Моё мнение такое:
DNS-over-HTTPS как возможность повышает безопасность Интернета.
В то же время включение DNS-over-HTTPS по умолчанию снижает эффективность и безопасность интернета: запрос выполняется вместо выбранного мною провайдера к некоему серверу, выбранному Mozilla (или Google или Яндекс — не суть), добавляя в стек используемых мной сервисов ещё одну потенциальную точку утечки. Более того такая точка получает возможность делать BigData анализ, поскольку к ней начинают попадать огромное число запросов, не ограниченное регионом или способом подключения.
Если я не доверяю своему провайдеру и больше доверяю Cloudflare — я включу DoH и переложу запрос с менее доверенной организации в более доверенную.
Но в среднем у провайдера остаётся всё ещё немало средств следить за вами, поэтому я не стал бы исходить из аксиомы, что люди доверяют своим провайдерам меньше чем Cloudflare или Google.
А то это по сути добавляет требование создания облака для разрабочика умных устройств и требует не только голос, но вообще все данные через интернет гонять… хотя если ваш аргумент про голос я могу принять, но уж HTTP-запрос на 100 байт (лампочка ИД 12 яркость 80) явно не требует облака.
Мы же можем померять кусочек пространства — значит оно существует.
Нуу… строго говоря — нет, не можем. Все последние опыты показали, что если пространство и делится на какие-то кусочки, то эти кусочки меньше точности любых имеющихся у нас приборов.
И также нельзя построить модель чёрной дыры, которая описывала бы даже наблюдаемую внешнюю окрестность чёрной дыры, если исходить из того, что пространство состоит из кусочков.
Ох… вы очень-очень произвольно манипулируете с допущениями и даже числами.
Чему будет равна площадь квадрата со сторонами 1 и -1?
Нет у вас там стороны -1. У вас там простой квадрат со сторонами по 1, его площадь 1.
Потому что длина стороны — это корень из квадратов расстояний. sqrt(0^2 + (-1)^2) = 1 Площадь реального квадрата не может быть меньше 1, разумеется. А вот площадь мнимого… да, он не «реален» в вашем понимании, но математика для его обсчёта существует.
Если нельзя проверить для прямой, то почему можно для трёхмерного случая (размер вселенной)?
Проверить нельзя. Но и опровергнуть нельзя. Допущение неопровержимых истин, вменяемое отрицание которых не имеет интерпретации есть основа физики.
Для того, чтобы утверждать, что пространство конечно или что его нельзя бесконечно делить требуются либо свидетельства этого, либо хотя бы интерпретации того, что это значит. Пока ни того ни другого не имеется.
Делимость времени кстати опровергается. Потому что в каждый момент времени занимает положение равной самой себе, то есть покоится. И сегодня, насколько мне известно, все физические теории оперируют непрерывным (бесконечно делимым) временем, а не квантованным.
В итоге на самом деле вы описываете под «реальным» то, что можете пощупать руками. Вот и получается у вас, что пространство — нереально, время — тоже. А реален один апельсин. Даже интересно как вы внутри себя рассуждаете о чёрных дырах, модель которых как раз вот на всех этих бесконечных делимостях и строится. Или чёрные дыры вы тоже полагаете не реальными?
В итоге вместо одной формулировки задачи вы, по сути, предложили новую формулировку, чем увели обсуждение предложенной задачи в сторону обсуждения другой задачи. Разве это правильно?
Вопрос в том какая была задача. Я как бы видел задачу «ввести число всех натуральных чисел как объект с которым можно манипулировать». Ввёл, описал как манипулировать. Естественно, что манипуляции с таким объектом будут несколько отличаться от манипуляций с самими натуральными числами. Ввести число натуральных чисел таким образом, чтобы с ним можно было бы манипулировать в точности как с натуральными числами нельзя. Но это как раз и кажется мне «теневым» условием задачи, на которое я и не согласен.
Как проверить «сложение» с трансфинитными ординалами?
Никак. Также как и возведение в квадрат мнимой единицы. Это аксиоматическая часть.
Собственно и то, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной никак проверить нельзя. Разве что статистику набрать…
Ну и вы сами согласны — «не следует применять операции с пространством к материальным объектам». Но тем не менее неосторожно применяете ординалы к вопросу о сумме количества членов бесконечного ряда с единицей. Хотя само понятие количества — из реального мира. А бесконечность — из придуманного.
