Если кривая задана над полем размера q, то в общем случае расширение поля будет иметь размер около q^N, где N — число точек на кривой (или размер подгруппы). Т.е. задача сводится в поле размером q^O(q) (по границе Хассе-Вейля). Даже если в нём известен полиномиальный алгоритм для DLOG, всё равно получается сложность решения O(q log(q)).
В частных, редких случаях (суперсингулярные кривые и некоторые обычные, которые необходимо генерировать спец. алгоритмом), расширение небольшое и такие кривые используются в криптографии на билинейных отображениях (спариваниях). Вот этот подраздел эллиптической криптографии и будет взломан в случае нахождения быстрого алгоритма для DLOG в конечном поле. В общем-то для полей размера q=2^n (и других полей малой характеристики) он уже и взломан (алгоритм Joux).
В частных, редких случаях (суперсингулярные кривые и некоторые обычные, которые необходимо генерировать спец. алгоритмом), расширение небольшое и такие кривые используются в криптографии на билинейных отображениях (спариваниях). Вот этот подраздел эллиптической криптографии и будет взломан в случае нахождения быстрого алгоритма для DLOG в конечном поле. В общем-то для полей размера q=2^n (и других полей малой характеристики) он уже и взломан (алгоритм Joux).