Почему самые сложные уравнения физики такие трудные?

Автор оригинала: Kevin Hartnett
  • Перевод

Уравнения Навье-Стокса описывают простые повседневные явления, вроде воды, текущей из садового шланга — однако на них основана задача, решение которой оценили в миллион долларов




В физике есть уравнения, описывающие всё, от растяжения пространства-времени до полёта фотона. Однако же лишь один набор уравнений считается настолько математически сложным, что его выбрали в роли одной из семи "Задач тысячелетия", за решение которых Математический институт Клэя предлагает премию в миллион долларов: это уравнения Навье-Стокса, описывающие течение жидкостей.

Недавно я писал о том, как для этих уравнений был получен новый важный результат. И эта работа свидетельствует о том, что прогресс на пути к «премии тысячелетия» будет более тяжёлым, чем ожидалось. Почему же эти уравнения, описывающие такие знакомые явления, как вода, текущая по шлангу, математически понять гораздо сложнее, чем, допустим, уравнения поля Эйнштейна, включающие в себя такие ошеломляющие объекты, как чёрные дыры?

Ответ, как я понял, кроется в турбулентности. Это явление испытывали мы все, в полёте в неоднородном воздухе на высоте в 10 000 м, или при наблюдении за воронкой от уходящей в слив воды в ванне. Однако из осведомлённости не следует познание: турбулентность — одна из наименее понятных областей физического мира.



Пример потока без турбулентности — это спокойная река. Каждая её часть движется в одном и том же направлении с одной и той же скоростью. Турбулентная жидкость появляется, когда поток реки ломается так, что разные части потока начинают двигаться в разных направлениях с разными скоростями. Физики описывают формирование турбулентности сперва как появление воронки в гладком потоке, а затем как формирование мелких воронок в первой воронке, и ещё более мелких воронок в этих воронках — море воронок, уходящих внутрь жидкости, так, что жидкость разбивается на дискретные части, каждая из которых взаимодействует друг с другом и движется в своём собственном направлении.

Исследователи хотят понять, как именно гладкий поток разбивается на турбулентные завихрения, и смоделировать будущую форму жидкости, после того, как турбулентность взяла своё. Но Задача тысячелетия формулируется более скромно: нужно лишь доказать, что решения всегда существуют. То есть, вопрос в том, могут ли уравнения описать любую жидкость, с любыми начальными условиями, и до бесконечно далёкого будущего?

«Первый шаг — просто попытаться доказать, что у уравнений есть какие-то решения, — говорит Чарли Фефферман, математик из Принстонского университета. — Это не даёт настоящего понимания поведения жидкостей, но если у вас и этого нет, то вы вообще ничего не знаете».

Так как можно доказать существование решений? Начать нужно с того, чтобы понять, из-за чего их может не оказаться. Уравнения Навье-Стокса подразумевают подсчёт изменения таких величин, как скорость и давление. Математиков беспокоит следующий вариант развития событий: вы прогоняете эти уравнения, и через какое-то конечное время они сообщают вам, что частица жидкости движется с бесконечной скоростью. А это проблема — подсчитать изменение бесконечного значения не проще, чем поделить на ноль. Математики называют такие ситуации «взрывом», и в случае взрыва уравнения перестают работать и решений не находится.


Уравнения Навье-Стокса описывают поток несжимаемой жидкости.

В целом произведение массы (голубая часть) на ускорение (фиолетовая) приравнивается к силам, действующим на жидкость (оранжевая):
  • ρ — плотность жидкости;
  • dV/dt — изменение скорости по времени;
  • V ∇V — скорость и направление движения;
  • ∇P — изменение внутреннего давления;
  • ρ g — влияние внешних сил (к примеру, гравитации);
  • μ ∇2V — влияние внутренних сил (вязкость).


Доказательство отсутствия взрывов (и существования решений) равносильно доказательству того, что максимальная скорость любой частицы жидкости остаётся ограниченной неким конечным значением. Одной из наиболее важных величин оказывается кинетическая энергия жидкости.

Когда вы начинаете моделировать поток при помощи уравнений Навье-Стокса, у вашей жидкости есть некое начальное количество энергии. В турбулентных потоках энергия может начать концентрироваться. Вместо того, чтобы равномерно распространяться по всей реке, кинетическая энергия может собираться в водоворотах произвольно малого размера, и частицы в этих водоворотах (теоретически) могут разогнаться до бесконечной скорости.

«При переходе на всё меньшие и меньшие масштабы, кинетическая энергия становится всё менее и менее полезной для контроля решения. Решение может делать, что угодно, и я не буду знать, как его контролировать», — говорит Влад Викол, математик из Принстонского университета, написавший новую работу вместе с Тристаном Бакмастером.

