1) На мой личный взгляд, для школьника седьмого класса и младше доказательство через 4 прямоугольных треугольника и 2 квадрата самое наглядное.
2) Доказательство через отражения тоже очень красивое. Но с учётом того, что современные школьники могут не помнить/не знать уравнение прямой даже в 9 классе, то данное доказательство им будет понять непросто. Да и векторы нужно складывать...
3) По поводу скалярного произведения. Вы обманываете читателей. Скалярное произведение вводится в трёхмерном и двумерном пространстве на курсе по аналитической геометрии. В таких пространствах понятие угла и длины вектора вполне себе измеримы, а потому определение скалярного произведения через длины и угол нормально:
Затем, в данных размерностях через длины проекций можно строго показать, что скалярное произаедение — операция, линейная по каждому аргументу. Затем уже вводя базис из двух (трёх) ортонормированных векторов, можно показать, что скалярное произаедение представляется в виде:
И длина вектора через его координаты в таком базисе определяется следующим образом:
Вот вам и ваша метрика, которую вы получали из требования, что при повороте на 90° расстояния не изменяются.
Затем на курсе по линейной алгебре происходит аксиоматизация скалярного произведения, которая включает требование линейности.
Если быть ещё честнее, то в книжках за 10 и 11 класс по математике определение скалярного произведения даётся в духе аналитической геометрии.
Спасибо за довольно подробное изложение. Всё довольно хорошо написано. Но мне кажется, что материал лучше разделить на две части с более простыми примерами/задачами или введением в первой части и более содержательными вопросами во второй. Или хотя бы сгруппировать по блокам, скрываемым в спойлеры.
Также, где вы рассматриваете одномерные (скалярные) случаи с уравнением вида:
возможно, стоит получать общую формулу для параметра p через q и a, а затем подставить a=1 и a=-1. А ещё можно рядом показать, почему дискретный (d) и непрерывный (c) случаи отличаются в данном примере на единицу:
Подставляя приближенное значение производной в непрерывное уравнение, получим:
Это у вас сделано в конце, но как будто это смотрелось бы лучше после примеров. Но решение всё равно за вами.
А почему вы не хотите открыть более ранние параграфы Ландау? Зачем прыгаете вперёд? Если открыть параграф, где впервые вводилось в действии электромагнитное поле, то действие строилось таким образом, чтобы удовлетворить несколько требований. Одним из требований было то, что действие это скаляр, поэтому если интегрирование ведётся по dx^i, то индекс i должен свернуться с другим индексом i в другой величине. Пусть она будет A_i. Вроде всё логично. Дальше вводились константы e и c и добавлялся знак -. Отсюда (из вида самого действия) сразу говорилось, что по видимому величина A_i не совсем физическая, так как удовлетворяет калибровочной симметрии (хотя, как мы можем узнать из последующих томов или других книг, сама симметрия может нарушаться). А то, что пишите вы в виде действия это домножение на dt/dt, чтобы выделить лагранжиан. Вклад же с массой это релятивистское действие свободной частицы. Всё абсолютно понятно и просто.
Было бы интересно, как не основываясь на переходе от лагранжевой к гамильтоновой (и подходе из ото с варьированием действия по метрике) механики вы выведите тензор энергии-импульса. Есть подходы с выводом пространственной части данного тензора, но они тоже не столь коротки, вроде.
1) На мой личный взгляд, для школьника седьмого класса и младше доказательство через 4 прямоугольных треугольника и 2 квадрата самое наглядное.
2) Доказательство через отражения тоже очень красивое. Но с учётом того, что современные школьники могут не помнить/не знать уравнение прямой даже в 9 классе, то данное доказательство им будет понять непросто. Да и векторы нужно складывать...
3) По поводу скалярного произведения. Вы обманываете читателей. Скалярное произведение вводится в трёхмерном и двумерном пространстве на курсе по аналитической геометрии. В таких пространствах понятие угла и длины вектора вполне себе измеримы, а потому определение скалярного произведения через длины и угол нормально:
Затем, в данных размерностях через длины проекций можно строго показать, что скалярное произаедение — операция, линейная по каждому аргументу. Затем уже вводя базис из двух (трёх) ортонормированных векторов, можно показать, что скалярное произаедение представляется в виде:
И длина вектора через его координаты в таком базисе определяется следующим образом:
Вот вам и ваша метрика, которую вы получали из требования, что при повороте на 90° расстояния не изменяются.
Затем на курсе по линейной алгебре происходит аксиоматизация скалярного произведения, которая включает требование линейности.
Если быть ещё честнее, то в книжках за 10 и 11 класс по математике определение скалярного произведения даётся в духе аналитической геометрии.
Спасибо за довольно подробное изложение. Всё довольно хорошо написано. Но мне кажется, что материал лучше разделить на две части с более простыми примерами/задачами или введением в первой части и более содержательными вопросами во второй. Или хотя бы сгруппировать по блокам, скрываемым в спойлеры.
Также, где вы рассматриваете одномерные (скалярные) случаи с уравнением вида:
возможно, стоит получать общую формулу для параметра p через q и a, а затем подставить a=1 и a=-1. А ещё можно рядом показать, почему дискретный (d) и непрерывный (c) случаи отличаются в данном примере на единицу:
Подставляя приближенное значение производной в непрерывное уравнение, получим:
Это у вас сделано в конце, но как будто это смотрелось бы лучше после примеров. Но решение всё равно за вами.
А почему вы не хотите открыть более ранние параграфы Ландау? Зачем прыгаете вперёд? Если открыть параграф, где впервые вводилось в действии электромагнитное поле, то действие строилось таким образом, чтобы удовлетворить несколько требований. Одним из требований было то, что действие это скаляр, поэтому если интегрирование ведётся по dx^i, то индекс i должен свернуться с другим индексом i в другой величине. Пусть она будет A_i. Вроде всё логично. Дальше вводились константы e и c и добавлялся знак -. Отсюда (из вида самого действия) сразу говорилось, что по видимому величина A_i не совсем физическая, так как удовлетворяет калибровочной симметрии (хотя, как мы можем узнать из последующих томов или других книг, сама симметрия может нарушаться). А то, что пишите вы в виде действия это домножение на dt/dt, чтобы выделить лагранжиан. Вклад же с массой это релятивистское действие свободной частицы. Всё абсолютно понятно и просто.
Было бы интересно, как не основываясь на переходе от лагранжевой к гамильтоновой (и подходе из ото с варьированием действия по метрике) механики вы выведите тензор энергии-импульса. Есть подходы с выводом пространственной части данного тензора, но они тоже не столь коротки, вроде.