Вы путаетесь, опять излишне объединяя понятия. «Материальный» и «реальный» — не синонимы.
Бесконечность — вещь в целом реальная. Времени у вселенной впереди бесконечное количество. И расстояние бесконечно куда ни лети. И расстояние между двумя точками можно нарезать на бесконечное число частей, равно как и время между двумя мгновениями. (хотя это и не совсем та бесконечность, о которой мы говорили ранее)
Другое дело, что понятие бесконечности неприменимо к материальным объектам: они (по пониманию современной науки) состоят из конечного числа элементов.
Поэтому апельсин нельзя удвоить. А пространство, занимаемое апельсином — можно.
Во-первых сложение используется для обозначения конкатенации в большинстве языков, наверное.
Во-вторых другой интерпретации сложения в применении к строкам я придумать не могу… тем более такой, которая была бы однозначно коммутативна.
Моей же задачей было показать, что ввод операции сложения для нового класса объектов (как для строк, так и для трансфинитных ординалов) не наделяет её автоматически всеми свойствами сложения чисел. Единственное, что если числа являются подмножеством нового класса — сложение двух чисел должно не менять своих свойств.
Но если эти два объекта одновременно равны и в то же время отличаются, то опять возникает вопрос о смысле такой системы.
Ну так на самом-то деле объекта не два, а три: ω + 1; 1 + ω; ω. Первый из них больше двух других, которые равны между собой.
Просто вы так привыкли к коммутативности сложения, что рефлекторно распространили его и на сложение трасфинитных ординалов. В то же время сложение в обобщённом смысле «естественным образом» коммутативностью не обладает(тривиально: сложением же часто описывается операция конкатенации строк). И случай ω + 1 не совпадает «автоматически» с 1 + ω.
Другие разные «противоречия» о которых вы говорите связаны в основном с тем же распространением «естественных» свойств на операции, которые уже применяются в расширенном смысле. Поэтому я так часто возвращаюсь к комплексным числам: в «естественных» действительных у вас никак не может получиться квадрат числа меньше нуля, а с комплексными — пожалуйста.
Не может оказаться так, что ваш подход применим только для построения двух шаров из одного?
И построение двух шаров из одного — вещь тоже разумная. Хотя бы потому, что применима исключительна для пространств и базируется на доказанном тезисе, что существуют разбиения шара такие, что объём некоторых «фрагментов» нельзя измерить.(не равен 0!, но неизмерим!)
«Парадокс» же в данном случае указывает на то, что не следует применять операции с пространством к материальным объектам. (в отличии, кстати, от парадокса Рассела парадокс Банаха-Тарского вступает в противоречие только с «естественным» суждением, что два шара больше одного)
А вы же говорите, что если что-то добавить к бесконечности, то ничего не изменится.
Простите, но я такого не говорил. И не писал. Наоборот, в одном из комментариев я отмечал, что ω + 1 > ω; 1 + ω = ω. То есть мы добавляя к множеству натуральных чисел количество их получаем новую систему с новыми свойствами (и капельку другим сложением).
И основное что я хочу понять — почему мы должны отказаться от построения такой системы? Если кто-то ещё (кроме вас) может получить из неё внятные и применимые утверждения…
А парадоксы, да, работают как семафоры о границах применимости систем.
Символ i есть просто обозначение. В практической работе я его просто игнорирую. И вам ничто не мешает делать так же.
Вообще-то мешает то, что возведение его в квадрат даёт -1. В электротехнике вы используете форму z = r ( cos(φ) + i sin(φ) ) потому что там описывается колебательный процесс.
Произвольную пару параметров (например координату и импульс) в виде действительной и мнимой составляющей записывать нельзя.
Суть в том, что простого и однозначного определения бесконечности в общем случае нет. Однако в данном конкретном смысле, в котором она была упомянута — её можно описать и обозначить символом «омега». Также как описали и обозначили символом «пи» отношение площади круга к квадрату его радиуса.
Поскольку мы с вами согласились, что пи — число трансцендентное, единственная разница формул с символом «омега» и с символом «пи» в том, что последняя может быть вычислена приближённо. Это, между тем, исключительно инженерная особенность. Математике всё равно: для неё пи остаётся пи и никаких математических доказательств через такие приближённые вычисления сделать нельзя.
То есть тезис о возможности приближённого вычисления корректен только для физических задач.
