Миллион плюс один равно миллион. Теория относительности натурального ряда

    image

    К читателю


    Несмотря на некоторое количество умных слов и фамилий, статья вполне доступна восприятию нематематика. Несмотря на провокационность заголовка, статья не является фрической. Читайте на здоровье.

    Пролог


    Начало двадцатого века было богато на революции — как политические, так и научные. Например, тогда полным ходом шла аксиоматизация математики. Происходила она бурно, драматично. «Наивную теорию множеств» Кантора похоронил парадокс Рассела, ограниченность аксиоматики Цермело-Френкеля показала — уже в тридцатых годах — теорема Гёделя о неполноте.

    В физике революцию произвела специальная теория относительности. Открытие Эйнштейна, основанное на работах Максвелла, Лоренца и других учёных, постулировало некоторые контринтуитивные свойства физической реальности, в частности — лоренцево сложение скоростей. Оказалось, что если бегун Б движется в ту же сторону, что пешеход П, скорость П относительно земли составляет 2 м/с, а скорость Б относительно П составляет 5 м/с, это не означает, что скорость Б относительно земли равняется 7 м/с. Согласно релятивистской физике, скорость Б будет приблизительно 6,9999998 м/с. Небольшое различие для практических задач, но огромное — с точки зрения мировосприятия. Оказалось, что величины, которые раньше складывали, словно яблоки, нельзя сложить подобным образом.

    Нельзя сказать, что в середине или конце двадцатого века революций стало меньше. Скорее они стали обыденны. Ситуация, когда рушатся основания науки, из экстраординарной превратилась в ожидаемую. В основаниях математики с тех пор произошло ещё несколько «микрореволюций» — например, «нестандартный анализ» Робинсона (о котором я надеюсь ещё написать отдельную статью). А некоторые революции назревали, но так и не случились. Об одной из них и пойдёт мой рассказ.

    Как я чуть не стал фриком


    Одна из первых моих мыслей после шапочного знакомства с СТО была такая: а что, если со сложением скоростей — это как раз нормальное, «правильное» сложение, а наше, «обычное» арифметическое сложение — конструкт, не имеющий отношения к реальности? На небольших величинах лоренцево сложение практически неотличимо от обычного. Что, если оно действует и в других областях? Например, если мы нальём в ведро сначала два литра воды, а затем ещё пять, вдруг мы получим не семь литров, а шесть с шестью девятками и одной восьмёркой после запятой? Или иную величину, в зависимости от того, что в данном случае считать «скоростью света».

    Впрочем, объём воды — сложная штука. Он зависит от температуры, подвержен (чисто теоретически, с исчезающе малыми вероятностями, но всё же) случайным флюктуациям, а если перейти в микромасштаб, становится вообще непонятно, как его измерять. Но что, если релятивизм прокрался в святая святых — в сам натуральный ряд? Допустим, вдруг существует такая большая куча яблок, что добавление ещё одного не изменит количество яблок в ней?

    Когда я познакомился (опять же, шапочно) с квантовой физикой, это дало новую почву для моих размышлений. При определёных условиях электрон может оказаться в двух местах одновременно. Быть может, дело не в каком-то непонятном корпускулярно-волновом дуализме, а в том, что единица при некоторых условиях равняется двум?

