Dec 13 2021 at 18:57

Метод шифрования на основе призрачной поляризации

Information Security*Quantum technologies

Invite pending

Все люди обеспокоены тем, насколько надёжно защищена информация, которую они передают по каким-либо каналам связи. Телекоммуникации никогда не будут чересчур безопасными – поэтому исследователи продолжают изучать новые методы шифрования. Недавно учёные из Технического университета Дармштадта, Германия, представили новый способ шифрования, называющийся призрачной поляризационной связью, или Ghost Polarization Communication (GPC). Базовым принципом работы метода является использование неполяризованного света как источника случайности для шифрования сообщения. Таким образом, представленный способ шифрования относится к методам квантовой криптографии – то есть, методам, базирующимся на физике, когда информация переносится с помощью объектов квантовой механики.

Данная статья является обзором работы Вольфганга Эльзессера, Маркуса Росскопфа и Тилля Мора, дополненная необходимыми сведениями из оптики и математики.

Неполяризованный свет как источник случайности

Свет может рассматриваться либо как поток фотонов, либо как электромагнитная волна. Электромагнитная волна – это распространяющиеся колебания электромагнитного поля. Они характеризуются двумя величинами: напряжённостью электрического поля E и напряжённостью магнитного поля H. Два вектора перпендикулярны друг другу и направлению распространения волны. Если направления колебаний векторов E и H фиксированы, то такой свет называют поляризованным.

Пусть E₁ и E₂ – амплитуды колебаний вектора E вдоль осей X и Y, а δ – разность фаз колебаний, тогда несложно получить уравнение движения вектора E — уравнение эллипса:

$E_x=E_1\cos{(\tau+\delta_1)}, E_y=E_2\cos{(\tau+\delta_2)}, \delta=\delta_1-\delta_2$ $(\frac{E_x}{E_1})^2+(\frac{E_y}{E_2})^2-2\frac{E_xE_y}{E_1E_2}\cos{\delta}=\sin^2{\delta}$

Частными случаями эллипса являются круг и линия. Следовательно, в зависимости от разности фаз колебаний, или от фигуры, которую описывает вектор E, поляризация может быть линейной, круговой или эллиптической. А сам эллипс, описывающий движение E, называется поляризационным.

Рис.2. Виды поляризаций. (а) линейная (б) круговая (в) эллиптическая

По-другому дело обстоит с неполяризованным, или рассеянным светом: у его вектора электрической напряжённости нет выделенного направления колебаний, он хаотично меняет своё направление. Такой свет мы видим от ламп, Солнца и светодиодов. Однако, в каждый момент времени естественный свет можно охарактеризовать мгновенным направлением E и мгновенным состоянием поляризации.

Наглядным геометрическим способом представления поляризации света является сфера Пуанкаре. Это двумерная сфера в декартовых координатах, определяемая параметрами Стокса. В случае плоской монохроматической волны параметры Стокса связаны с параметрами поляризационного эллипса следующим образом, представленным на рис.3а.

Нетрудно заметить, что

а это и есть уравнение сферы.

Рис.3б. Склеивание точек, соответствующих одинаковой поляризации.

В чём наглядность такого способа представления поляризаций? Возьмём сферу и каждой её точке приведём в соответствие лежащую на сфере малую ориентированную окружность с центром в этой точке. Параллельная проекция этой сферы на плоскость переведёт окружности во всевозможные эллипсы поляризации. Но, конечно, каждый такой эллипс встречается два раза, что соответствует одинаковым колебаниям вектора напряжённости, но в противофазе. Склеив точки, соответствующие одинаковой поляризации (пары точек главного меридиана, лежащие на одной параллели), мы получим сферу Пуанкаре.

Известно, что сферу можно взаимно однозначно отобразить на плоскость – так называемая стереографическая проекция. Следовательно, отобразив сферу Пуанкаре на комплексную плоскость, в соответствие определённой поляризации мы можем поставить единственное комплексное число.

Ранее было сказано, что у неполяризованного света есть мгновенные состояния поляризации, быстро сменяющие друг друга. Другими словами, это очень быстрое случайное перемещение по сфере Пуанкаре, то есть, генерация случайных комплексных чисел.

Схема передачи сообщения

И всё же, как использовать случайность рассеянного света для шифрования сообщений? Команда Технического университета Дармштадта предложила следующую схему, изображённую на рис.4.

Алиса хочет зашифровать сообщение и отправить его Бобу. Боб, в свою очередь, хочет получить сообщение от Алисы и расшифровать его. Как это происходит:

На стороне Боба находятся источник света (EDFA), светоделитель (BS), каскад задержки (Stage), фотоэлектронный умножитель (PMT), четвертьволновая пластинка (QWP λ/4) и подвижный линейный поляризатор (LP_R).
Сначала неполяризованный свет, излучаемый EDFA, делится поровну на опорный и объектный лучи с примерно одинаковой длиной волны с помощью неполяризующего куба-светоделителя. Опорный луч остаётся на стороне Боба. Объектный луч проходит через четвертьволновую пластинку, которая изменяет его мгновенное состояние поляризации, и отправляется к Алисе.
Алиса использует эту часть света для шифрования своего сообщения. В её части установки находятся полуволновая пластинка (HWP, λ/2) и зафиксированный линейный поляризатор (LP_O). Алиса модифицирует мгновенную поляризацию пришедшего луча с помощью полуволновой пластинки, различные положения которой кодируют сообщение. Свет проходит через линейный поляризатор и, наконец, отправляется обратно к Бобу.
Два луча складываются и попадают на катод фотоэлектронного умножителя – устройства, генерирующего мощный импульс тока при попадании на него фотона. Бобу нужно определить, под каким углом Алиса поставила полуволновую пластинку – для этого он будет искать корреляционную функцию второго порядка g⁽²⁾(τ).