На следующем шаге можно отметить, что есть формулы в которых символы могут сокращаться либо у коэффициентов перед ними обнаруживаться интерпретация.
Заявлять что интерпретировать можно только коэффициенты, которые стоят перед «пи», но не перед «омегой» мне кажется настолько предубеждённым, насколько возможно.
То же самое, кстати, касается символа «i». От него тоже далеко не всегда можно избавится в результате. Это же не мотивирует вас на разговоры о «бессмысленности» ТФКП?
Скажу только, что не знаю как такое число получилось. Хотя знаю, что если к единице прибавить любое положительное число, то сумма будет больше 1/120.
Вот в этом и тонкость, что когда прибавляешь любое — получается больше 1, а когда все — получается -1/12.
В этом и заключается разница моего здравого смысла и вашего: если я вижу что многолетний опыт математики получает определённый вывод, к тому же подтверждённый физическим опытом — я убеждаюсь в неполноценности счёта на пальцах, а вы ставите под сомнение опыт математики.
Мне интересно как именно вы предлагаете вычислить площадь круга без использования пи? Потому что в исторической ретроспективе как раз задача о вычислении площади круга принималась эквивалентной вычислению числа пи (а задача о квадратуре круга — эквивалентна алгебраичности числа пи)
Сумма ряда кубов натуральных чисел, которая используется в расчёте эффекта Казимира равна 1/120.
-1/12 — это сумма ряда натуральных чисел. Она бы соответствовала эффекту Казимира в одномерном пространстве, но за неимением одномерного пространства для проверки экспериментальной проверке не подлежит.
Не противоречиво ли утверждение о равенстве количества чисел в бесконечности и суммы этого количества с единицей?
Не противоречиво с точностью до доопределения понятия суммы для трансфинитных ординалов.
Кроме того, поскольку сумма для трансфинитных ординалов не коммутативна, как я уже писал в другом комментарии, вопрос встаёт о том в каком порядке складываем.
Простой здравый смысл подсказывает — если нет конца, то и нельзя назвать количество в таком множестве. Ваш же вариант, возражая здравому смыслу, по сути возражает реальности.
Во-первых я и не говорил что количество можно назвать. Я говорил, что его можно обозначить. А то, что вы, путая эти понятия, в итоге описываете своё понимание мира, потом присваиваете ему титул «здравого смысла» и «реальности» и доказываете что все кто несогласен с вами спорят с реальностью… ну это не очень продуктивно, скажем так.
И про стрелу Зенона. Не понял, как вы перешли от одного парадокса к другому? В смысле почему альтернатива?
Для того чтобы стрела Зенона могла лететь надо чтобы между двумя любыми (сколь угодно близкими) точками пространства было бы ещё место — чтобы пространство было «гладким».
Но именно на такой «гладкости» базируется парадокс удвоения шара.
Эффект Казимира тоже расчитывается в отрицательной полуплоскости: множителем выступает дзета-функция от размерности пространства, умноженной на -1. В нашем трёхмерном мире: ζ(-3)
Но речь ведь идёт о том, что вообще не отображается на реальность. Как проверить свойства таких объектов?
Произвести какие-то суждения, которые касаются «нереальных» объектов, но при этом являются непротиворечивыми… из таких суждений могут
а) получиться следствия, применимые к «реальным» объектам
б) обнаружить «нереальные» объекты в реальном мире
Та же геометрия Лобачевского в итоге прошла по обоим путям, кстати…
В итоге получаем два шара из одного, что и вытекает со всей очевидностью из построений на шаткой основе.
Ну, альтернативой удвоению шара (которое следует из континуальных чисел) является нелетающая стрела Зенона.
Ну алгоритм вычисления первого трансфинитного ординала тривиален: возьмите любое натуральное число и прибавляйте к нему единицу… занимайтесь этим пока звёзды не потухнут и вы всё ещё не получите трансфинитного ординала.
То же самое верно и для числа пи: сколько не вычисляйте число пи — вы никогда не сможете его вычислить.
Разница тут только в том, что на определённом шаге вы можете сказать «ну ладно, это достаточно точное значение числа пи для моих вычислений» и использовать получившееся приближение необходимым образом.
Трансфинитные же ординалы, поскольку по ряду свойств отличаются от счётных, не могут быть получены в виде такого рода приближений… но неужели наличие алгебраических приближений столь критично?
В определении дзета-функции указано, что реальная часть степени должна быть больше единицы. Положительной единицы.
