Как стать автором
Обновить

Логистическая кривая. Когда закончится эпидемия?

Здоровье
Математическая модель, описывающая процессы, подобные развитию эпидемии называется уравнением Ферхюльста, или логистическим уравнением. Уравнение описывает увеличение некоторой популяции в присутствии ограничения ее максимума. Популяция (например, количество заболевших) в начале эпидемии увеличивается экспоненциально, но количество заболевших ограничено численностью населения и постепенно рост замедляется. Кривая, иллюстрирующая этот процесс называется логистической.


К сожалению, статистические данные о заболеваемости и смертности неоднородны и не всегда достоверны. Это связано с разным развитием медицины по странам и отсутствием общих стандартов в том, кто является заболевшим и, даже, причины смерти. Например, в Италии, если скончался зараженный человек, то в статистике определяется смерть от коронавируса. А в Германии (и в России) чаще диагностируют смерть от обострившегося хронического заболевания. Поэтому в Италии смертность (4032/47021) = 8.6%, а в Германии всего (45/18323) =  0.25% от количества заболевших. В каких-то странах проводят массовое тестирование жителей и включают в статистику даже бессимптомных вирусоносителей, в других странах диагностируют только тяжелых больных, да и то не всегда.

Графики официальной статистики по странам можно изучить на сайтах https://observablehq.com/@elaval/coronavirus-worldwide-evolution
http://shinyapps.org/apps/corona/

Хорошую статистику дает паром Diamond Princess.
3500 человек на борту (большинство — пенсионеры).
712 заразившихся, из  них 362 бессимптомно.
7 смертных случаев.
Почему 80% не заразилось, неизвестно. Возможно, некоторые люди этой инфекцией совсем не заражаются, но это не точно…

Из выступления Генерального директора ВОЗ от 17.02.2020
«У более 80% пациентов болезнь протекает в легкой форме и ‎заканчивается полным выздоровлением.‎
Примерно в 14% случаев течение болезни тяжелое и сопровождается, ‎в частности, пневмонией и одышкой.‎
И, наконец, у порядка 5% пациентов развивается опасное для жизни ‎заболевание, сопровождающееся такими проявлениями, как ‎респираторная недостаточность, септический шок и полиорганная ‎недостаточность.‎
В 2% случаев заражение вирусом приводит к смерти, причем этот ‎риск возрастает пропорционально возрасту пациента. „

Возможно, что Гендиректор ВОЗ совсем не учел бессимптомных инфицированных, поэтому делим все пополам.

Итак, на 100% инфицированных:
90% бессимптомно, или в легкой форме;
10% — требуется госпитализация, из них:
2.5% — тяжелые, требуется реанимация (наверное, искусственная вентиляция легких?);
1% — смертность.

Точное решение логистического уравнения:
N=M*EXP(r*t)/(1+EXP(r*t)); где
N — размер популяции в момент t;
M — максимальный размер популяции;
r — скорость роста популяции, увеличение за день (проценты/100);
t — текущее время в днях, отсчитывается от середины логистической кривой.
Для определения времени:
t=(1/r)*LN(N/(M-N));

Простота использования логистического уравнения заключается в том, что для его решения нужно всего 2 параметра — максимальный размер популяции и скорость ее роста.
Для примера посчитаем смертность в Италии. Население Италии — 60 млн. человек. Будем считать, что вирусом заразятся половина населения, 30 млн. Увы, 1%, 300 тыс. из них могут погибнуть. В настоящее время умерло 4032 человека, скорость роста процесса — 15% в день. Число заболевших в Италии в начале эпидемии увеличивалось на 25% в день, сейчас, при карантине, 13%. Смертность отстает от количества заболевших, умирают через 11 дней после заражения, так что считаем, что и смертность упадет до 13%.
r=0.13; N=4032; M=300000. 
Ответ пугает. t=33. Через 33 дня в Италии могут умереть от вируса 150 тысяч человек. В это время будут умирать до 9700 человек в день.
Если бы карантина не было, скорость распространения осталась бы 25%, максимум был бы достигнут на 17 день, ежедневная смертность в максимуме — 18650 человек. Карантин сдвигает процесс и уменьшает максимум. Справится ли итальянская медицина?

Но вместо закрытия промышленности, вместо полного карантина есть более элегантное решение.
По данным Высшего института здоровья Италии почти 90% умерших в Италии старше 70 лет. 
Изолируем эту группу населения, благо туристических отелей в Италии предостаточно. Полный и строгий карантин. Смертность падает в 10 раз. Серьезные случаи болезни тоже. Даже, если отменить для остальных карантинные мероприятия, умрет уже в 10 раз меньше людей. 
При r=0.2; M=30000, максимум будет достигнут через 28 дней. Максимальное количество новых смертей в день — 1495.

Если также изолировать и более молодых с опасными заболеваниями, количество смертей можно еще уменьшить. Наиболее распространенные хронические патологии у умерших:

ишемическая кардиопатия — 37,3%
мерцательная аритмия — 26.5%
перенесенный инсульт — 8,2%
артериальная гипертензия — 76,5%
сахарный диабет — 37,3%
деменция — 4,5%
хроническая обструктивная болезнь легких — 9,7%
рак, активный в течение последних 5 лет — 19,4%
хроническая гепатопатия — 7%
хроническая почечная недостаточность — 17,5%


Количество заболевших коронавирусом в России увеличивается более чем на 25% ежедневно. Это означает в 10 раз за 10 дней, в 1000 раз за месяц. С такими темпами через месяц у нас будут сотни тысяч больных. Самые строгие карантинные мероприятия смогут снизить темпы ежедневного роста заболеваемости вдвое, до 13% (на примере Италии). Карантинные меры обрушивают экономику и не достигают поставленной задачи — снизить нагрузку на медицину до приемлемого уровня.
Между тем, имеется эффективное решение проблемы. 
90% тяжелых больных и смертельных исходов наблюдается у лиц, старше 70 лет. Строгий карантин для пожилых людей и хронических больных. Для этого надо задействовать пансионаты и дома отдыха. Установить строгий режим, персонал не должен быть местным и также не должен  покидать карантин. Карантины должны охраняться Росгвардией. Первые две недели карантины должны быть индивидуальными. 
Для остальных жителей России карантин может быть снят, или ослаблен.

Таблица прогноза сроков и максимального количества тяжелых больных.
Дней до максимума эпидемии
Максимально тяжелых случаев за этот день
Существующее положение
39
108800
Карантин
65
65500
Изоляция пожилых без общего карантина
37
8700



Времени нет. Если оставить все как есть, к началу мая мы будем иметь сотни тысяч только тяжелых больных, нуждающихся в реанимации.Ежедневно будет поступать 100000 новых. Общий карантин растянет эти сроки вдвое и вдвое снизит приток больных. 
Изоляция группы риска снизит количество тяжелых больных и смертей в 10 раз. 
Хотелось бы донести эту информацию до властей.

P.S. Собянин объявил домашний карантин для пенсионеров. На эти же грабли наступали итальянцы. Были закрыты школы и детей оставили на попечение стариков. Те их не удержали дома, дети стали разносчиками инфекции и перезаражали дедушек и бабушек. Домашний карантин — только для одиноких. Дача в такой сезон — часто непосильный квест для одиноких больных людей. А дома мы их сами перезаражаем. Только карантинные дома престарелых!
Теги:
Хабы:
Всего голосов 16: ↑7 и ↓9 -2
Просмотры 7.8K
Комментарии Комментарии 22