"Произвольная матрица и её числа. " Матрица размера 2х2 в алгебре Клиффорда сопоставлена 1-векторам (обычным декартовым), 2-векторам (бивекторам), кватернионам. Поищите поиском, на Хабре по тегам к статье много всего найдется. В статье рассмотрен подход для обобщения на вообще все вещественные матрицы через sxyz разложение.
Матрица Грамма также раскладывается. Не вполне понял вопрос. Вроде из следующей картинки следует ответ зачем...
Построение правого и левого пространств матриц. По другому не свяжутся единственным образом параметры abcd и то что в подкате (4).
Со сложением мы разобрались. Матриц и параллелограммов.
В общем, зная, что был за объект... История про то, что в Алгебре Клиффорда нет разделения на операторы и векторы, объекты выполняют обе функции.
В сухом остатке подумаю дорабатывать статью или нет, и если дорабатывать, то как.
Мне возможно показалось, но все ваши вопросы связаны с тем, что для много кого геометрическая Алгебра туманна...
Тут нюанс, я рассмотрел прием в применении к плоскости. А для 3D, на сколько я понимаю, ничего подобного вообще никто не создавал. В классике да, кватернионами удобно работать в смысле поворотов, двойные кватернионы по идее должны дать двойной объект с раздельными вращениями. Не изучал, не могу особо ничего сказать.
Действительно, давайте раскроем карты. Если дело не касается выстраивания человеческих отношений, то всех, включая собственников бизнеса, искренне задолбало, лет как уже 20, что люди о простых вопросах на 5 минут говорят часами. Статья об этом. А вы о чем?
Спасибо за комментарий, все по делу. Тут наконец то разобрался с одним измерением в алгебрах Клиффорда, и по личному правилу создал и поделился с теми кто интересуется тем же. Структура оказалась такая же, как у отношения вектора-бивектора. Конечная цель разобраться с геометрическим смыслом АК в виде комплексифицированного кватерниона (комплексной матрицы 2х2).
ГА тут будет причем, если трехмерные преобразования с машинным нулем записать, например по аналогии с единичной окружностью разбить сферу с шагом эпсилон по каждой координате.. А так про ГА просто упоминание для тех, кто привык читать от меня на тему ГА) Основной лейтмотив данной статьи, в том, что похоже, применяя только корни можно писать производительный код для слабых процессоров микроконтроллеров с точностью расчетов ~10^(-5) -10^(-6), используя числа в формате float32 (single precision). Автор статьи, которая была для меня исходной точкой, автоматизировал станок на контроллере STM32.
Если бы я шел путем CORDIC или его апгрейда, то привязался бы к полиномам Чебышева, а так я их просто упомянул. Ну и описанное тут работает без итераций... Вообще статья больше про численное дифференцирование и интерполяцию, даже не могу предположить как разумно повороты к этому сейчас притянуть.. А вот тот же прием в составе геометрической алгебры влечет собой все интересное - повороты, отражения, трансляции. Но до этого надо дорасти.
Во первых в Википедии что то очень странное написано, но если разобраться, то про то же самое. Во вторых автоматическое дифференцирование из того, что я видел, чаще применяется матричное. Но все способы сводится к использованию нильпотентного элемента в выражении.
Вот аппроксимация квадратного корня полиномом 5й степени с точностью ~10^(-5). Получил через узлы Чебышева, в диапазоне [1,2], c пяти-шестизначными коэффициентами. То есть вам надо 18 бит, чтобы закодировать числа, и раз вас обработчик процессора не устраивает, то нужно описать преобразования прямо в вашем коде, включая преобразования экспоненциальной части чисел.
Не знаю чем вам не нравилась операция деления, ее тоже сделал для этого же диапазона на всякий случай, полином 6й степени получился.
Там все несколько проще, чем учебник ангема) sin=y/r, cos=x/r, r=(x^2+y^2)^(1/2). А так обращайтесь за материалом, я на хабре как раз в основном про трехмерную геометрию пишу в кватернионах. Формула с матрицей это из линейной алгебры - метод наименьших квадратов заданный через псевдообратную матрицу.
"Произвольная матрица и её числа. " Матрица размера 2х2 в алгебре Клиффорда сопоставлена 1-векторам (обычным декартовым), 2-векторам (бивекторам), кватернионам. Поищите поиском, на Хабре по тегам к статье много всего найдется. В статье рассмотрен подход для обобщения на вообще все вещественные матрицы через sxyz разложение.
Матрица Грамма также раскладывается. Не вполне понял вопрос. Вроде из следующей картинки следует ответ зачем...
