально возможной высоты в соответствующем поле. Электрон — квант электронного поля. Кварк — квант кваркового поля. Z-частица — квант Z-поля, и так далее.
Пора узнать то, что я обещал вам объяснить: почему волновая природа квантов подразумевает, что массы частиц КК-партнёров принимают определённыке значения, а не все возможные значения, большие массы m изначальной «частицы». Знаменитый физик Луи де Бройль, по следам первых идей Эйнштейна, впервые чётко определил, что взаимосвязь между волнами, частицами и квантами подразумевает, что для кванта существует зависимость между:
• Его импульсом (свойством, напоминающим свойства частиц),
• И его длиной волны (свойством, напоминающим свойства волн) [и опять, тут под «волной» имеется в виду последовательность волн, а длиной волны называется расстояние между гребнями волн в последовательности].
И эта зависимость выражается просто: импульс = h / длина_волны
h — знаменитая постоянная Планка, такая же фундмаентальная постоянная природы, как скорость света. Планк ввёл эту константу в 1900-м году, пытаясь разгадать одно таинственное физическое явление. Это был первый шаг по направлению к квантовой природе мира. Каждый раз, когда вы пытаетесь описать явление, в котором важную роль играет квантовая механика, появляется константа h. Во многих формулах вы можете увидеть величину ℏ, и это всего лишь h, делённая на 2π, поскольку эта величина чаще оказывается более удобной для упрощения формул.
Рис. 1: рассмотрим квант, двигающийся по полоске и по трубе
В некоторых случаях оказывается немного проще объяснить, что происходит с квантом, перемещающимся по трубе, чем с тем, что движется по полоске, использованной нами в предыдущих примерах. Почти всё, что работает для трубы, будет верным и для полоски. Поэтому я буду использовать их совместно.
Рис. 2: три вида на волну, двигающуюся вдоль длинного измерения
Представим себе квант, путешествующий по полоске ширины W, или по трубе окружности S. Сначала представим квант, движущийся вдоль длинного измерения (длинного — значит, бесконечного, или такого длинного, что оно может быть бесконечным, насколько мы сможем судить о нём). Волна, идущая вдоль полосы или трубы может перемещаться вдоль длинного измерения в любом направлении и обладать любой длиной волны (расстоянием между двумя соседними гребнями). См. рис. 2. Такой квант может обладать любым импульсом вдоль полоски или трубы, согласно де Бройлю: импульс может быть нулевым, очень малым, малым, большим, в любом направлении, и т.п. В принципе импульс можно сделать немного больше (или немного меньше), подтолкнув квант в направлении его движения (или в обратном).
Рис. 3: два вида на волну, двигающуюся вдоль короткого измерения трубы
Теперь рассмотрим квант (т.е. «частицу»), движущийся поперёк полоски или трубы. Во-первых, он очевидно не сможет обладать длиной волны, большей, чем поперечное расстояние полоски или окружность трубы! Это легко видеть на трубе: на ней должен уместиться по меньшей мере один гребень (красный) и одна впадина (синий), которые движутся по трубе, как показано на рис. 3. Если длина волны больше S, волна не соединится сама с собой, как показано на рис. 4. Самая большая длина волны будет равняться как раз S; а единственная впадина волны должен будет располагаться ровно на противоположной от единственного гребня стороне трубы.
Рис. 4: неподходящие длины волн
Гребень и впадина волны на рис. 3 двигаются вокруг трубы, напоминая (рис. 5) обычную неквантовую частицу (тут я действительно имею в виду нечто вроде песчинки, а не кванта или «частицы»), катающуюся по трубе, но с одним важным отличием: если обычная интуитивная частица без проблем может двигаться немного быстрее или медленнее, из-за чего её импульс будет немного увеличиваться или уменьшаться, квант, соответствующий волне, не может обладать немного большим или меньшим импульсом, поскольку это соответствовало бы неприемлемой длине волны (рис. 4).