Математики классифицируют частично дифференциальные уравнения на основании того, до какой степени они могут начать вести себя плохо на бесконечно малых масштабах. Уравнения Навье-Стокса находятся на экстремальном конце этой шкалы. Сложность математики уравнений в каком-то смысле отражает сложность турбулентных потоков, которые они должны уметь описывать.

«Когда вы увеличиваете масштаб в каком-то месте, то с математической точки зрения вы теряете информацию о решении, — говорит Викол. — Но турбулентность должна описывать именно это — передачу кинетической энергии от крупных ко всё более мелким масштабам, поэтому она прямо-таки просит вас увеличивать масштаб».



Говоря о математических свойствах физических уравнений, естественно задаться вопросом: а изменят ли эти рассуждения то, как мы расцениваем физический мир? В случае с уравнениями Навье-Стокса и Задачей тысячелетия ответ будет одновременно «да» и «нет». После почти 200 лет экспериментов ясно, что уравнения работают: течение, предсказанное Навье-Стоксом, последовательно совпадает с течением, наблюдаемым в экспериментах. Если вы — физик, работающий в лаборатории, вам этого может быть достаточно. Но математикам нужно знать больше — они хотят проверить, можно ли следовать этим уравнениям до упора, чтобы следить за тем, как именно меняется поток, от одного момента времени к другому (для любой начальной конфигурации жидкости), и даже уловить источник турбулентности.

«Поведение жидкостей таит в себе сюрпризы, — говорит Фефферман. — Эти сюрпризы в принципе объясняются фундаментальными уравнениями, управляющие потоками жидкостей, но как перейти от уравнений, управляющих движением жидкости, к описанию того, как на самом деле движется жидкость — это загадка».
AdBlock похитил этот баннер, но баннеры не зубы — отрастут

Подробнее
Реклама

Комментарии 18

    +4
    Почему самые большие камни такие тяжелые? По определению?
      +1
      Ну, справедливости ради, тут можно сказать, что не все большие камни тяжелые. И тут про другие «сложные» уравнения упоминалось.

      Но действительно, как-то странно объяснять сложность очевидно сложных вещей. Интереснее объяснять сложность простых (ну, та же ВТФ с виду задачка для школьников) или простоту сложных (тут навскидку пример не вспомню, но, наверняка есть).
        0
        Я от одного товарища слыхал, что не всё там так просто. С таким захлёбом рассказывал, что жидкость «чувствует» преграду, не успев до неё дотечь. Т.е. ещё и обратная связь есть. Как пример приводил ламинарный поток, который рассекался перед островком. Но в тонкостях, к сожалению, не опишу.
      –1
      Почему сложны уравнения движения жидкости вроде бы интуитивно понятно. Интереснее было бы услышать, почему настолько сложна для понимания та же квантовая теория поля? Казалось-бы она описывает самые просты объекты во вселенной, лежащие в основе всего.
        0
        Речь не об интуитивности. У Навье-Стокса до сих пор не найдено решение. И даже за доказательство наличия этого решения дают миллион.
        А что сложного в квантовой теории?
          0
          «Если вам кажется, что вы понимаете квантовую теорию… то вы не понимаете квантовую теорию.»
          Я думаю, что смело могу утверждать: квантовую механику не понимает никто.
          I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics.
            0
            Ну да, я задал вопрос не в тему. Просто увидел заголовок и понадеялся, что сейчас будут объяснять почему современная физика так сложна для изучения и почему ее можно выразить только сложнейшей математикой. В КМ еще ничего особо сложного, но уже КПТ у человека без физ. образования (вроде меня) вызывает недоумение «почему-ж так все сложно-то?», не говоря про все дальнейшее.
              0
              Неоднородность с кучей переменных усложняет задачу решения. Физики обычно абстрагируют и дробят задачу, математики пытаются познать вечность.
                +1
                Нельзя сказать, что она сложна. Она скорее просто плохо в голову помещается, потому что во-первых применяемый мат.аппарат уже не так похож на применяемый в классической физике (школьный-начальновузовский), а во-вторых квантовая механика — набор правил, которые описывают что получится, но не объясняют почему, да и просто жизненный опыт тут тоже ничего не подсказывает.
              0
              Про квантовую теорию поля тут речь не идет. Это уравнение — обыкновенная классическая нерелятивисткая динамика. Классическая — это когда действие на любой замкнутой траектории много болше постоянной Планка (с незамкнутыми все не так просто тогда будет, но там и с квантовой механикой все куда сложнее). Нерелятивистская — это когда величина v в нашем уравнении много меньше скорости света. Когда мы получаем такое:
              и через какое-то конечное время они сообщают вам, что частица жидкости движется с бесконечной скоростью