Построение правого и левого пространств матриц. По другому не свяжутся единственным образом параметры abcd и то что в подкате (4).
Со сложением мы разобрались. Матриц и параллелограммов.
В общем, зная, что был за объект... История про то, что в Алгебре Клиффорда нет разделения на операторы и векторы, объекты выполняют обе функции.
В сухом остатке подумаю дорабатывать статью или нет, и если дорабатывать, то как.
Мне возможно показалось, но все ваши вопросы связаны с тем, что для много кого геометрическая Алгебра туманна...
Тут нюанс, я рассмотрел прием в применении к плоскости. А для 3D, на сколько я понимаю, ничего подобного вообще никто не создавал. В классике да, кватернионами удобно работать в смысле поворотов, двойные кватернионы по идее должны дать двойной объект с раздельными вращениями. Не изучал, не могу особо ничего сказать.
Не вполне понял комментарий. Вроде я специально поднапрягся и ввел все основные формулы как формулы, а не как картинки, как делал раньше.
Действительно, давайте раскроем карты. Если дело не касается выстраивания человеческих отношений, то всех, включая собственников бизнеса, искренне задолбало, лет как уже 20, что люди о простых вопросах на 5 минут говорят часами. Статья об этом. А вы о чем?
Какая то аналогия с котом Шредингера в этом есть как мне кажется
Теперь я особенно четко понял, что имел ввиду @MasterMentor. А в статье я имел ввиду классическое определение из «Правые» и «левые» винтовые линии
Спасибо за комментарий, все по делу. Тут наконец то разобрался с одним измерением в алгебрах Клиффорда, и по личному правилу создал и поделился с теми кто интересуется тем же. Структура оказалась такая же, как у отношения вектора-бивектора. Конечная цель разобраться с геометрическим смыслом АК в виде комплексифицированного кватерниона (комплексной матрицы 2х2).
Ок, значит разберусь со временем
ГА тут будет причем, если трехмерные преобразования с машинным нулем записать, например по аналогии с единичной окружностью разбить сферу с шагом эпсилон по каждой координате.. А так про ГА просто упоминание для тех, кто привык читать от меня на тему ГА) Основной лейтмотив данной статьи, в том, что похоже, применяя только корни можно писать производительный код для слабых процессоров микроконтроллеров с точностью расчетов ~10^(-5) -10^(-6), используя числа в формате float32 (single precision). Автор статьи, которая была для меня исходной точкой, автоматизировал станок на контроллере STM32.
Статью читал еще давно, но не очень представляю себе как это применить к описанию единичной окружности в микроконтроллере..
Если бы я шел путем CORDIC или его апгрейда, то привязался бы к полиномам Чебышева, а так я их просто упомянул. Ну и описанное тут работает без итераций... Вообще статья больше про численное дифференцирование и интерполяцию, даже не могу предположить как разумно повороты к этому сейчас притянуть.. А вот тот же прием в составе геометрической алгебры влечет собой все интересное - повороты, отражения, трансляции. Но до этого надо дорасти.
С удовольствием, если будут соучастники для такого масштабного проекта
Ну это само собой) Я конечно стараюсь быть аккуратен, но не до фанатизма. Все равно в разной литературе по разному обзывают
Вот это классика, из той же статьи Автоматическое дифференцирование с помощью двойных чисел
Добрый день. Все сложнее..
Во первых в Википедии что то очень странное написано, но если разобраться, то про то же самое. Во вторых автоматическое дифференцирование из того, что я видел, чаще применяется матричное. Но все способы сводится к использованию нильпотентного элемента в выражении.
У меня это, вот только с таким ассоциируется. Клотоида — Википедия. Так хотя бы можно попробовать объяснить переходы..
Вот аппроксимация квадратного корня полиномом 5й степени с точностью ~10^(-5). Получил через узлы Чебышева, в диапазоне [1,2], c пяти-шестизначными коэффициентами. То есть вам надо 18 бит, чтобы закодировать числа, и раз вас обработчик процессора не устраивает, то нужно описать преобразования прямо в вашем коде, включая преобразования экспоненциальной части чисел.
Не знаю чем вам не нравилась операция деления, ее тоже сделал для этого же диапазона на всякий случай, полином 6й степени получился.
Расскажите, что за задача, что требуются именно функции от углов?
Там все несколько проще, чем учебник ангема) sin=y/r, cos=x/r, r=(x^2+y^2)^(1/2). А так обращайтесь за материалом, я на хабре как раз в основном про трехмерную геометрию пишу в кватернионах. Формула с матрицей это из линейной алгебры - метод наименьших квадратов заданный через псевдообратную матрицу.
Ок, буду ждать