Рис. 5: волна похожа на частицу
На полоске это немного хитрее, но, как показано на рис. 6, там опять-таки может быть только один гребень у одной стенки и один у другой, и это положение со временем меняется: гребень не двигается, но уменьшается в размере и превращается во впадину, а впадина превращается в гребень. Отметим, что, в отличие от рис. 3, где гребень и впадина сохраняют размер но двигаются по трубе, гребень этой волны не двигается, а сжимается. Поэтому она называется «стоячей волной». Для похожего (но не идентичного) примера представьте себе струну гитары или скрипки. Интуитивно эта стоячая волна соответствует обычной неквантовой частице, перемещающейся вперёд и назад поперёк полоски. (Менее интуитивно, но более точно, она соответствует обычной частице, перемещающейся в обе стороны одновременно. Но этот очень странный и прикольный квантовый факт сейчас неважен.) Это показано на рис. 7.
Рис. 6: два вида на стоячую волну с наибольшей длиной волны
В обоих случаях существует наибольшая возможная длина волны (S для трубы, 2W для полоски). А это значит, что существует и наименьший возможный импульс (h/S и h/ 2 W для трубы и полоски). И, наконец, это означает, что существует наилегчайшая возможная КК-частица! С массой M, где
Заметьте, что для безмассовых частиц, m = 0, эти формулы сводятся к:
И эти последние формулы примерно правильны, если S и W очень малы, как это часто бывает в правдоподобных рассуждениях.
Рис. 7: квант стоячей волны немного напоминает частицу, двигающуюся туда-сюда
И вот мы узнали, что из-за того, что «частицы» на самом деле — это кванты, со свойствами, напоминающими свойства волн:
Отлично. Это главный момент, поэтому, пожалуйста, убедитесь, что поняли его, прежде чем продолжать. Осталось объяснить ещё кое-что:
Из изложенного выше ответы можно довольно легко вывести.
Рис. 8: волна с ближайшей к самой большой длиной волны, двигающаяся вдоль короткого измерения трубы
Почему КК-партнёров много? Просто потому, что у квантовых волн на полоске или трубе может быть много разных длин волн. На рис. 8, 9 и 10 можно увидеть волны с длиной, составляющей 1/2 или 1/3 от максимальной, соответствующие (согласно Эйнштейну и де Бройлю) квантом двойного и тройного импульса по отношению к минимальному.
Рис. 9 стоячая волна с ближайшей к самой большой длиной волны на полоске
Обобщая, можно сказать, что допустима любая длина волны, у которой будет n гребней и n впадин, где n — любое положительное целое (1, 2, 3, 4,..), чтобы длина волны равнялась S, делённой на n (или 2W, делённой на n) и волна чётко умещалась внутри круга окружностью S или внутри линии длины W. Любая другая длина волны не подходит (см. рис. 4). Соответственно, учитывая соотношение де Бройля, импульс = h / длина_волны, допускается любой импульс вида n h / S (или n h / 2 W), и для каждого значения n у нас будет КК-партнёр массы:
Это отвечает почти на все заданные вопросы, по крайней мере для случаев с трубой и полоской:
Рис. 10: волны на полоске и трубе с длиной волны в 1/3 максимальной
Остался последний вопрос: почему количество, размер и форма дополнительных измерений определяет массы КК-партнёров — и отсюда, соответственно, почему измерение масс множества КК-партнёров позволяет определить свойства дополнительных измерений, так же, как прослушивание звука музыкального инструмента позволяет в принципе определить его форму, размер и материалы, из которых он сделан?