Небольшое отступление для пояснения, что это за функция

В классической оптике функция корреляции второго порядка задаётся как отношение усреднённого по времени произведения двух интенсивностей к произведению средних величин тех же интенсивностей. Это, по сути, корреляция интенсивностей света на двух детекторах. Для когерентного (согласованного) излучения она равна 1, для теплового – 2.

С развитием квантовой оптики и рассмотрением света как потока фотонов функция приобрела новое значение – корреляции уже между числом фотонов, испускаемых источниками, так как интенсивность света пропорциональна числу фотонов. Этот подход объяснил физический смысл корреляционной функции: она показывает уровень согласованности испускания фотонов источником (g⁽²⁾ = 0 – однофотонный источник, g⁽²⁾ < 1 – фотоны в основном приходят по отдельности, g⁽²⁾ > 1 – фотоны приходят группами).

Добавление параметра τ просто означает, что вторая величина (интенсивность или число фотонов, попавших на второй детектор) измеряется не в тот же момент времени, что и первая, а через время τ, причём g⁽²⁾(τ) < g⁽²⁾(0). Подробнее описано в книге [3].

В данной схеме оценивалось количество поглощённых фотоумножителем пар фотонов в зависимости от времени задержки объектного луча τ. Результаты изображены на рис.4a. Кривая, аппроксимирующая g⁽²⁾(τ) представлена на рис.4b. Из графика становится возможным определить g⁽²⁾(τ = 0) – это пик кривой.

Но как связать корреляционную функцию двух лучей и положение поляризующих пластин?

Связь параметров схемы и корреляционной функции второго порядка

g⁽²⁾(τ = 0) определяет корреляцию интенсивностей двух лучей. Поскольку их испускает один источник, их изначальные интенсивности одинаковы – и в идеале значение g⁽²⁾ должно быть около 2, но на их пути стоят различные оптические устройства, вносящие определённые изменения. Рассмотрим их последовательно.

Начнём с пары линейных поляризаторов. Как ясно из названия, они преобразуют проходящий сквозь них естественный свет в линейно поляризованный. Направление колебаний вектора E света на выходе совпадает с плоскостью поляризации поляризатора. Соотношение интенсивностей двух лучей зависит от угла между плоскостями поляризаторов. Зависимость интенсивности линейно поляризованного света после его прохождения через поляризатор от угла ψ между плоскостями поляризации выражает закон Малюса:

$I=I_0\cos^2{\psi}$

Исследователи из Дармштадта измерили зависимость g⁽²⁾(τ = 0) от угла поворота линейного поляризатора Боба относительно поляризатора Алисы, без всяких пластинок. Полученная зависимость обозначена чёрным слева на рис.5 и аппроксимируется функцией

$g^{(2)}(\tau=0, \nu)=1.5+0.5\cos{2\nu}=1+\cos^2{\nu},$

где ν – угол между поляризаторами. Этот результат согласуется с законом Малюса. Также видно, что при параллельных поляризаторах лучи g⁽²⁾= 2, что отвечает полностью одинаково поляризованному тепловому излучению.

Рис.5. Зависимость коэффициента корреляции второго порядка от угла поворота поляризатора Боба.

Теперь перейдём к полуволновой пластинке. HWP поворачивает плоскость поляризации света на угол, равный удвоенному углу между оптической осью пластины и изначальной плоскостью поляризации.

В эксперименте в схему была добавлена полуволновая пластинка, расположенная так, чтобы её оптическая ось составляла β = 45° с направлением поляризации LP_O – что должно было привести к повороту оси мгновенной поляризации на 90°. Как видно из синего графика на том же рис.5 – действительно, g⁽²⁾ сместилась вправо на 90°. Что приводит к следующей формуле:

$g^{(2)}(\tau=0, \nu, \beta)=1.5+0.5\cos{[2(\nu-2\beta)]}$

Следующим шагом полуволновая пластинка была заменена на четвертьволновую. QWP преобразует линейную поляризацию в эллиптическую и наоборот. Происходит это за счёт смещения фазы колебаний в одном из направлений. На рис.5 справа представлены графики зависимости корреляции от угла поворота поляризатора для трёх значений углов поворота пластинки: 0° – поляризация не меняется, 30° – превращается в эллиптическую, 45° – в круговую.

