Джулия в латексе

  • Tutorial


В научной среде очень важную роль играет визуализация данных и оформление теории. Для удобного и красивого представления формул часто используются инструменты реализующие LaTeX-команды, например Markdown и MathJax.


Для Джулии также существует набор пакетов позволяющих использовать синтаксис LaTeX 'a, а в связке с средствами символьной алгебры мы получаем мощный инструмент для оперирования формулами.


Скачиваем и подключаем всё что нужно на сегодня


using Pkg
Pkg.add("Latexify")
Pkg.add("LaTeXStrings")
Pkg.add("SymEngine")

using Latexify, LaTeXStrings, Plots, SymEngine

LaTeXStrings


LaTeXStrings небольшой пакет, облегчающий ввод уравнений LaTeX в строковых литералах на языке Julia. При использовании обычных строк в Julia для ввода строкового литерала со встроенными уравнениями LaTeX необходимо вручную избегать всех обратных слешей и знаков доллара: например, $ \alpha^2 $ пишется \$\\alpha^2\$. Кроме того, хотя IJulia способна отображать отформатированные уравнения LaTeX (через MathJax), с обычными строками такое не сработает. Посему, пакет LaTeXStrings определяет:


  • Класс LaTeXString (подтип String), который работает как строка (для индексации, преобразования и т. д.), Но автоматически отображается как текст / латекс в IJulia.
  • Строковые макросы L"..." и L"""...""", которые позволяют вводить уравнения LaTeX без экранирования от обратной косой черты и знаков доллара (и которые добавляют для вас знаки доллара, если вы их опускаете).

S = L"1 + \alpha^2"

В REPL выйдет:


"\$1 + \\alpha^2\$"

а Jupyter отобразит:


$ 1 + \alpha^2$


Индексация работает как с обычными строками:


S[4:7]

"+ \\a"

Такие строки могут быть полезны при оформлении графиков


x = [-3:0.1:3...]
y1 = x .^2
α = 10
y2 = x .^4 / α;

plot(x,y1, lab = "\$x^2_i\$")
plot!(x,y2, lab = L"x^4_i/\alpha")


Latexify


Более функциональным пакетом является Latexify (Руководство). Он предназначен для генерации математики LaTeX из объектов julia. Этот пакет использует гомологичность Джулии для преобразования выражений в строки в формате LaTeX. Latexify.jl предоставляет функции для преобразования ряда различных объектов Julia, в том числе:


  • Выражения,
  • Строки,
  • Numbers (включая рациональные и комплексные),
  • Символические выражения из SymEngine.jl,
  • ParameterizedFunctions и ReactionNetworks из DifferentialEquations.jl
    а также массивы всех поддерживаемых типов.

ex = :(x/(y+x)^2) # выражение
latexify(ex)

$ \frac{x}{\left( y + x \right)^{2}}$


str = "x/(2*k_1+x^2)" # строка
latexify(str)

$\frac{x}{2 \cdot k_{1} + x^{2}}$


Массив разнотипных элементов:


m = [2//3 "e^(-c*t)" 1+3im; :(x/(x+k_1)) "gamma(n)" :(log10(x))]
latexify(m)

$ \left[ \begin{array}{ccc} \frac{2}{3} & e^{ - c \cdot t} & 1+3\textit{i} \\ \frac{x}{x + k_{1}} & \Gamma\left( n \right) & \log_{10}\left( x \right) \\ \end{array} \right] $


Можно задать функцию выводящую формулы и копирующую их в буфер в виде понятном для Хабра:


function habr(formula)
    l = latexify(formula)
    res = "\$\$display\$$l\$display\$\$\n"
    clipboard(res)
    return l
end

habr(ex)

$\frac{x}{\left( y + x \right)^{2}}$


<p>$<!-- math>$$display$$\frac{x}{\left( y + x \right)^{2}}$$display$$</math -->$</p>