Возьмём чрезвычайно упрощённый пример. Рассмотрим два дополнительных измерения, снова использовав наш классический судовой канал, включая (как мы делали в конце недавней статьи с примерами дополнительных измерений) и тот факт, что у канала есть глубина, поэтому мы можем представлять себе волны внутри него (волны такого типа вы можете услышать в большом помещении, или под водой в любом канале). Сечение канала (если мы разрежем его в любой точке линии, идущей вдоль длинного измерения) будет просто прямоугольником шириной W и глубиной D. Так же, как любая неквантовая частица, даже будучи неподвижной с точки зрения длинного измерения, может двигаться вдоль одного или двух дополнительных измерений (и, таким образом, иметь импульс либо по ширине, либо по глубине), так и волна будет обладать длиной волны в обоих дополнительных измерениях. Такое простое разделение волны на то, что она делает по измерению ширины и то, что она делает по измерению глубины, особым образом завязано на прямоугольность канала, и обычно не будет работать в других примерах. К примеру, как показано на рис. 11, вверху, у одной из допустимых волн будет три впадины по измерению ширины и одна по измерению глубины.
Рис. 11
Мы можем обозначить количество впадин и гребней по измерению ширины целым числом n1, а по измерению глубины — n2, и для каждого n1 и n2 (одна или обе эти величины могут быть больше нуля) у нас получится по КК-партнёру. Для безмассовых (m = 0) или почти безмассовых квантов КК-партнёры будут обладать массой
Видно, что распределение масс отличается от случая с одним дополнительным измерением, и что оно может сообщить нам как W, так и D.
Если же поперечное сечение канала будет другой формы — допустим, треугольное или полудиск, как показано на рис. 11, внизу, то мы получим другое распределение масс, отражающее точную форму треугольника или полудиска. И мы уже можем отбросить практические судовые каналы и представлять трёхмерное пространство, чьё поперечное сечение соответствует любой другой конечной двумерной форме, одной из приведённых на рис. 1 в статье о мирах с двумя пространственными измерениями: полному диску, или даже сфере или тору. Каждая из этих форм даст нам своё вид распределения масс КК-партнёров. И если дополнительных измерений будет три, или четыре, или пять… Возможно гораздо больше видов распределений.
Примеры некоторых распределений для безмассовых частиц с размерами дополнительных измерений, выбранными так, чтобы массы первых КК-партнёров были одинаковыми для каждого случая, даны на рис. 12. Очевидно, что для установления формы и размера дополнительных измерений придётся измерить массы достаточно большого количества КК-партнёров (и даже хотя бы подтвердить, что любые из новооткрытых тяжёлых частиц вообще являются КК-партнёрами), поэтому на то, чтобы понять природу любых дополнительных измерений, уйдёт время.
Рис. 12
Тогда возникает очевидный дополнительный вопрос. Мы знаем, что среди известных элементарных частиц есть электрон, а также более тяжёлые его версии: мюон и тау. Есть верхний кварк, и более тяжёлые его версии — очарованный и истинный. Есть нижний кварк, и его более тяжёлые версии, странный и прелестный. Являются ли тяжёлые версии частиц КК-партнёрами лёгких?
На первый взгляд это соблазнительное предположение, но ответом на него будет твёрдое «нет». Извините. Это нисколько не тупой вопрос. Просто на него есть умный отрицательный ответ.
Мюон и тау, очарованный и истинный, странный и прелестный — все они получают свои массы благодаря полю Хиггса, а не благодаря импульсу из дополнительных измерений. Это чётко следует из детальных экспериментов. Подсказки можно найти в статье о том, что было бы, если бы поле Хиггса было нулевым. Обратите внимание — если бы поле Хиггса в среднем было нулевым, тогда электрон, мюон и тау не обладали бы массой (и каждый разбились бы на два типа частиц). Это не соответствует теории о том, что мюон и тау — КК-партнёры электрона.
Есть и множество других причин. Наиболее серьёзной из них, возможно, будет то, что из-за наличия у электрона заряда и из-за того, что он окружён электрическим полем, фотон обязан перемещаться в любом измерении, в котором перемещается электрон (хотя обратное уже неверно). Так что если у электрона есть КК-партнёры, то они должны быть и у фотона. Но из наших формул (и похожих на них более обобщённых) следует, что поскольку у фотона нет массы, а масса электрона (0,0005 ГэВ/c2) небольшая по сравнению с массой мюона (порядка 0,1 ГэВ/c2), если мюон — это КК-партнёр, то у фотона должен быть КК-партнёр сходной массы. Но такую частицу, если бы она существовала, открыли бы много лет назад. На самом деле, КК-партнёры фотонов не наблюдались в экспериментах, в которых изучались массы гораздо большие, чем масса Z-частиц — это многие сотни ГэВ/с2. Сама Z-частица тоже не может быть КК-партнёром фотона; она на него недостаточно похожа. А это значит, что и любые КК-партнёры электрона должны быть по меньшей мере настолько же тяжёлыми.