Нет. Это дано в описании тривиального задания дзета-функции.
Тем не менее дзета-функция также продлевается и на отрицательную полуплоскость. И, собственно, самое интересное именно в этой отрицательной полуплоскости и происходит. Например, гипотеза Римана.
Свойство «комплексности» числа мы опять легко воображаем, проецируя число на двумерное пространство и получая просто координаты на комплексной плоскости
.
Нет. Это вы не воображаете, а изображаете. Точно также как авторы статьи в википедии изображают ω^2 как «ёлочку»
Увы, такие изображения, хотя упрощают понимание, часто приводят к потере ряда критически важных аспектов. Например, число в виде точки на комплексной плоскости полностью утрачивает информацию о том, что квадрат его мнимой части отрицателен(в общем случае неположителен).
Как последовательность натуральных чисел меньше 10 даёт траснцендентное число?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — как это связано с трансцендентными числами, кроме того факта, что фрагменты трансцендентных чисел могут записываться этими символами?
Ординал не обязан быть бесконечным. Но для того, чтобы описывать в терминах упорядоченности множества, которые обладают большей мощностью чем натуральные числа, требуется расширить понятие ординала так, чтобы существовали ординалы большие, чем натуральные числа.
Первый из таких ординалов (а я, обратите внимание, говорил про первый трансфинитный ординал, не просто ординал) обозначается ω и собственно описывается как то множество, меньше которого все натуральные числа.
«Бесконечность» — термин слишком размытый. Однако если заменить термин «бесконечность» на первый трасфинитный ординал (число всех натуральных чисел, обозначается ω), то будет так:
ω + 1 > ω; 1 + ω = ω
Сложение трасфинитных ординалов некоммутативно, да.
Подробнее можно почитать в википедии по слову «ординал».
DNS-over-HTTPS как возможность повышает безопасность Интернета.
В то же время включение DNS-over-HTTPS по умолчанию снижает эффективность и безопасность интернета: запрос выполняется вместо выбранного мною провайдера к некоему серверу, выбранному Mozilla (или Google или Яндекс — не суть), добавляя в стек используемых мной сервисов ещё одну потенциальную точку утечки. Более того такая точка получает возможность делать BigData анализ, поскольку к ней начинают попадать огромное число запросов, не ограниченное регионом или способом подключения.
Если я не доверяю своему провайдеру и больше доверяю Cloudflare — я включу DoH и переложу запрос с менее доверенной организации в более доверенную.
Но в среднем у провайдера остаётся всё ещё немало средств следить за вами, поэтому я не стал бы исходить из аксиомы, что люди доверяют своим провайдерам меньше чем Cloudflare или Google.
А то это по сути добавляет требование создания облака для разрабочика умных устройств и требует не только голос, но вообще все данные через интернет гонять… хотя если ваш аргумент про голос я могу принять, но уж HTTP-запрос на 100 байт (лампочка ИД 12 яркость 80) явно не требует облака.
Нуу… строго говоря — нет, не можем. Все последние опыты показали, что если пространство и делится на какие-то кусочки, то эти кусочки меньше точности любых имеющихся у нас приборов.
И также нельзя построить модель чёрной дыры, которая описывала бы даже наблюдаемую внешнюю окрестность чёрной дыры, если исходить из того, что пространство состоит из кусочков.
Нет у вас там стороны -1. У вас там простой квадрат со сторонами по 1, его площадь 1.
Потому что длина стороны — это корень из квадратов расстояний. sqrt(0^2 + (-1)^2) = 1 Площадь реального квадрата не может быть меньше 1, разумеется. А вот площадь мнимого… да, он не «реален» в вашем понимании, но математика для его обсчёта существует.
Проверить нельзя. Но и опровергнуть нельзя. Допущение неопровержимых истин, вменяемое отрицание которых не имеет интерпретации есть основа физики.
Для того, чтобы утверждать, что пространство конечно или что его нельзя бесконечно делить требуются либо свидетельства этого, либо хотя бы интерпретации того, что это значит. Пока ни того ни другого не имеется.
Делимость времени кстати опровергается. Потому что в каждый момент времени занимает положение равной самой себе, то есть покоится. И сегодня, насколько мне известно, все физические теории оперируют непрерывным (бесконечно делимым) временем, а не квантованным.
