edstar Feb 11 at 14:28

Новые исследования о пределах математической истины и границах математического знания

10 min

2.4K

Mathematics*

Recovery Mode

Translation

+15

Comments 25

Refridgerator Feb 12 at 02:45

Другие диофантовы уравнения, такие как x² + y² = 3, не имеют целочисленных решений.

. Не благодарите (мнимая единица вполне себе целая).

Naf2000 Feb 12 at 05:44

https://ru.wikipedia.org/wiki/Гауссовы_целые_числа это все таки не тоже самое, что и https://ru.wikipedia.org/wiki/Целое_число

Refridgerator Feb 12 at 06:11

В этом и разница между инженером и математиком - инженер ищет решение, математик ищет доказательство, что решения не существует.

Naf2000 Feb 12 at 07:41

Это манипуляции. А по факту - ваше решение безусловно является решением, но к другой задаче (в другом кольце). Математики вполне занимаются доказательством существования решения. Причем это может быть как конструктивное доказательство - когда в ходе доказательства фактически строится конкретное решение, либо неконструктивное, когда доказательство не дает способ поиска. А искать решение, если его не существует - ну это такое - надо либо условия менять (но опять же это будет несколько другая задача), либо... пытаться найти то чего нет. Типичный пример - "инженерные" попытки найти общее решение корней многочлена 5-степени. Пока не было доказано, что таких формул в определенной постановке задачи - не существует.

Refridgerator Feb 12 at 11:20

Численно корни 5-й степени находятся точно так же, как и 2-й - методом Ньютона. И эта определённая постановка - "в радикалах", искусственно введённое ограничение.

Naf2000 Feb 12 at 17:53

Я бы не был столь категоричен. Метод Ньютона конечно даст конкретное решение (а может и нет, он ведь ограничен в применении), но это просто ответ в конкретном случае. А математики искали фактически явную обратную функцию - как по коэффициентам построить корни. И на тот момент казалось, что это технически возможно (это действительно возможно в частных случаях), ведь все меньшие степени удалось найти "в радикалах". Зачем? Например чтобы иметь представление каким образом коэффициенты влияют на корни. Что будет с корнями, если коэффициент изменить на небольшую дельту?

То есть их интересовали не сами корни у конкретного многочлена, а скажем так - многообразие корней, параметризованное коэффициентами.

Refridgerator Feb 13 at 02:39

Радикал - это же обратная функция конкретно для параболы. Поэтому вполне логично, что через неё нельзя выразить корень произвольного многочлена. Ну а в современной математике для этого специальная функция есть, с которой тоже можно оперировать аналитически.

Naf2000 Feb 13 at 05:24

Вот оно что. Да Вы посрамили теорему Абеля-Руффини и заодно всю теорию Галуа ))) Это был сарказм, простите

Refridgerator Feb 13 at 06:32

Ну что поделать, если кому-то интересно доказывать очевидные вещи (сарказм на сарказм, простите)

Seraphimt Feb 12 at 15:52

(мнимая единица вполне себе целая

Э-э-э, как бы нет. Комплексные и целые числа - разные сущности, даже у инженеров.

Refridgerator Feb 13 at 02:33

Во времена Диофанта комплексные числа ещё не придумали - поэтому неудивительно, что эти уравнения формулируются именно для целых действительных. А придумали комплексные числа как раз для того, чтобы с их помощью решать то, что без них не решается. О том и был мой комментарий - пределы математики до рождества Христова и пределы математики в 21 веке после слегка различаются.

(Радиотехника и ЦОС базируется на комплексных числах и рациональных многочленах. Это норма ©)

Seraphimt Feb 13 at 12:38

Вам уже выше сказали, что решить в гауссовых числах и в целых - два разные задачи. Поэтому не важно какая задача сформулирована раньше, одна не отменяет другую.

Refridgerator Feb 13 at 13:23

Так я выше тоже сказал - дело не в том, что "раньше", а в уровне математического знания на момент формулирования задачи. Потому что вот прямо сейчас развивается новый мат.аппарат для решения задач, которые считаются нерешаемыми. Почему-то многие забывают, что математика - это изобретение человека, а не объективно существующая реальность.