    Я очень гордился широтой и нестандартностью своей мысли.1

    Записи в блокноте


    Так называется рассказ Хулио Кортасара, написанный в 1980 году, раньше моего рождения и задолго до того, как я обрёл способность рассуждать о свойствах натуральных чисел. Он начинается с того, что в метро Буэнос-Айреса обнаружилось несоответствие числа входящих и выходящих пассажиров: покинувших метро оказалось на 4 меньше, чем вошедших. Был проведён тщательный поиск, но ни пассажиров, ни каких-либо указаний на то, как или куда они исчезли, не было обнаружено. Главному герою это обстоятельство показалось пугающим.
    … меня удерживала на поверхности одна достойная внимания теория Луиса М. Бодиссона. Как-то полушутя я упомянул при нем о том, что рассказал мне Гарсиа Боуса, и как возможное объяснение этого явления он выдвинул теорию некой разновидности атомного распада, могущего произойти в местах большого скопления народа. Никто никогда не считал, сколько людей выходит со стадиона «Ривер-Плейт» в воскресенье после матча, никто не сравнивал эту цифру с количеством купленных билетов. Стадо в пять тысяч буйволов, которое несется по узкому коридору, — кто знает, их выбежало столько же, сколько вбежало? Постоянные касания людей друг о друга на улице Флорида незаметно стирают рукава пальто, тыльную сторону перчаток. А когда 113 987 пассажиров набиваются в переполненные поезда и их трясет и трет друг о друга на каждом повороте или при торможении, это может привести (благодаря процессу исчезновения индивидуального и растворению его во множественном) к потере четырех единиц каждые двадцать часов.
    Не стану пересказывать дальнейшия сюжет рассказа, он выходит за рамки данной статьи. Так или иначе, я получил очередное подтверждение того, что если мне в голову пришла интересная мысль, то я определённо не первый, кому она пришла в голову.

    О догмате натурального ряда


    Буквально прошлой ночью я закончил читать «Апологию математики» В. А. Успенского. Весьма любопытный сборник статей, предназначенный для гуманитариев, однако касающийся также вопросов философии математики, интересных и человеку, отличающему производную от дифференциала. В частности, там был процитирован вышеупомянутый рассказ Кортасара и поднят вопрос о возможности того, что Натуральный ряд (заглавная буква авторская) неизоморфен натуральным числам Пеано. А в самом конце сборника располагалась короткая статья П. К. Рашевского «О догмате натурального ряда», написанная в 1973 году. Интересно, читал ли её Кортасар?

    Рашевский пишет:
    Процесс реального счета физических предметов в достаточно простых случаях доводится до конца, приводит к однозначно определенному итогу (число присутствующих в зале, например). Именно эту ситуацию берет за основу теория натурального ряда и в идеализированном виде распространяет ее «до бесконечности». Грубо говоря, совокупности большие предполагаются в каком-то смысле столь же доступными пересчету, как и малые и со столь же однозначным итогом, хотя бы реально этот пересчет и был неосуществим. В этом смысле наше представление о натуральном ряде похоже на зрительное восприятие панорамы, скажем, панорамы какого-либо исторического сражения. На первом плане на реальной земле расположены реальные предметы: разбитые пушки, расщепленные деревья и т.п.; затем все это незаметно переходит в раскрашенный холст с точным расчетом на обман даже очень внимательного глаза.
    Далее он рассуждает о гипотетический свойствах «математической теории нового типа». Статья очень короткая, и интересующиеся могут прочесть её лично.

    Настоящее


    Предсказания Рашевского (пока) не сбылись. Проблема, в общем-то, не в том, чтобы построить «новый натуральный ряд», проблема в том, чтобы это построение было содержательным, привело к каким-то новым результатам или упростило старые (метафорически выражаясь, «сделало релятивистскую механику классической»). Таких теорий (пока) нет.

    Однако при желании каждый, кто читает эту статью, может лично познакомиться с «неклассическими» натуральными числами. По крайней мере, каждый, кто читает её в десктопном браузере.

    Откройте инструменты разработчика (F12), выберите вкладку «Консоль» и введите туда следующее:

    var n = Number.MAX_SAFE_INTEGER + 1;
    console.log(
        n, 
        Number.isInteger(n),
        n === n + 1
    );
    

    Консоль ответит вам:
    9007199254740992 true true
    — что означает, что число n является натуральным и при этом равняется самому себе плюс единица. Разумеется, только с точки зрения JavaScript. И всё же хотя бы в браузере такая куча яблок существует.

    Примечания


    1 Самоирония
    Поделиться публикацией
    Комментарии 116
      +1
      С интересом выслушал бы товарищей минусаторов, если бы они соблаговолили высказаться словами) с целью, так сказать, улучшения качества обслуживания.
        +2
        Я не минусатор, но вижу тут вот какое дело.

