Многокритериальный выбор альтернатив с использованием правил нечеткого вывода. Часть 1/3: Теория

Нечеткая логика — математические основы
Нечёткое множество

Описание метода
Пусть имеется множество элементов U, а A – его нечеткое подмножество, степень принадлежности его элементов определяется значением X, принимающим значение из интервала [0;1].
Таким образом, объект можно описать набором критериев(параметров) X(1), X(2) … X(n), принадлежащих соответствующим базовым множествам U(1), U(2) … U(n). Совокупность критериев с соответствующими значениями характеризует приемлимость S данного объекта относительно поставленной задачи.

Пример такого высказывания:
d(i): «Если X(1)=низкая и X(2)=хорошее, то S=высокая»

для общего случая:
d(i): «Если X(1)=A(1) и X(2)=A(2) и… и X(p)=A(p), то S=B(i)»

Обозначим пересечение условий X(1)=A(1), X(2)=A(2) … X(n)=A(n) через X=A(i).

Пересечение нечетких множеств есть минимум их функций принадлежности:
image
где
V=U(1)xU(2)x...xU(p)
v=(u(1),u(2)...u(p))
u(j) — значение принадлежности элемента u(j) нечеткому множеству A(i,j)

тогда высказывание можно записать в виде:
d(i): «Если X=A(i), то S=B(i)»

Обозначим множество U или V через W, тогда A(i) – нечеткое подмножество W, а B(i) – нечеткое подмножества единичного интервала I.

Импликация этих нечетких множеств выражается как
image

где
H- нечеткое подмножество на WxI
w принадлежит W, а i – I.

Аналогично высказывания d(1),d(2)...d(n) преобразуются в множества H(1),H(2)...H(n); их объединением является множество D.

Для каждой пары (w,i) из WxI
image

Каждая альтернатива описывается нечетким подмножеством C из W; ее удовлетворительность находится на основе компзиционного правила вывода:

G=C*D

где G – нечеткое множество интервала I. Тогда
image

Сравнение альтернатив происходит с помошью точечных оценок.
Для нечеткого множества A из I определим a-уровневое множество (a=[0,1]):
image

Для каждого А(а) вычисляется среднее число элементов — М(A(a)):
image

Тогда точечное значение для множества А:
image

a_max – значение, при котором A имеет максимум.

Лучшей признается альтернатива с наибольшей точечной оценкой.

Во второй части статьи будет описана реализация данного метода; пример его работы — в третьей.

Многокритериальный выбор альтернатив с использованием правил нечеткого вывода. Реализация на Java. Часть 2/3: Основной алгоритм

Многокритериальный выбор альтернатив с использованием правил нечеткого вывода. Реализация на Java. Часть 3/3: Пример

Литература:
Борисов, Крумберг, Федоров — «Принятие решений на основе нечетких моделей. Примеры использования», 1990 (прим.: в авторских расчетах имеются ошибки). Стр. 94-102
  • +18
  • 7,8k
  • 8
Поделиться публикацией
Комментарии 8
    0
    Если реализация будет во второй части, что что в заголовке этого топика делает это слово?
    Ну и так, возможно, вам стоило бы несколько более разжевать то, что вы тут описали: далеко не у всех есть достаточный уровень познаний в нечёткой логике.
      0
      Чтобы понять реализацию, нужно знать что именно происходит — для этого первая часть целиком отдана теории. А заголовок уведомляет, что впереди этот алгоритм еще и можно будет увидеть в действии. Вторая часть уже в процессе написания, хотя мб придется разделить описание этого метода на три фрагмента.
      В интернете полно описаний основ нечеткой логики — с базовыми знаниями дискретки и тервера всё довольно быстро осознается.
        0
        Проще для восприятия нечеткие множества определить с помощью индикаторной функции, как предложил Л.А. Заде. Вообще про нечеткость, на пальцах: Теория нечётких множеств (Заде)
          +1
          Опять-двадцать-пять. При чем здесь теорвер?
        +3
        Стоит всё же убрать из заголовка про реализацию. А то читатель чувствует себя обманутым. Лучше так: «Многокритериальный выбор альтернатив с использованием правил нечеткого вывода. Часть 1: Теория».

        Это же ваш первый топик, расцените это и замечание насчёт разжевать советом по тому, как написать хорошую статью. Нужно стараться так, чтобы она была максимально reader-friendly, и не заставляла его вручную отправляться гуглить: иначе вполне возможно, что вашу статью не дочитают, и попытка пронести свет в массы провалится.
        0
        Кто бы объяснил это все на пальцах…
        • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь

          Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

          Самое читаемое