Мы прошли от теории (возможности дополнительных измерений, связанных с ними математики и геометрии) к предсказаниям (КК-партнёры). Следующий шаг: что нам известно о дополнительных измерениях из экспериментов? Мы пока не видели КК-партнёров в экспериментах, но можно спросить, что мы можем узнать из их отсутствия? Довольно много, как я объясню позже — вместе с описанием того, как попытки найти признаки дополнительных измерений продолжаются на Большом адронном коллайдере и в других местах.
В случае с полоской, если частица массы m движется поперёк полосы с моментом pпоперёк, наблюдатель, считающий полоску линией, будет считать, что частица — это КК-партнёр с нулевым импульсом и массой M, где
Хотя в целом это верно, из этого следует, что для каждой массы M, большей m, должен существовать свой КК-партнёр. Но это не так — наш мир квантовый (см. рис. 1 предыдущей статьи). Теперь узнаем, как именно квантовая механика меняет всю картину.
Ключевая особенность квантовой физики, которая нам нужна — для квантовой «частицы», перемещающейся в измерении конечного размера, допустимы не все возможные величины pпоперёк. В более общей формулировке: квантовая механика говорит о том, что «частица», движущаяся в измерении конечного размера, может обладать лишь определёнными значениями импульса в этом направлении.
Это одно из важнейших и самых странных последствий квантовой механики! На первый взгляд это совершенно контринтуитивно, поскольку что может помешать вам задать «частице» с импульсом p небольшое ускорение, чтобы её импульс немножечко отличался от p?
Что такое квант?
Вы могли обратить внимание на то, что я начал брать слово «частица» в кавычки, поскольку в текущем контексте нам нужно отличать термин «частица», использующийся для описания электронов, мюонов, кварков, глюонов и всех остальных известных элементарных частиц, от интуитивного понятия частицы, которое мы наследуем из нашего опыта с пылью, песком, солью и гравием. Лучше будет называть такие «частицы», как электрон, фотон, Кварк и т.п., квантами, более хитрыми объектами. Эти кванты представляют собой возмущения полей, они во многом больше похожи на волны, чем на частицы. Лучший способ понять квант — представить себе волны. Это ещё один важный лингвистический момент: говоря «волна», я не имею в виду нечто вроде отдельной волны в океане, разбивающейся о берег — я имею в виду последовательность волн, со многими гребнями и впадинами.
Примером таких волн будут электромагнитные волны, к которым принадлежат и световые волны, различимые для наших глаз. Представьте, что мы взяли такую волну — например, свет лазера — и приглушаем свет, всё больше и больше. Насколько его можно приглушить? Оказывается, что в нашем квантовом мире существует самая тусклая из возможных вспышка света, которую мы зовём квантом света, или фотоном. Фотон — это волна света, чья высота волн и интенсивность — наименьшая из всех возможных. Всеми этими концепциями и названиями мы обязаны Эйнштейну, которые — несмотря на всё его известное недовольство концептуальными последствиями квантовой механики — был одним из основателей этой теории.
Нет ничего интуитивного — с моей точки зрения — в том, что световые волны состоят из квантов, поскольку ни в одном из наблюдаемых нами непосредственно процессов это не проявляется. Но наши тела, благодаря процессам, которые мы не осознаём, используют этот факт постоянно. Свет лампы кажется нашему мозгу непрерывным, но наши глаза на самом деле поглощают фотоны по одному. Более того, я своими глазами видел подтверждение того, что свет состоит из квантов — я знаю об этом не только из книг.
