Топология на пальцах

Топология — довольно красивое, звучное слово, очень популярное в некоторых нематематических кругах, заинтересовало меня еще в 9 классе. Точного представления конечно же я не имел, тем не менее, подозревал, что все завязано на геометрии.


Слова и текст подбирались таким образом, чтобы все было «интуитивно ясно». Как следствие — полное отсутствие математической грамоты.


Что такое топология? Сразу скажу, что есть, по крайней мере, два термина «Топология» — один из них просто обозначает некоторую математическую структуру, второй — несет за собой целую науку. Наука эта заключается в изучение свойств предмета, которые не изменятся при его деформации.

Наглядный пример 1. Чашка бублик.

image
Мы видим, что кружка непрерывными деформациями переходит в бублик (в простонародье «двухмерный тор»). Было замечено, что топология изучает, то что остается неизменным при таких деформациях. В данном случае неизменным остается количество «дырок» в предмете — она одна. Пока оставим как есть, чуть позже разберемся наверняка)

Наглядный пример 2. Топологический человек.

image
Непрерывными деформациями человек (см. рисунок) может распутать пальцы — факт. Не сразу очевидно, но можно догадаться. А если же наш топологический человек предусмотрительно надел часы на одну руку, то наша задача станет невыполнимой.



Давайте внесем ясности


Итак, надеюсь парочка примеров привнесла некоторой наглядности к происходящему.
Попробуем формализовать это все по-детски.
Будем считать что мы работаем с пластилиновыми фигурками, и пластилин можем растягивать, сжимать, при этом запрещены склеивания разных точек и разрывы. Гомеоморфными называются фигуры, которые переводятся друг в друга непрерывными деформациями описанными чуть ранее.

image
Очень полезный случай — сфера с ручками. У сферы может быть 0 ручек — тогда это просто сфера, может быть одна — тогда это бублик (в простонародье «двухмерный тор») и т.д.
Так почему же сфера с ручками — обособляется среди других фигур? Все очень просто — любая фигура гомеоморфна сфере с некоторым количеством ручек. То есть по сути у нас больше ничего нет О_о Любой объемный предмет устроен как сфера с некоторым количеством ручек. Будь то чашка, ложка, вилка (ложка=вилка!), компьютерная мышь, человек.

Вот такая вот достаточно содержательная теорема доказана. Не нами и не сейчас. Точнее она доказана для гораздо более общей ситуации. Поясню: мы ограничивались рассмотрением фигур слепленных из пластилина и без полостей. Это влечет следующие неприятности:
1) мы никак не можем получить неориентируемую поверхность (Бутылка Клейна, Лента Мёбиуса, проективная плоскость),
2)ограничиваемся двухмерными поверхностями (н/п: сфера — двухмерная поверхность),
3)не можем получить поверхности, фигуры простирающиеся на бесконечность (можно конечно такое представить, но никакого пластилина не хватит).

Лента Мёбиуса

image

Бутылка Клейна

image
Комментарий: изображено самопересечение, что мы запрещали изначально. На самом деле если рассматривать вложение в четырехмерное пространство, то можно избавиться от самопересечений, но «БолееЧемТрехМерные» пространства — ненаглядны.

Неориентируемые поверхности примечательны тем, что они не разделяют пространство на две части, например т.к. сфера.
Но не все так плохо. А точнее, все так же хорошо как и в ориентируемом случае — любая неориентируемая двухмерная поверхность (правильно так же добавить: компактная, связная, без края) гомеоморфна сфере с некоторым количеством «пленок Мёбиуса») и ручек. К слову Бутылка Клейна — сфера с двумя пленками Мёбиуса.

Промежуточный итог


Мы ознакомились с наипростейшим изложением сути непрерывных отображений (деформаций), неявно сформулировали теорему классификации двухмерных компактных связных поверхностей без края, ознакомились на пальцах с понятием ориентируемости.

Далее будет рассказано о связи топологии с другими разделами математики/механики, постараюсь найти какие-нибудь изюминки.
Поделиться публикацией
Ой, у вас баннер убежал!