В итоге на самом деле вы описываете под «реальным» то, что можете пощупать руками. Вот и получается у вас, что пространство — нереально, время — тоже. А реален один апельсин. Даже интересно как вы внутри себя рассуждаете о чёрных дырах, модель которых как раз вот на всех этих бесконечных делимостях и строится. Или чёрные дыры вы тоже полагаете не реальными?
Вопрос в том какая была задача. Я как бы видел задачу «ввести число всех натуральных чисел как объект с которым можно манипулировать». Ввёл, описал как манипулировать. Естественно, что манипуляции с таким объектом будут несколько отличаться от манипуляций с самими натуральными числами. Ввести число натуральных чисел таким образом, чтобы с ним можно было бы манипулировать в точности как с натуральными числами нельзя. Но это как раз и кажется мне «теневым» условием задачи, на которое я и не согласен.
Никак. Также как и возведение в квадрат мнимой единицы. Это аксиоматическая часть.
Собственно и то, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной никак проверить нельзя. Разве что статистику набрать…
Вы путаетесь, опять излишне объединяя понятия. «Материальный» и «реальный» — не синонимы.
Бесконечность — вещь в целом реальная. Времени у вселенной впереди бесконечное количество. И расстояние бесконечно куда ни лети. И расстояние между двумя точками можно нарезать на бесконечное число частей, равно как и время между двумя мгновениями. (хотя это и не совсем та бесконечность, о которой мы говорили ранее)
Другое дело, что понятие бесконечности неприменимо к материальным объектам: они (по пониманию современной науки) состоят из конечного числа элементов.
Поэтому апельсин нельзя удвоить. А пространство, занимаемое апельсином — можно.
Во-вторых другой интерпретации сложения в применении к строкам я придумать не могу… тем более такой, которая была бы однозначно коммутативна.
Моей же задачей было показать, что ввод операции сложения для нового класса объектов (как для строк, так и для трансфинитных ординалов) не наделяет её автоматически всеми свойствами сложения чисел. Единственное, что если числа являются подмножеством нового класса — сложение двух чисел должно не менять своих свойств.
Ну так на самом-то деле объекта не два, а три: ω + 1; 1 + ω; ω. Первый из них больше двух других, которые равны между собой.
Просто вы так привыкли к коммутативности сложения, что рефлекторно распространили его и на сложение трасфинитных ординалов. В то же время сложение в обобщённом смысле «естественным образом» коммутативностью не обладает(тривиально: сложением же часто описывается операция конкатенации строк). И случай ω + 1 не совпадает «автоматически» с 1 + ω.
Другие разные «противоречия» о которых вы говорите связаны в основном с тем же распространением «естественных» свойств на операции, которые уже применяются в расширенном смысле. Поэтому я так часто возвращаюсь к комплексным числам: в «естественных» действительных у вас никак не может получиться квадрат числа меньше нуля, а с комплексными — пожалуйста.
И построение двух шаров из одного — вещь тоже разумная. Хотя бы потому, что применима исключительна для пространств и базируется на доказанном тезисе, что существуют разбиения шара такие, что объём некоторых «фрагментов» нельзя измерить.(не равен 0!, но неизмерим!)
«Парадокс» же в данном случае указывает на то, что не следует применять операции с пространством к материальным объектам. (в отличии, кстати, от парадокса Рассела парадокс Банаха-Тарского вступает в противоречие только с «естественным» суждением, что два шара больше одного)
Простите, но я такого не говорил. И не писал. Наоборот, в одном из комментариев я отмечал, что ω + 1 > ω; 1 + ω = ω. То есть мы добавляя к множеству натуральных чисел количество их получаем новую систему с новыми свойствами (и капельку другим сложением).
И основное что я хочу понять — почему мы должны отказаться от построения такой системы? Если кто-то ещё (кроме вас) может получить из неё внятные и применимые утверждения…
А парадоксы, да, работают как семафоры о границах применимости систем.
Вообще-то мешает то, что возведение его в квадрат даёт -1. В электротехнике вы используете форму z = r ( cos(φ) + i sin(φ) ) потому что там описывается колебательный процесс.
Произвольную пару параметров (например координату и импульс) в виде действительной и мнимой составляющей записывать нельзя.
Поскольку мы с вами согласились, что пи — число трансцендентное, единственная разница формул с символом «омега» и с символом «пи» в том, что последняя может быть вычислена приближённо. Это, между тем, исключительно инженерная особенность. Математике всё равно: для неё пи остаётся пи и никаких математических доказательств через такие приближённые вычисления сделать нельзя.