Мы, физики, часто называем эти кванты света «частицами света», поскольку во многих отношениях они ведут себя как частицы. Любой фотон, перемещающийся по прямой сам по себе, обладает определённой энергией и импульсом; у всех фотонов есть одно и то же значение массы (конкретно, нулевое); фотон нельзя разделить на более мелкие части; фотон можно испустить или поглотить только целиком. Эти свойства грубо соответствуют тому, что наша интуиция могла бы ожидать от таких частиц, как крупицы песка, стеклянные шарики, частички пыли и т.п.
Но слово «квант» по многим причинам лучше слова «частица», поскольку некоторые свойства квантов похожи на свойства частиц, а некоторые — на свойства волн. Хорошо известный пример волнового поведения — квант способе проходить через две двери одновременно и взаимодействовать (в том же смысле, в котором волны взаимодействуют друг с другом и гребни с впадинами взаимно уничтожают друг друга) с самим собой. А дальше мы увидим ещё один пример.
Нужно помнить, что то, что выполняется для фотона, выполняется и для всех известных «частиц». И действительно, каждая из них представляет собой тип кванта — волны минимально возможной высоты в соответствующем поле. Электрон — квант электронного поля. Кварк — квант кваркового поля. Z-частица — квант Z-поля, и так далее.
Кванты — КК-партнёры
Пора узнать то, что я обещал вам объяснить: почему волновая природа квантов подразумевает, что массы частиц КК-партнёров принимают определённыке значения, а не все возможные значения, большие массы m изначальной «частицы». Знаменитый физик Луи де Бройль, по следам первых идей Эйнштейна, впервые чётко определил, что взаимосвязь между волнами, частицами и квантами подразумевает, что для кванта существует зависимость между:
• Его импульсом (свойством, напоминающим свойства частиц),
• И его длиной волны (свойством, напоминающим свойства волн) [и опять, тут под «волной» имеется в виду последовательность волн, а длиной волны называется расстояние между гребнями волн в последовательности].
И эта зависимость выражается просто: импульс = h / длина_волны
h — знаменитая постоянная Планка, такая же фундмаентальная постоянная природы, как скорость света. Планк ввёл эту константу в 1900-м году, пытаясь разгадать одно таинственное физическое явление. Это был первый шаг по направлению к квантовой природе мира. Каждый раз, когда вы пытаетесь описать явление, в котором важную роль играет квантовая механика, появляется константа h. Во многих формулах вы можете увидеть величину ℏ, и это всего лишь h, делённая на 2π, поскольку эта величина чаще оказывается более удобной для упрощения формул.
Рис. 1: рассмотрим квант, двигающийся по полоске и по трубе
В некоторых случаях оказывается немного проще объяснить, что происходит с квантом, перемещающимся по трубе, чем с тем, что движется по полоске, использованной нами в предыдущих примерах. Почти всё, что работает для трубы, будет верным и для полоски. Поэтому я буду использовать их совместно.
Наилегчайший КК-партнёр
Рис. 2: три вида на волну, двигающуюся вдоль длинного измерения
Представим себе квант, путешествующий по полоске ширины W, или по трубе окружности S. Сначала представим квант, движущийся вдоль длинного измерения (длинного — значит, бесконечного, или такого длинного, что оно может быть бесконечным, насколько мы сможем судить о нём). Волна, идущая вдоль полосы или трубы может перемещаться вдоль длинного измерения в любом направлении и обладать любой длиной волны (расстоянием между двумя соседними гребнями). См. рис. 2. Такой квант может обладать любым импульсом вдоль полоски или трубы, согласно де Бройлю: импульс может быть нулевым, очень малым, малым, большим, в любом направлении, и т.п. В принципе импульс можно сделать немного больше (или немного меньше), подтолкнув квант в направлении его движения (или в обратном).