Ну. И что?
Реклама
Комментарии 55
    +13
    Насчет расцепления рук можно подробнее?
      0
      Попробуйте гомеоморфными преобразованиями растянуть кольцо из «пальцев» на одной из рук до таких размеров, что весь человек может через него пролезть. Ну, дальше собственно останется только пролезть.
        +64
        вот так нагляднее
        image
          +6
          именно этот рисунок пытался сейчас оцифровать =) спасибо=)
            +4
            На первом и последнем кадре у человечка тени нетопологичные.
              +7
              И Вас только это и смущает?)
                +2
                Всё остальное нравится :)
                  +1
                  Можно, конечно, придраться к отсутствию теней у «рук». Но, они бы мешали сфокусироваться на механизме высвобождения, выступали бы в роли визуального мусора.
                    +1
                    Если уж на то пошло — меня смущает затемнение левой части лица(т.е. свет справа, что сходится и с тенями) и правой части «рук», хотя может на руках просто блики.
                +1
                В зрительном зале будет паника
                  +2
                  а что за книга?
                    0
                    «Мищенко, Фоменко — (Краткий) Курс дифференциальной геометрии и топологии»,
                    а также задачник
                    «Мищенко, Фоменко — Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии».
                    Этот пример еще разобран в книжках тов. Прасолова по наглядной топологии.
                  +101
                  Вариант с часами
                  –5
                  Насколько я понял, нужно произвести деформации с выворачиванием наизнанку одновременно обеих рук. Примерно, как в видео "Как вывернуть сферу наизнанку?", смотреть со 2:00 или с 6:15. Хотя я не представляю как это сделать IRL, но математик-кун заверяет, что сей финт ушами — «честная» непрерывная деформация без изломов и разрывов.
                    0
                    Это ответ для самого первого комментария nick4fake, кажется, я промахнулся с кнопкой «Ответить»
                      +2
                      здесь никаких выворачиваний наизнанку нет! сей прием возможен на сфере, но не возможен на топологическом человеке, который, в свою очередь, является сферой с двумя ручками =)
                    +1
                    Спасибо за наглядную иллюстрацию.

                    Мне, почему-то, из курса топологии запомнилось только как превратить квадрат в сферу, тор, лист Мебиуса и бутылку Клейна.
                      +3
                      Чтобы читатели выносили только качественный материал из статьи:

                      Увы, квадрат никак не превратить в ни одно из перечисленных многообразий (непрерывными деформациями). Но взяв замкнутый квадрат (квадрат с границей) и отождествив соответствующим образом его стороны, можно получить все перечисленное + проективную плоскость.
                        0
                        Я как раз про это.
                          0
                          И что же мешает проделать то же самое с квадратом без границы? Все лишь надо склеивать не только границу, а полоску вдоль границы.
                            +1
                            «полоска вдоль границы» — а какая именно? По аксиоме полноты у нас сколь угодно много полосок вдоль границы, на расстоянии <e, и это для любого положительного e.
                            Квадрат должен быть строго замкнут. Чтобы была возможность попарно отождествить стороны
                      • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                          0
                          А можно пример, где прикладная физика опирается на топологию?
                          • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                              +4
                              Современная физика != «прикладной физике».

                              В современной же физике достаточно вспомнить многообразие Калаби — Яу как математический аппарат теории струн.

                              И, конечно же, можно рекомендовать к прочтению эту статью.
                              • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                0
                                вся современная физика — это суть Алгебраическая Топология, которая тоже будет на пальцах =)
                                не даром многие математики становятся по жизни физиками. приведу наглядный пример — Новиков Сергей Петрович
                                  0
                                  Очень интересно будет прочитать Ваше изложение гомологий, сам собирался сюда что-нибудь про них написать и потом рассказать про использование гомологий в обработке изображений. Но теперь подожду :)
                                    0
                                    До (ко)гомологических теорий он так очень нескоро дойдет (и не факт, что он в курсе приложений).
                                    Так что пишите, должно быть чертовски интересно (про приложения в основном).
                                      +2
                                      Я уже давно собираюсь, но меня останавливает то, что параллельно придется на пальцах объяснять про циклические группы (хотя я уже почти придумал, как это сделать). Но все равно быстро не получится. Про приложения будет к лету, когда мы (надеюсь) запустим наш первый промышленный проект, реально использующий гомологические методы.
                                        0
                                        Мне известны методы распознания образов, использующие гомологии. Какова типа обработку изображений производит Ваше приложение?
                                          +1
                                          Да в принципе все очень традиционно — сегментация изображений (по сути текстурная, но при довольно большом диапазоне масштабов текстур) и распознавание типа областей. Изображения медицинской природы. Просто качество у них такое отвратительное, что традиционные методы работают плохо.
                              +3
                              напомнили интересное видео www.youtube.com/watch?v=2tD5e-EjeRg
                                0
                                Если честно, то название темы у меня в голове начало порождать картины топологий, заданных на множестве пальцев.
                                  0
                                  на меня название такой же эффект производит… в свое время топологический человек со своими пальцами зацепил, хотел рассказать, в итоге коснулся еле-еле =)
                                  +2
                                  Странно, что в статье не было упоминания знаменитой гипотезы Пуанкаре и ее доказательства российским ученым. Все же единственная из решенных проблем тысячелетия.
                                    +2
                                    Наверное вы хотели сказать Теорему Пуанкаре?) Факт был мной беспощадно забыт, до сего момента, спасибо, учту!=)
                                    Про доказательства вообще лучше не говорить, ну материал не для хабра. Наша цель — наглядность и простота! Пусть жертвой мелочей=)
                                      0
                                      было бы супер почитать объяснение Теоремы Пуанкаре «на пальцах»!
                                        +2
                                        Ну да, теперь уже теорема.
                                      –29
                                      Я думал топологию вашу, б… ую, запретили?
                                        +5
                                        Предлагаю запретить людей, выражающихся таким образом о топологии.
                                          –6
                                          Я тоже только за — только всех разом. А с расхожими интернет-фразами очевидно у народа все хуже и хуже.
                                            +1
                                            Какая печаль, как жить дальше.
                                        +7
                                        Тема хороша, но изложение хромает.
                                          +1
                                          Осознаю, что хромает. Но, к сожалению, пока не хватает и опыта и грамотности.
                                          +4
                                          У вас есть довольно серьезная неточность. То, что вы называете гомеоморфизмом на самом деле является гомотопической эквивалентностью. Любой гомеоморфизм есть гомотопическая эквивалентность, но не наоборот. С первого взгляда концепции очень похожи, но дьявол в деталях. Например, обсуждавшаяся выше гипотеза Пуанкаре как раз является утверждением об эквивалентности этих штук для n-сферы.