То есть тезис о возможности приближённого вычисления корректен только для физических задач.
На следующем шаге можно отметить, что есть формулы в которых символы могут сокращаться либо у коэффициентов перед ними обнаруживаться интерпретация.
Заявлять что интерпретировать можно только коэффициенты, которые стоят перед «пи», но не перед «омегой» мне кажется настолько предубеждённым, насколько возможно.
То же самое, кстати, касается символа «i». От него тоже далеко не всегда можно избавится в результате. Это же не мотивирует вас на разговоры о «бессмысленности» ТФКП?
Вот в этом и тонкость, что когда прибавляешь любое — получается больше 1, а когда все — получается -1/12.
В этом и заключается разница моего здравого смысла и вашего: если я вижу что многолетний опыт математики получает определённый вывод, к тому же подтверждённый физическим опытом — я убеждаюсь в неполноценности счёта на пальцах, а вы ставите под сомнение опыт математики.
Ну сравнили вы два метода расчёта числа пи… возможно даже нашли более эффективный. Но к получению самого числа пи это вас не приблизило.
Круг нарисованный циркулем значительно больше приближает вас к числу пи, чем эти алгебраические расчёты.
-1/12 — это сумма ряда натуральных чисел. Она бы соответствовала эффекту Казимира в одномерном пространстве, но за неимением одномерного пространства для проверки экспериментальной проверке не подлежит.
Не противоречиво с точностью до доопределения понятия суммы для трансфинитных ординалов.
Кроме того, поскольку сумма для трансфинитных ординалов не коммутативна, как я уже писал в другом комментарии, вопрос встаёт о том в каком порядке складываем.
Во-первых я и не говорил что количество можно назвать. Я говорил, что его можно обозначить. А то, что вы, путая эти понятия, в итоге описываете своё понимание мира, потом присваиваете ему титул «здравого смысла» и «реальности» и доказываете что все кто несогласен с вами спорят с реальностью… ну это не очень продуктивно, скажем так.
Для того чтобы стрела Зенона могла лететь надо чтобы между двумя любыми (сколь угодно близкими) точками пространства было бы ещё место — чтобы пространство было «гладким».
Но именно на такой «гладкости» базируется парадокс удвоения шара.
Произвести какие-то суждения, которые касаются «нереальных» объектов, но при этом являются непротиворечивыми… из таких суждений могут
а) получиться следствия, применимые к «реальным» объектам
б) обнаружить «нереальные» объекты в реальном мире
Та же геометрия Лобачевского в итоге прошла по обоим путям, кстати…
Ну, альтернативой удвоению шара (которое следует из континуальных чисел) является нелетающая стрела Зенона.
То же самое верно и для числа пи: сколько не вычисляйте число пи — вы никогда не сможете его вычислить.
Разница тут только в том, что на определённом шаге вы можете сказать «ну ладно, это достаточно точное значение числа пи для моих вычислений» и использовать получившееся приближение необходимым образом.
Трансфинитные же ординалы, поскольку по ряду свойств отличаются от счётных, не могут быть получены в виде такого рода приближений… но неужели наличие алгебраических приближений столь критично?
Нет. Это дано в описании тривиального задания дзета-функции.
Тем не менее дзета-функция также продлевается и на отрицательную полуплоскость. И, собственно, самое интересное именно в этой отрицательной полуплоскости и происходит. Например, гипотеза Римана.
.
Нет. Это вы не воображаете, а изображаете. Точно также как авторы статьи в википедии изображают ω^2 как «ёлочку»
Увы, такие изображения, хотя упрощают понимание, часто приводят к потере ряда критически важных аспектов. Например, число в виде точки на комплексной плоскости полностью утрачивает информацию о том, что квадрат его мнимой части отрицателен(в общем случае неположителен).
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — как это связано с трансцендентными числами, кроме того факта, что фрагменты трансцендентных чисел могут записываться этими символами?
Первый из таких ординалов (а я, обратите внимание, говорил про первый трансфинитный ординал, не просто ординал) обозначается ω и собственно описывается как то множество, меньше которого все натуральные числа.
ω + 1 > ω; 1 + ω = ω
Сложение трасфинитных ординалов некоммутативно, да.
Подробнее можно почитать в википедии по слову «ординал».