Да, внешняя алгебра замечательная! Полностью с Вами согласен. Я думал об этом, но решил остановиться на том, что есть. Кстати, прочитал Вашу статью про внешнюю алгебру (пока только 1-ую часть), раз есть такая возможность, поблагодарю Вас здесь. Интересно.
вы вероятно знакомы только с положительными коэффициентами пропорциональности?
Вот есть у нас параллелепипед, натянутый на вектора из . Будем рассматривать координаты этих векторов в положительно ориентированном ортонормированном единичном базисе. Составим матрицу из этих координат. Тогда определитель этой матрицы в точности равен ориентированному объему этого параллелепипеда (это можно принять и за определение, но, как я уже выше написал, такое определение очень частное и не слишком идейное). Ориентированный объем - это просто объем, но со знаком. Знак плюс, если тройка векторов ориентирована положительно и минус, если отрицательно. Т.е. определитель равен объему этого параллелограмма с точностью до знака.
если матрица с коэффициентами из произвольного поля, определитель по-прежнему полезен?
Конечно. Статья в том числе и об этом. Геометрическая интерпретация определителя - это конечно важная вещь, но на мой взгляд об определителе как раз стоит думать лучше в ключе индикатора линейной зависимости векторов, а не в ключе ориентированного объема.
С точностью до знака, если быть точнее. Я решил не рассматривать этот случай, т.к. он слишком частный: работает только для . Если у нас векторное пространство над произвольным полем, то никакого естественного определения объема нету.
Да, внешняя алгебра замечательная! Полностью с Вами согласен. Я думал об этом, но решил остановиться на том, что есть. Кстати, прочитал Вашу статью про внешнюю алгебру (пока только 1-ую часть), раз есть такая возможность, поблагодарю Вас здесь. Интересно.
Вот есть у нас параллелепипед, натянутый на вектора из
. Будем рассматривать координаты этих векторов в положительно ориентированном ортонормированном единичном базисе. Составим матрицу из этих координат. Тогда определитель этой матрицы в точности равен ориентированному объему этого параллелепипеда (это можно принять и за определение, но, как я уже выше написал, такое определение очень частное и не слишком идейное). Ориентированный объем - это просто объем, но со знаком. Знак плюс, если тройка векторов ориентирована положительно и минус, если отрицательно. Т.е. определитель равен объему этого параллелограмма с точностью до знака.
Конечно. Статья в том числе и об этом. Геометрическая интерпретация определителя - это конечно важная вещь, но на мой взгляд об определителе как раз стоит думать лучше в ключе индикатора линейной зависимости векторов, а не в ключе ориентированного объема.
С точностью до знака, если быть точнее. Я решил не рассматривать этот случай, т.к. он слишком частный: работает только для
. Если у нас векторное пространство над произвольным полем, то никакого естественного определения объема нету.