                                          Топологический человек вообще является примером объемлющей изотопии, т.к. рассматривается вложение человека в трехмерное пространство. Если рассматривать человека просто как многообразие, то задача становится тривиальной.

                                          Кстати эти понятия почему-то очень часто смешивают в популярных изложениях, хотя это совершенно разные вещи.
                                            +3
                                            Прошу не путаться и не путать здешних обывателей! Сейчас все объясню.
                                            Сразу замечу, что в статье никаких классов отображений не определялось, только интуитивные представления о «хороших» деформациях.
                                            «Будем считать что мы работаем с пластилиновыми фигурками, и пластилин можем растягивать, сжимать, при этом запрещены склеивания разных точек и разрывы. Гомеоморфными называются фигуры, которые переводятся друг в друга непрерывными деформациями описанными чуть ранее.» — это НЕ есть определение гомотопической эквивалентности!
                                            Просто мы между собой пока математическое сообщество не слышит договорились называть это гомеоморфностью двух фигур.

                                            Опять же, изложен интуитивный подход: мы не знаем, что такое многообразие «где-то там», оно всегда хорошо вложено в трехмерное пространство. Отсюда и примерчики.

                                            По поводу смешивания понятий… В популярных изложениях никогда не встречал понятия гомотопической эквивалентности, да и зачем оно там нужно, изложения же популярные =)
                                              +4
                                              это НЕ есть определение гомотопической эквивалентности

                                              Полностью согласен, но на гомеоморфизм это тоже не похоже, ведь мы лепим из пластилина в трехмерном пространстве, поэтому гомеоморфные многообразия начинают выглядеть негомеоморфными при таком определении (тот же человек с часами). Я согласен, что гомотопическая эквивалентность в данном случае — излишняя концепция, но все-таки мне думается, что следовало бы показать различие между гомеоморфизмом, изотопией и объемлющей изотопией. Уж что такое функция здесь должны понять.

                                              Мне кажется, что излишнее упрощение также вредно, как и излишее усложнение. Наглядный пример можно наблюдать в последнее время на каком-нибудь Дискавери.
                                                +1
                                                Я Вас понял! =) Спасибо большое, возьму на заметку! Тоже очень интересный сюжет =)
                                                  +1
                                                  А вам спасибо за статью и желание рассказать о столь интересных вещах.
                                            +1
                                            Думаю, компьютерному сообществу будет интереснее, когда вы до триангуляции 3-х мерных фигур дойдете. Но такими объемами постов это будет не скоро :)
                                              0
                                              Могут и не дойти вообще. Конечно, топология при преобразовании триангуляций важна, но сама топология без триангуляции может обойтись. Хотя можно сразу перейти к атласам многообразий, там эти темы смыкаются.
                                                0
                                                Почему-то эта область мне вспомнилась первая, как имеющая практическое приложение. Ведь на хабре практиков куда больше.
                                                0
                                                Что Вы имеете в виду под трехмерными фигурами? Просто если трехмерные многообразия необязательно с краем, тогда это будет сложнее чем рассказать про триангуляции двухмерным «с внутренностью».
                                                  0
                                                  Это были бы «тетрангуляции». Наверное, штука полезная для какого-нибудь метода конечных элементов для расчётов в ОТО…

                                              Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                              Самое читаемое