              Значит левая часть уравнения должна быть записана совсем не так. Тут у нас производная по времени от плотности импульса несжимаемой жидкости.
              Импульс станет mv*gamma. Это переветси в 4-импульс и найти для него форму 2 закона Ньютона. Давление — компонента тензоры энергии-импульса. Для релятивисткой среды (в смысле скоростей отдельных частиц с.с.) — как записывать будете?
              +3
                0
                Если жидкость электропроводна, все становится еще интереснее.
                • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                    0
                    Внешние поля не обязательны, они сами по себе возникнут.
                    Но что динамика плазмы сложнее динамики расплавленного металла в недрах Земли я не уверен. Все таки к дальним электромагнитным взаимодействиям добавляется несжимаемость, которая не позволяет моделировать систему методом частиц.
                      0
                      Расплавленный металл под давлением нескольких тысяч км земных недр — это феромагнетик или парамагнетик? А так — любую сплошную среду из миллиона миллионов частиц Вы не посчитаеет никак, даже в каком-то приближении вроде «не учитывать все, что дальше 50 нм от частицы».
                  +3

                  Как же трудно читать переводы статьи на такие темы, какой-то плохо связанный невнятный научпоп, взрывы уравнений какие-то…

                    0
                    «и в случае взрыва уравнения перестают работать и решений не находится»
                    ***
                    Не думаю. В природе не существует дурной бесконечности, скорость отдельно взятой частицы не может превысить скорость света.

                    Решений не находится в контексте жидкости. Но если найти как этот контекст можно подключить к Эйнштейновскому
                    Е=mc^2
                    с одной стороны и к Ньютоновскому закону сохранения энергии, то напрашивается очевидный вывод, в момент перехода отдельно взятой молекулы в состояние v=c, происходит процесс при котором закон Авогадро позволяет вычислить количество молекул жидкости, и в свою очередь атомов из которых они состоят, обозначим его в грубом приближении неизвестным А, после чего подсчитываем А*м*с^2, в знаменатель устанавливается атомная масса одного атома, умноженная на хорошо известную константу преобразования в изотопы при сложных атомных процессах перехода частиц в состояние высоких энергий.

                    На выходе получается что подсчет объясняется следующими параметрами

                    а. если оценить среду, в которой происходит процесс, то можно установить некий средне — статистический «фон», который есть возмущение среды, в состоянии условного «покоя». Что есть температура. Но не измеренная градусником, а математически подсчитанная. И вовсе не факт, что она будет одна и та же, поскольку допустим градусник не учтет магму, поднимающуюся в резервуар вулкана ( что станет причиной извержения через 15 минут ) а вот мат модель измеряет температуру системы, и здесь учитываются не только такие влиятельные явления, но и допустим склонность к таким явлениям как электрические разряды, и прочие параметры имеющие более случайный или скрытый характер, но которые имеют большое влияние на энергетический потенциал среды, до вторжения постороннего тела или процесса ведущего к турбулентности.

                    б. естественно, что ключом к решению является опознание домена, который измеряется, и от сюда правильное измерение его объёма ( до начала турбулентных процессов )

                    в. и здесь проявляется ещё одна составляющая — непрерывная линия времени.

                    И так, если а, б и в можно собрать вместе и оценить, следующим является импульс, который возбуждает турбулентность и волновые свойства тела его возбуждающего, в контексте доминантного атомного состава среды, в которой происходит турбулентное явление. В свою очередь волновые свойства затрагивают авто — колебательные процессы, которые могут привести к само — продолжению процесса ( и его, в конечном итоге, свойства порождающие тот самый переход к состояниям высоких энергий ).

                    Вишенкой на торте является обрамление домена, если это «открытый» участок среды или закрытый ствол жерла вулкана, какие стены этого ствола, пористый и легко разрушаемый демпфер, гранит, или опять же, демпферная порода, вокруг которой допустим водный барьер, который может в сочетании с пористой породой создать герметичный контур, который крепче брони. То есть энергетический потенциал мембраны, окружающей домен. И опять же, её способность к авто — колебательному резонансу с основным процессом перехода энергетических состояний.

                    То есть на выходе получается рекурсивная система с матрицей из

                    1 Домена ( выраженного как D )
                    2 Мембраны ( выраженного как М )
                    3 Рабочего тела ( выраженного как R )
                    4 Ортогональным неизвестным которое вычисляется из энергии процесса перехода доминантной частицы рабочего тела ( E ) и колебания волны этой частицы ( синус энергетического перехода )
                    То есть если выразить уравнение Навье Стокса как NS, получается

                    NSR'(NSM'(NSD'())) * A / E*sin(E)

                    Не учитывая статистических и интеграла для уравнений энергии, обусловленных зависимостью по экспоненте.
                    Из чего становится предельно прозрачным, что помимо оптимальных решений по R, M и D основным параметром является синус ( колебания волны ) доминантной частицы. Чем он меньше, тем выше шансы управления всем процессом.
                      0

                      Не "Частично дифференциальные уравнения", а дифференциальные уравнения в частных производных...

                      Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                      Самое читаемое