Рис. 3: два вида на волну, двигающуюся вдоль короткого измерения трубы
Теперь рассмотрим квант (т.е. «частицу»), движущийся поперёк полоски или трубы. Во-первых, он очевидно не сможет обладать длиной волны, большей, чем поперечное расстояние полоски или окружность трубы! Это легко видеть на трубе: на ней должен уместиться по меньшей мере один гребень (красный) и одна впадина (синий), которые движутся по трубе, как показано на рис. 3. Если длина волны больше S, волна не соединится сама с собой, как показано на рис. 4. Самая большая длина волны будет равняться как раз S; а единственная впадина волны должен будет располагаться ровно на противоположной от единственного гребня стороне трубы.
Рис. 4: неподходящие длины волн
Гребень и впадина волны на рис. 3 двигаются вокруг трубы, напоминая (рис. 5) обычную неквантовую частицу (тут я действительно имею в виду нечто вроде песчинки, а не кванта или «частицы»), катающуюся по трубе, но с одним важным отличием: если обычная интуитивная частица без проблем может двигаться немного быстрее или медленнее, из-за чего её импульс будет немного увеличиваться или уменьшаться, квант, соответствующий волне, не может обладать немного большим или меньшим импульсом, поскольку это соответствовало бы неприемлемой длине волны (рис. 4).
Рис. 5: волна похожа на частицу
На полоске это немного хитрее, но, как показано на рис. 6, там опять-таки может быть только один гребень у одной стенки и один у другой, и это положение со временем меняется: гребень не двигается, но уменьшается в размере и превращается во впадину, а впадина превращается в гребень. Отметим, что, в отличие от рис. 3, где гребень и впадина сохраняют размер но двигаются по трубе, гребень этой волны не двигается, а сжимается. Поэтому она называется «стоячей волной». Для похожего (но не идентичного) примера представьте себе струну гитары или скрипки. Интуитивно эта стоячая волна соответствует обычной неквантовой частице, перемещающейся вперёд и назад поперёк полоски. (Менее интуитивно, но более точно, она соответствует обычной частице, перемещающейся в обе стороны одновременно. Но этот очень странный и прикольный квантовый факт сейчас неважен.) Это показано на рис. 7.
Рис. 6: два вида на стоячую волну с наибольшей длиной волны
В обоих случаях существует наибольшая возможная длина волны (S для трубы, 2W для полоски). А это значит, что существует и наименьший возможный импульс (h/S и h/ 2 W для трубы и полоски). И, наконец, это означает, что существует наилегчайшая возможная КК-частица! С массой M, где
Заметьте, что для безмассовых частиц, m = 0, эти формулы сводятся к:
И эти последние формулы примерно правильны, если S и W очень малы, как это часто бывает в правдоподобных рассуждениях.
Рис. 7: квант стоячей волны немного напоминает частицу, двигающуюся туда-сюда
И вот мы узнали, что из-за того, что «частицы» на самом деле — это кванты, со свойствами, напоминающими свойства волн:
- У легчайшего КК-партнёра масса M достаточно сильно превосходит m,
- Поскольку в формулы для M входят 1/W и 1/S, чем меньше дополнительное измерение, тем тяжелее легчайший КК-партнёр.
- На самом деле, когда S и W становятся настолько малыми, что M сильно превосходит m (или если m изначально вообще нулевая), тогда M оказывается примерно пропорциональной 1/S или 1/W.
Отлично. Это главный момент, поэтому, пожалуйста, убедитесь, что поняли его, прежде чем продолжать. Осталось объяснить ещё кое-что:
- Почему существует множество КК-партнёров с разными массами M, M’, M”, и т.д. (где, по определению, M < M’ < M”, и т.д. )
- Почему эти массы отделяются друг от друга.
- Почему массы растут с уменьшением дополнительного измерения.
- Почему у КК-партнёров разных типов частиц, способных перемещаться в одном и том же дополнительном измерении, будут сходные массы, особенно у более тяжёлых КК-партнёров.
- Почему массы КК-партнёров дадут нам прямые сведения о форме, размере и количестве дополнительных измерений.
Из изложенного выше ответы можно довольно легко вывести.
