Что если гравитация Ньютона — это только приближение? Не в смысле Эйнштейна (это мы уже знаем), а ещё глубже, на квантовом уровне?

В этой статье я расскажу, как мы вычислили конкретные квантовые поправки к гравитации, исходя из одной красивой идеи, и проверили результат с точностью до 100 десятичных знаков.

Проблема: гравитация и квантовая механика не дружат

Три из четырёх фундаментальных взаимодействий (электромагнитное, слабое, сильное) прекрасно описываются квантовой теорией поля. Четвёртое, гравитация, к сожалению, сопротивляется квантованию уже почти 100 лет. Стандартные методы дают бесконечности, которые невозможно убрать.

Идея: а что если всё — это спектр одного оператора?

В 1996 году Али Шамседдин и Ален Конн предложили элегантный принцип: всю физику можно записать одной строчкой:

S = Tr f(D²/Λ²)

Что здесь что:

  • D — оператор Дирака. Грубо говоря, он «знает» про геометрию пространства-времени и все частицы в нём.

  • Λ — масштаб энергии (как разрешение микроскопа: чем больше Λ, тем мельче детали мы видим).

  • f — некоторая гладкая функция.

  • Tr — след (сумма по всем «собственным частотам» оператора).

Из этого одного следа автоматически получаются уравнения Эйнштейна (гравитация), уравнения Янга-Миллса (сильное и электрослабое взаимодействие) и даже масса бозона Хиггса. Никакой подгонки — всё следует из геометрии.

Но это на «классическом» уровне. А что происходит, когда мы учитываем квантовые петли?

Что мы посчитали

При учёте квантовых поправок спектральное действие порождает дополнительные члены с так называемыми формфакторами, функциями, которые описывают, как гравитация модифицируется на малых расстояниях.

Представьте: закон обратных квадратов Ньютона (F ~ 1/r²) — это «нулевое приближение». Формфакторы, по сути, это поправки к нему, которые становятся заметны на расстояниях порядка 1/Λ.

Эти поправки зависят от того, какие частицы существуют. Мы посчитали их для всего набора частиц Стандартной модели:

  • 4 скаляра (Хиггс)

  • 45/2 фермионов (кварки и лептоны, 3 поколения)

  • 12 калибровочных бозонов (глюоны, W, Z, фотон)

Результаты (на пальцах)

1. Два числа, которые описывают квантовую гравитацию на одной петле:

  • α_C = 13/120 ≈ 0.108 — это коэффициент, который определяет, насколько сильно квантовые петли модифицируют «приливные силы» гравитации (тензор Вейля). Число фиксировано — оно определяется содержанием Стандартной модели и не имеет свободных параметров.

  • α_R(ξ) = 2(ξ - 1/6)² — второй коэффициент, зависящий от одного параметра ξ (связь поля Хиггса с кривизной).

2. Никаких «призраков»:

Формфакторы оказались целыми функциями (без полюсов). Переводя на человеческий: квантовые поправки не порождают новых нефизичных частиц с отрицательной нормой. Теория остаётся здоровой.

3. Гравитация конечна в нуле:

Классический ньютоновский потенциал V ~ 1/r уходит в бесконечность при r → 0. Квантовые поправки это лечат:

V(r) = V_{\text{N}}(r) \left[1 - \frac{4}{3}\,e^{-m_2 r} + \frac{1}{3}\,e^{-m_0 r}\right]

При r = 0 выражение в скобках обращается в ноль. Потенциал конечен. Сингулярность исчезает.

А теперь — самое интересное для Хабра: как мы это проверяли

Вывести формулу — полдела. Формулу может вывести один человек и ошибиться. Поэтому мы построили конвейер из 6 независимых проверок.

Проверка 1: арифметика на 100+ знаках

import mpmath
mpmath.mp.dps = 150  # 150 десятичных знаков

def phi(x):
    """Мастер-функция спектрального действия."""
    return (mpmath.exp(-x/4) 
            * mpmath.sqrt(mpmath.pi / x) 
            * mpmath.erfi(mpmath.sqrt(x) / 2))

# phi(0) должно быть ровно 1
x = mpmath.mpf('1e-30')
assert abs(phi(x) - 1) < mpmath.mpf('1e-25')

Каждый коэффициент вычисляется с точностью до 100 знаков в 7 разных точках. Если формула ошибочна хотя бы на 50-м знаке — тест падает.

Проверка 2: fuzzing свойств

from hypothesis import given, strategies as st

@given(st.floats(min_value=0.01, max_value=100))
def test_phi_is_positive(x):
    """phi(x) > 0 для всех x > 0 — без исключений."""
    assert float(phi(x)) > 0

Библиотека Hypothesis генерирует 1000+ случайных входов и проверяет 12 математических свойств: позитивность, монотонность, правильные асимптотики, соотношения между секторами.

Проверка 3: три системы компьютерной алгебры

Одно и то же выражение вычисляется в трёх независимых CAS:

  • SymPy (Python)

  • GiNaC (C++)

  • mpmath (Python, но другой алгоритм)

Все три должны совпасть до 12+ значащих цифр — иначе тест красный.

Проверка 4: сравнение с литературой

Каждый локальный предел сверяется с опубликованными результатами из 5 независимых источников (Codello-Zanusso 2012, Avramidi 2000, Vassilevich 2003 и др.). Все совпадают.

Проверка 5: два независимых вывода

Каждый формфактор выведен дважды — разными методами, из разных стартовых точек. Результаты сходятся аналитически.

Проверка 6: формальная верификация в Lean 4

Ключевые алгебраические тождества записаны на языке Lean 4 с библиотекой Mathlib. Это не «запустить и посмотреть» — это математическое доказательство, проверенное компилятором. Человеческий фактор исключён полностью.

Итого: 2000+ автоматических тестов, все зелёные.

А можно ли это измерить?

Да. Формфакторы предсказывают конкретные отклонения от ньютоновской гравитации на субмиллиметровых расстояниях. Из сравнения с экспериментами Eöt-Wash (крутильные весы в подвале Вашингтонского университета) получаем нижнюю границу:

Λ > 2.565 мэВ, т.е. 1/Λ < 77 мкм

Это означает: на расстояниях меньше ~77 микрометров квантовые поправки к гравитации из спектрального действия ещё не исключены экспериментально. Будущие эксперименты с разрешением ~10 мкм смогут либо обнаружить отклонения, либо поднять границу на Λ.

Код и статья

Буду рад вопросам и критике.