Следует иметь ввиду


latexify("x/y") |> display

$\frac{x}{y}$


latexify("x/y") |> print

$\frac{x}{y}$


SymEngine


SymEngine — пакет предоставляющий символьные вычисления, которые можно визуализировать в вашем Jupyter с помощью Latexify.
Можно задавать символы строками и котировками (quote):


julia> a=symbols(:a); b=symbols(:b)
b

julia> a,b = symbols("a b")
(a, b)

julia> @vars a b
(a, b)

Зададим матрицу и красиво отобразим ее


u = [symbols("u_$i$j") for i in 1:3, j in 1:3]

3×3 Array{Basic,2}:
 u_11  u_12  u_13
 u_21  u_22  u_23
 u_31  u_32  u_33

u |> habr

$ \left[ \begin{array}{ccc} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ u_{21} & u_{22} & u_{23} \\ u_{31} & u_{32} & u_{33} \\ \end{array} \right] $


Предположим у нас вектора


C = symbols("Ω_b/Ω_l")
J  = [symbols("J_$i") for i in ['x','y','z'] ]
h  = [0, 0, symbols("h_z")]

3-element Array{Basic,1}:
   0
   0
 h_z

которые надо векторно помножить


using LinearAlgebra
× = cross

latexify(J×h, transpose = true)

$$display$$\begin{equation} \left[ \begin{array}{c} J_{y} \cdot h_{z} \\ - J_{x} \cdot h_{z} \\ 0 \\ \end{array} \right] \end{equation} $$display$$


Полноценные матричные вычисления:


dJ = C*(u*J.^3)×h
latexify( dJ, transpose = true)
habr(ans)

$$display$$\begin{equation} \left[ \begin{array}{c} \frac{h_{z} \cdot \left( u_{21} \cdot J_{x}^{3} + u_{22} \cdot J_{y}^{3} + u_{23} \cdot J_{z}^{3} \right) \cdot \Omega_{b}}{\Omega_{l}} \\ \frac{ - h_{z} \cdot \left( u_{11} \cdot J_{x}^{3} + u_{12} \cdot J_{y}^{3} + u_{13} \cdot J_{z}^{3} \right) \cdot \Omega_{b}}{\Omega_{l}} \\ 0 \\ \end{array} \right] \end{equation} $$display$$


а вот такой нехитрой цепочкой можно найти детерминант и отправить его на Хабр


u |> det |> habr

$u_{11} \cdot \left( u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left( u_{33} - \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} - \frac{\left( u_{23} - \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left( u_{32} - \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}} \right)$


Рекурсивненько! Обратная матрица наверно посчитается сходным образом:


u^-1 |> habr

Спойлер

$$display$$ \left[ \begin{array}{ccc} \frac{1 - \frac{u_{12} \cdot \left( \frac{ - u_{21}}{u_{11}} - \frac{\left( \frac{ - u_{31}}{u_{11}} + \frac{u_{21} \cdot \left( u_{32} - \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{11} \cdot \left( u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right)} \right) \cdot \left( u_{23} - \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right)}{u_{33} - \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} - \frac{\left( u_{23} - \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left( u_{32} - \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}}} \right)}{u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}} - \frac{u_{13} \cdot \left( \frac{ - u_{31}}{u_{11}} + \frac{u_{21} \cdot \left( u_{32} - \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{11} \cdot \left( u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right)} \right)}{u_{33} - \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} - \frac{\left( u_{23} - \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left( u_{32} - \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}}}}{u_{11}} & \frac{\frac{ - u_{12} \cdot \left( 1 + \frac{\left( u_{23} - \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left( u_{32} - \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{\left( u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left( u_{33} - \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} - \frac{\left( u_{23} - \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left( u_{32} - \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}} \right)} \right)}{u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}} + \frac{u_{13} \cdot \left( u_{32} - \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{\left( u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left( u_{33} - \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} - \frac{\left( u_{23} - \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left( u_{32} - \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}} \right)}}{u_{11}} & \frac{\frac{ - u_{13}}{u_{33} - \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} - \frac{\left( u_{23} - \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left( u_{32} - \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}}} + \frac{u_{12} \cdot \left( u_{23} - \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right)}{\left( u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left( u_{33} - \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} - \frac{\left( u_{23} - \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left( u_{32} - \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}} \right)}}{u_{11}} \\ \frac{\frac{ - u_{21}}{u_{11}} - \frac{\left( \frac{ - u_{31}}{u_{11}} + \frac{u_{21} \cdot \left( u_{32} - \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{11} \cdot \left( u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right)} \right) \cdot \left( u_{23} - \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right)}{u_{33} - \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} - \frac{\left( u_{23} - \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left( u_{32} - \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}}}}{u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}} & \frac{1 + \frac{\left( u_{23} - \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left( u_{32} - \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{\left( u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left( u_{33} - \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} - \frac{\left( u_{23} - \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left( u_{32} - \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}} \right)}}{u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}} & \frac{ - \left( u_{23} - \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right)}{\left( u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left( u_{33} - \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} - \frac{\left( u_{23} - \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left( u_{32} - \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}} \right)} \\ \frac{\frac{ - u_{31}}{u_{11}} + \frac{u_{21} \cdot \left( u_{32} - \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{11} \cdot \left( u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right)}}{u_{33} - \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} - \frac{\left( u_{23} - \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left( u_{32} - \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}}} & \frac{ - \left( u_{32} - \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{\left( u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left( u_{33} - \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} - \frac{\left( u_{23} - \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left( u_{32} - \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}} \right)} & \left( u_{33} - \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} - \frac{\left( u_{23} - \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left( u_{32} - \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} - \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}} \right)^{-1} \\ \end{array} \right] $$display$$


Если хотите сделать больно Матжаксу своего браузера, поставьте минус вторую степень (квадрат обратной матрицы)
Кстати, SymEngine считает производные:


dJ[1] |> habr

$\frac{h_{z} \cdot \left( u_{21} \cdot J_{x}^{3} + u_{22} \cdot J_{y}^{3} + u_{23} \cdot J_{z}^{3} \right) \cdot \Omega_{b}}{\Omega_{l}}$


diff(dJ[1], J[1]) |> habr

$\frac{3 \cdot J_{x}^{2} \cdot h_{z} \cdot u_{21} \cdot \Omega_{b}}{\Omega_{l}}$


К слову, Джулия может использовать из LaTeX 'a не только формулы, но и графики. И если вы установили MikTex и уже скачали pgfplots, то с помощью соответствующего окружения его можно сдружить с Джулией, что предоставит возможность строить гистограммы, трехмерные графики, ошибки и рельефы с изолиниями, а потом это интегрировать в LaTeX документ.


На этом с формулами всё, но не с символьными вычислениями: у Джулии еще есть более сложные и интересные решения для символьной алгебры, с которыми мы обязательно разберемся как-нибудь в следующий раз.

  • +15
  • 5,5k
  • 4
Поддержать автора
Поделиться публикацией

Комментарии 4

    +4
    С кликбейтностью заголовка и КДПВ вы не прогадали
      0
      Как раз недавно читал описание языка и задался вопросом о том, пользуется ли кто Джулией вообще.

      У нас в университете всё, что видел, было на питоне, в джупитере тот же питон, профессора тоже требуют владение Python/R/C++. Нужен ли ещё один язык, если огромный пласт библиотек написан на других языках?
        0
        В первую очередь язык создавался для ученых, которым нужно удобство работы с данными и быстрые вычисления. Когда язык начал разрабатываться, питон только становился на ноги в научной среде. У нас же язык непопулярен из-за молодости (речь об окружении), малого количества материалов и инертности целевой аудитории. juliacomputing.com/case-studies — здесь можете посмотреть про серьезные применения.
          0

          Из статей на хабре про Юлию, она выглядит как питон, но только говорят что быстрый. Код на первый взгляд менее выразительный, хотя может проблема в слабой подсветке синтаксиса хабром. Вроде скрины Juno выглядят более читабельно.

      Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

      Самое читаемое