За пределами наилегчайшего КК-партнёра
Рис. 8: волна с ближайшей к самой большой длиной волны, двигающаяся вдоль короткого измерения трубы
Почему КК-партнёров много? Просто потому, что у квантовых волн на полоске или трубе может быть много разных длин волн. На рис. 8, 9 и 10 можно увидеть волны с длиной, составляющей 1/2 или 1/3 от максимальной, соответствующие (согласно Эйнштейну и де Бройлю) квантом двойного и тройного импульса по отношению к минимальному.
Рис. 9 стоячая волна с ближайшей к самой большой длиной волны на полоске
Обобщая, можно сказать, что допустима любая длина волны, у которой будет n гребней и n впадин, где n — любое положительное целое (1, 2, 3, 4,..), чтобы длина волны равнялась S, делённой на n (или 2W, делённой на n) и волна чётко умещалась внутри круга окружностью S или внутри линии длины W. Любая другая длина волны не подходит (см. рис. 4). Соответственно, учитывая соотношение де Бройля, импульс = h / длина_волны, допускается любой импульс вида n h / S (или n h / 2 W), и для каждого значения n у нас будет КК-партнёр массы:
Это отвечает почти на все заданные вопросы, по крайней мере для случаев с трубой и полоской:
- КК-партнёров много (по одному для каждого n>0),
- Их массы хорошо отделены друг от друга (поскольку когда n меняется на 1, M меняется очень сильно),
- Их массы растут с уменьшением дополнительных измерений (поскольку последние члены в формулах становятся крупнее, когда W и S становятся меньше),
- Тяжёлые КК-партнёры разных частиц с разными массами m обладают сходными массами M, поскольку для достаточно больших n вторые члены в формулах получаются большими по сравнению с m2, что даёт массу КК-партнёра приблизительно равную M = n h / c S для трубы и n h / 2 c W для полоски, и она почти не зависит от m.
Рис. 10: волны на полоске и трубе с длиной волны в 1/3 максимальной
Остался последний вопрос: почему количество, размер и форма дополнительных измерений определяет массы КК-партнёров — и отсюда, соответственно, почему измерение масс множества КК-партнёров позволяет определить свойства дополнительных измерений, так же, как прослушивание звука музыкального инструмента позволяет в принципе определить его форму, размер и материалы, из которых он сделан?
Возьмём чрезвычайно упрощённый пример. Рассмотрим два дополнительных измерения, снова использовав наш классический судовой канал, включая (как мы делали в конце недавней статьи с примерами дополнительных измерений) и тот факт, что у канала есть глубина, поэтому мы можем представлять себе волны внутри него (волны такого типа вы можете услышать в большом помещении, или под водой в любом канале). Сечение канала (если мы разрежем его в любой точке линии, идущей вдоль длинного измерения) будет просто прямоугольником шириной W и глубиной D. Так же, как любая неквантовая частица, даже будучи неподвижной с точки зрения длинного измерения, может двигаться вдоль одного или двух дополнительных измерений (и, таким образом, иметь импульс либо по ширине, либо по глубине), так и волна будет обладать длиной волны в обоих дополнительных измерениях. Такое простое разделение волны на то, что она делает по измерению ширины и то, что она делает по измерению глубины, особым образом завязано на прямоугольность канала, и обычно не будет работать в других примерах. К примеру, как показано на рис. 11, вверху, у одной из допустимых волн будет три впадины по измерению ширины и одна по измерению глубины.
Рис. 11
Мы можем обозначить количество впадин и гребней по измерению ширины целым числом n1, а по измерению глубины — n2, и для каждого n1 и n2 (одна или обе эти величины могут быть больше нуля) у нас получится по КК-партнёру. Для безмассовых (m = 0) или почти безмассовых квантов КК-партнёры будут обладать массой
Видно, что распределение масс отличается от случая с одним дополнительным измерением, и что оно может сообщить нам как W, так и D.