Видно, что амплитуды уменьшаются, а сами графики смещаются вправо. Формула дополняется следующим образом:

$g^{(2)}(\tau=0, \nu, \alpha)=1.5+0.25\cos{[2(\nu-2\alpha)]}+0.25\cos{2\nu},$

Итого мы имеем 3 параметра, задающих значение g⁽²⁾, которое измеряет Боб. Давайте избавимся от одного из них – зафиксируем оба линейных поляризатора и будем поворачивать только пластины. Получим следующую картину, изображённую на рис.6.

Рис.6. Зависимость корреляционной функции второго порядка от углов поворота полуволновой и четвертьволновой пластин.

Она и является ключом схемы с призрачной поляризационной связью. Описывается формулой:

$g^{(2)}(\tau=0, \alpha, \beta)=1.5+0.25\cos{[4(\alpha-\beta)]}+0.25\cos{2\beta},$

строгий вывод которой при желании можно посмотреть в статье[1].

Пример передачи сообщения в схеме с призрачной поляризационной связью

Давайте рассмотрим пример работы схемы. Пусть два состояния HWP – 30° и 60° – кодируют, соответственно, 0 и 1 (горизонтальные линии на рис.6). Алиса хочет отправить Бобу сообщение "SCO", которое закодировано в коде Бодо. Этот код позволяет передавать три буквы в общей сложности 15 битами. Для передачи сообщения для каждого бита повторяется следующая последовательность действий:

Боб выбирает случайный угол поворота QWP;
Алиса настраивает HWP на 30° (0 бит) или 60° (1 бит);
Боб измеряет коэффициент g⁽²⁾, и исходя из этого и положения угла поворота QWP, известного только ему, он определяет угол HWP, и, соответственно, значение бита, используя карту на рис.6.

В таблице ниже приведены результаты эксперимента команды Технического университета Дармштадта по передаче сообщения. Вторая строчка показывает выбранный Алисой угол, а третья – угол, определённый Бобом. Легко видеть, что строки совпадают – Боб успешно получил и расшифровал сообщение.

Безопасность схемы

Разумеется, данная схема пока не способна конкурировать с другими хорошо зарекомендовавшими себя криптосистемами и только демонстрирует принцип шифрования, основанный на маскировке непосредственно на физическом уровне.

Так как неполяризованный свет после прохождения QWP и HWP так и остаётся неполяризованным, сторонний человек, получивший доступ к информации в канале, не сможет определить углы поворота пластин. Эти скрытые углы могут быть выявлены только путем измерения корреляционной функции второго порядка, для чего требуется исходный опорный луч. Надежно удерживая контрольный луч и фактическое значение угла поворота QWP в руках одной стороны (Боба) и позволяя другой стороне (Алисе) изменять мгновенное значение поляризации с помощью поворота HWP, только Боб может раскрыть угол HWP, выбранный Алисой.

Какую атаку на такую систему может предпринять Ева? Учёные из Дармштадта обсудили два возможных варианта. Первая атака направлена на канал, идущий от Алисы к Бобу - там, в отличие от второго канала, свет поляризован после прохождения LP_O. Атака проходит с расчётом на получение информации об угле поворота HWP из измерений интенсивности света. Эта атака легка в исполнении (свет извлекается с помощью зажимного оптоволоконного соединителя путём изгиба волокна) – и абсолютно бесполезна при включении дополнительного деполяризующего элемента после LP_O Алисы, поскольку в таком случае из измерения интенсивности невозможно получить никакой информации.

Рис.7. Результаты измерений коэффициента корреляции Евой.

Вторая, более сложная атака включает измерение корреляции между двумя “точками атаки”, доступными для Евы, одна из которых расположена между QWP и HWP, а другая – между LP_O и интерферометром. Чтобы дать качественное представление о защищённости от такой атаки, исследователи изобразили на рис.7 результаты этих измерений. Сравнение карт, полученных Бобом (рис.6) и Евой (рис.7) показывает совершенно разное поведение g⁽²⁾ в зависимости от углов. Значение g⁽²⁾, измеренное Бобом, зависит от угла поворота QWP, в то время как для Евы он постоянный. Графики ясно показывают, что у Евы нет возможности различить выбранные углы HWP 30° и 60° и, следовательно, расшифровать сообщение. Вдобавок, чтобы осуществить такую атаку, Ева должна найти центр интерференции, измерив длину оптоволокна на стороне Алисы, и физически установить постоянную связь между двумя точками атаки.

Помимо того, что эта атака является дорогостоящей для злоумышленника, она также может быть легко обнаружена Бобом из-за чувствительности интерферометрической установки. В обоих сценариях атаки центр интерференции смещается и изменяется ось поляризации в объектном канале, немедленно сигнализируя о присутствии подслушивающего устройства. Таким образом, чувствительность интерферометрической установки обеспечивает встроенные средства обнаружения вторжений, которые отсутствуют в большинстве схем передачи данных.

Источники:

[1] Markus Rosskopf, Till Mohr, Wolfgang Elsäßer. Ghost Polarization Communication – Phys. Rev. Applied, 25 March 2020.

[2] William H. McMaster. Polarization and the Stokes Parameters – Am. J. Phys.:journal, 1954.

[3] M. Fox. Quantum optics: An Introduction – Oxford University Press, 2006.

Hubs: