Отвечу на первый вопрос. Пусть существует множество всех множеств. Тогда у него должна быть максимальная мощность (количество элементов) среди всех множеств (для любого элемента существует множество, содержащее только его). Но для любого множеста, множество всех его подмножеств имеет мощность сторого больше. Так что такое невозможно. Есть и нестрогое «доказательство». Если такое множество существует, то содержит ли оно само себя?
«Отсюда следует и неполнота Теории объектов. Мы не сможем однозначно сказать, что является объектом, а что нет. Например, щит, который невозможно сломать, является объектом или нет? А меч, который все ломает? Тем не менее, вместе они существовать не могут. И сделав один такой выбор, придется сделать его еще и еще раз.» и «Заметим, что мы не требуем существования хотя бы одного объекта. Это сделано для того, чтобы непротиворечивость аксиоматики была эквивалента существованию хотя бы одного объекта.». Хочу заметить, что в Теории категорий используется такое понятие, как объекты и морфизмы. Естественно, они не могут быть определены сами по себе, только относительно друг друга. Там проблем же не возникает.
Очень может быть. Но если предположить, что некоторое число «a» — имеет большую меру иррациональности, то тем не менее во множестве {ka + 2ma} хаотичности не будет вообще. Так как «2a» и «a» успешно делятся друг на друга. Возможно, нужно считать некую относительную меру, а по умолчанию она относительно единицы. Но для множеств вида {n + am}, видимо, именно мера иррациональности влияет на хаотичность. Спасибо за ваш комментарий.
Однако периодов не будет. Да, пример хороший. Тогда мне следует более строго определить «степени хаотичности» и дополнить исследование, учитывая такие числа. И тогда интересно было бы «упорядочить» множество {n + m*sqrt(2)}. Видимо, должен существовать хороший способ. И дальше попробовать проделать это же с множеством {n + m*e}. Но вот если взять уже множество {n + m*sqrt(2) + k*e}, то видимо все равно появится хаос, из-за «укладывания» sqrt(2) в число e.
Теорема Лагранжа: Число представляется в виде бесконечной периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда оно является иррациональным решением квадратного уравнения с целыми коэффициентами.
Да, для алгебраических иррациональных чисел все может быть вполне хорошо. Мне хотелось бы рассматривать преимущественно трансцендентные числа. Например, все логарифмы от натуральных чисел являются трансцендентными числами или целыми, конечно.
Очевидно, что он не хуже обычного RSA, так как RSA является частным случаем «варианта улучшенного RSA». В остальном предлагаю стать вам «независимым экспертом».
Действительно похоже, вы правы. Однако там используются лишь целые положительные числа. Здесь же — иррациональные. Да, они обобщены, как вы заметили. Но это обобщение не позволяет работать с изоморфизмами таким образом.
Я знаю об этой проблеме в терминологии. Вы абсолютно правы в определении порядка. Я пытался избежать именно этого понимания. Здесь я имел ввиду порядок в смысле выстроить пары в счетный ряд по возрастанию и ничего больше. И это можно сделать всегда в этих множествах. Важно лишь нахождение алгоритма для этого. Порядок из курса алгебры куда более общее понятие. Я учту это и в дальнейшем буду использовать другие термины. Спасибо за ваш комментарий.
(0,2) = (3,0) как раз из-за равенства 2 + 2 + 2 = 3 + 3. Удобно выбирать вторую пару, а не первую. Но можно было бы везде выбрать и первую пару — это не принципиально. Простите, боюсь, что я не могу доказать, что для второго множества не существует такой функции f. Я лишь сказал, что эта проблема остается открытой, так как абсолютно не очевидна. А доказательство, которое вы хотите, привело бы и к решению известной проблемы P/NP.
Для множества, про которое вы написали, биекция будет существовать всегда. Как раз потому, что множество — счетно. Да, вы выразили мою мысль наиболее правильно, сказав про вычисление f за константу. По крайней мере, нахождение n-ой пары за полиномиальное время.
Спасибо, исправил. У меня было несколько вариантов, как строго задать очевидную вещь. В таких множествах я имел ввиду нахождение просто взаимосвязи. Я думаю, что интуитивно понятно, что, например, во множестве степеней двойки «порядок» находиться очень просто, а во множестве простых чисел — нет. Вы правы, способ существует всегда — полный перебор. Я имел ввиду явную формулу для любой пары. Полный перебор формулой являться не будет, так как множество — бесконечно.
«Отсюда следует и неполнота Теории объектов. Мы не сможем однозначно сказать, что является объектом, а что нет. Например, щит, который невозможно сломать, является объектом или нет? А меч, который все ломает? Тем не менее, вместе они существовать не могут. И сделав один такой выбор, придется сделать его еще и еще раз.» и «Заметим, что мы не требуем существования хотя бы одного объекта. Это сделано для того, чтобы непротиворечивость аксиоматики была эквивалента существованию хотя бы одного объекта.». Хочу заметить, что в Теории категорий используется такое понятие, как объекты и морфизмы. Естественно, они не могут быть определены сами по себе, только относительно друг друга. Там проблем же не возникает.