Seraphimt Feb 13 at 14:14

Какой бы новый мат аппарат не появился, комплексные числа не будут решением диофантовых уравнений в $\mathbb{Z}$ , просто по определению и постановке задачи, не передёргивайте. Использовать различные новые методы - да, это всегда делалось, но подменять ответ нельзя. Если в задаче ответ ищется в $\mathbb{Z}$ , то предоставлять число - это как на вопрос "сколько стоит вон то яблоко" отвечать "Жёлтый".

Refridgerator Feb 13 at 14:45

Тут же вопрос вообще в другом - является ли постановка вопроса "от балды", или для решения конкретной, существующей в реальности проблемы. В первом случае - ну таких вопросов может быть бесконечное количество и ценность они имеют только для тех, кто их задал и тех, кто поверил в их ценность. Во втором - ну это радио, телевидение, интернет, криптография... - реальность другим словом.

Seraphimt Feb 13 at 16:09

Нет, вопрос не в другом. Ваши измышления по поводу практичности задачи никак не относятся к её постановке. Если не понимаете бытовых аналогий, то вот вам прогерская - функция, что возвращает int не то же самое, что функция возвращающая ComplexNumbers.
Про реальность просто смешно. Радио, телевидение, интернет - всё стоит на комплексных числах, которые получили во многом "от балды" по вашей терминологии. А современная криптография? Теория чисел полностью "от балды" была тысячи лет, пока внезапно не пригодилась в прошлом веке.
Так что грош цена всему вашем спичу про "от балды" или "от реальности".

Refridgerator Feb 14 at 02:55

Если не понимаете бытовых аналогий, то вот вам прогерская - функция, что возвращает int не то же самое, что функция возвращающая ComplexNumbers

Если у меня определено приведение типов - то я вполне могу обращаться с ними как "то же самое". Давайте я вам тоже дам аналогию: посчитайте численно значение выражения $\cos \left(2 \cos ^{-1}(2)\right)$ не прибегая к комплексным числам (спойлер: ответ 7 корректен и это тоже легко доказать, не прибегая к комплексным числам).

стоит на комплексных числах, которые получили во многом "от балды" по вашей терминологии

Нет конечно, комплексные числа появились для решения кубических уравнений - вполне конкретная. А в теории радио и телевидения они появились из-за преобразования Фурье, который тоже решал вполне конкретную задачу о распространении тепла.

Под "балдой" я подразумевал многочлен с произвольно взятыми коэффициентами - в чём смысла не больше, чем в слове из произвольно взятых букв.

Теория чисел полностью "от балды" была тысячи лет, пока внезапно не пригодилась в прошлом веке

Нет у теории чисел тысячи лет, это какая-то популярная байка. Тысячу лет разве что про простые числа знали, а как их произведение факторизовать взад - нет. Криптография начала активно развиваться с сопутствующим мат. аппаратом в начале 20-го века, достаточно просто историю взломов этих шифров почитать.

Naf2000 Feb 13 at 16:24

Может оказаться так, что вы ищете прямоугольник с заданными площадью и периметром. Вы составляете уравнение, решаете его и получаете комплексные корни. Вопрос: это будет решением исходной задачи?

Refridgerator Feb 14 at 02:36

Вы не поверите, но я сталкивался с похожей ситуацией - в задаче о повороте вектора на угол, чтобы их сумма имела заданную длину. Комплексные значения значат, что решение не может лежать на плоскости и ему требуется выход в 3D-пространство. Вполне геометрично и удобно иметь границы применимости непосредственно внутри решения.

Naf2000 Feb 14 at 06:00

Простите, в какое пространство мне нужно поместить прямоугольник с комплексными значениями длин сторон?

Refridgerator Feb 14 at 07:10

В 4-мерное очевидно.

Naf2000 Feb 14 at 11:20

А что в четырехмерном пространстве длины отрезков могут быть комплексными значениями?

Refridgerator Feb 14 at 13:09

Ну если их считать, как в двумерном - то да. Берёте комплексное число, в качестве значений мнимой и действительной части - тоже комплексные числа, и вот уже корень суммы квадратов вовсе не обязательно будет >=0.

Naf2000 Feb 14 at 15:35

И вот уже понятие метрического пространства помахало вам на прощание платочком))

Refridgerator Feb 14 at 18:38

Ничего страшного - я ж не математик, меня такие вопросы вообще не беспокоят. Беспокоит только одно - "взлетит или не взлетит".