Если же поперечное сечение канала будет другой формы — допустим, треугольное или полудиск, как показано на рис. 11, внизу, то мы получим другое распределение масс, отражающее точную форму треугольника или полудиска. И мы уже можем отбросить практические судовые каналы и представлять трёхмерное пространство, чьё поперечное сечение соответствует любой другой конечной двумерной форме, одной из приведённых на рис. 1 в статье о мирах с двумя пространственными измерениями: полному диску, или даже сфере или тору. Каждая из этих форм даст нам своё вид распределения масс КК-партнёров. И если дополнительных измерений будет три, или четыре, или пять… Возможно гораздо больше видов распределений.
Примеры некоторых распределений для безмассовых частиц с размерами дополнительных измерений, выбранными так, чтобы массы первых КК-партнёров были одинаковыми для каждого случая, даны на рис. 12. Очевидно, что для установления формы и размера дополнительных измерений придётся измерить массы достаточно большого количества КК-партнёров (и даже хотя бы подтвердить, что любые из новооткрытых тяжёлых частиц вообще являются КК-партнёрами), поэтому на то, чтобы понять природу любых дополнительных измерений, уйдёт время.
Рис. 12
А могут ли известные тяжёлые частицы материи быть КК-партнёрами более лёгких?
Тогда возникает очевидный дополнительный вопрос. Мы знаем, что среди известных элементарных частиц есть электрон, а также более тяжёлые его версии: мюон и тау. Есть верхний кварк, и более тяжёлые его версии — очарованный и истинный. Есть нижний кварк, и его более тяжёлые версии, странный и прелестный. Являются ли тяжёлые версии частиц КК-партнёрами лёгких?
На первый взгляд это соблазнительное предположение, но ответом на него будет твёрдое «нет». Извините. Это нисколько не тупой вопрос. Просто на него есть умный отрицательный ответ.
Мюон и тау, очарованный и истинный, странный и прелестный — все они получают свои массы благодаря полю Хиггса, а не благодаря импульсу из дополнительных измерений. Это чётко следует из детальных экспериментов. Подсказки можно найти в статье о том, что было бы, если бы поле Хиггса было нулевым. Обратите внимание — если бы поле Хиггса в среднем было нулевым, тогда электрон, мюон и тау не обладали бы массой (и каждый разбились бы на два типа частиц). Это не соответствует теории о том, что мюон и тау — КК-партнёры электрона.
Есть и множество других причин. Наиболее серьёзной из них, возможно, будет то, что из-за наличия у электрона заряда и из-за того, что он окружён электрическим полем, фотон обязан перемещаться в любом измерении, в котором перемещается электрон (хотя обратное уже неверно). Так что если у электрона есть КК-партнёры, то они должны быть и у фотона. Но из наших формул (и похожих на них более обобщённых) следует, что поскольку у фотона нет массы, а масса электрона (0,0005 ГэВ/c2) небольшая по сравнению с массой мюона (порядка 0,1 ГэВ/c2), если мюон — это КК-партнёр, то у фотона должен быть КК-партнёр сходной массы. Но такую частицу, если бы она существовала, открыли бы много лет назад. На самом деле, КК-партнёры фотонов не наблюдались в экспериментах, в которых изучались массы гораздо большие, чем масса Z-частиц — это многие сотни ГэВ/с2. Сама Z-частица тоже не может быть КК-партнёром фотона; она на него недостаточно похожа. А это значит, что и любые КК-партнёры электрона должны быть по меньшей мере настолько же тяжёлыми.
Куда двигаться дальше? К экспериментам
Мы прошли от теории (возможности дополнительных измерений, связанных с ними математики и геометрии) к предсказаниям (КК-партнёры). Следующий шаг: что нам известно о дополнительных измерениях из экспериментов? Мы пока не видели КК-партнёров в экспериментах, но можно спросить, что мы можем узнать из их отсутствия? Довольно много, как я объясню позже — вместе с описанием того, как попытки найти признаки дополнительных измерений продолжаются на Большом адронном коллайдере и в других местах.