        С одной стороны, можно говорить о состоятельности математики самой по себе. Ну, Nat, Zero и Succ, все дела. И тогда оказывается, что обычное бытовое сложение натуральных чисел (через редукцию по первому слагаемому, например) вполне себе непротиворечиво — вместо JS-консоли откройте стандартную библиотеку любого языка для математиков.

        С другой стороны, можно говорить о применимости этого конструкта математики к описанию реального мира. И это уже совсем другой разговор, уносящий нас куда-то в область философии науки. Но перед тем, как размышлять о применимости натуральных чисел, имеет смысл поразмышлять о куда более шатких основаниях нашего мировоззрения, вроде закона сохранения энергии, да и прочих интегралов, например.
          0
          В целом я согласен, но теоретически есть один нюанс: ошибки в понимании природы натуральных чисел теоретически могли «просочиться» и в логику, и в математический софт. Опять же, на правах научной фантастики.
            0
            В чём прелесть этих языков — тайпчекер там ничего про натуральные числа не знает, для него это просто ещё один индуктивный тип данных. Берёте, пишете (половина файла — свойства-теоремки вроде коммутативности, ассоциативности и всякого такого), проверяете тайпчекером и totality checker'ом и радуетесь жизни.

            То есть, нет, конечно, есть вероятность, что и тайпчекер неправ, причём так, что на всех остальных теоремах это не заметили, а натуральные числа это ломает, но тогда всё тлен.
      • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
          0
          Хорошо, что интересно. Плохо, что непонятно. Буду работать над ошибками =)
          +4
          Открытие Эйнштейна, основанное на работах Максвелла, Лоренца и других учёных, постулировало некоторые контринтуитивные свойства физической реальности, в частности — лоренцево сложение скоростей.

          Лоренцево сложение скоростей, во-первых, было известно ДО Эйнштейна, во-вторых, не постулируется. С точки зрения экспериментальной физики это экспериментально подтвержденный факт, а с точки зрения СТО — следствие из постулатов.


          ограниченность аксиоматики Цермело-Френкеля показала — уже в тридцатых годах — теорема Гёделя о неполноте.

          Теорема Гёделя, во-первых, не имеет никакого специфического отношения собственно к теории множеств. Во-вторых, она её "ограничила" примерно в том же смысле, как "ограничила" всю математику, включающую в себя арифметику — т.е. по сути ничего не случилось, никакие основы в практическом смысле не ниспроверглись :).


          А идея текста в целом непонятна (и даже непонятно, если ли она вообще).

            +2
            Лоренцево сложение скоростей, во-первых, было известно ДО Эйнштейна, во-вторых, не постулируется. С точки зрения экспериментальной физики это экспериментально подтвержденный факт, а с точки зрения СТО — следствие из постулатов.
            СТО — это предположение о том, что физическая реальность соответствует некой математической модели. Поскольку такое предположение не может быть верифицировано, я считаю, что слово «постулировала» уместно.

            Теорема Гёделя, во-перых, не имеет никакого специфического отношения собственно к теории множеств. Во-вторых, она её «похоронила» примерно в том же смысле, как «похоронила» всю математику, включающую в себя арифметику — т.е. по сути ничего не случилось, никакие основы в практическом смысле не ниспроверглись :).
            Теорема Гёделя похоронила мечту о полной формализации математики. ZFC я привёл в качестве примера наиболее успешной аксиоматики.

            А идея текста в целом непонятна (и даже непонятно, если ли она вообще).
            Идея текста в том, что наши представления о натуральных числах «очевидны» только на сравнительно небольшом отрезке натурального ряда. Собственно, пост планировался как упрощённый и сдобренный личными переживаниями пересказ статьи Рашевского.
              0
              СТО — это предположение о том, что физическая реальность соответствует некой математической модели. Поскольку такое предположение не может быть верифицировано, я считаю, что слово «постулировала» уместно.

              Вы не находите, что всё-таки лучше придерживаться общепринятой терминологии, иначе в вещах, о которых вы пишете, будет невозможно разобраться в принципе? "Постулировать" = "Считать истинным без доказательств". Лоренцево сложение скоростей в любом формализме СТО НЕ считается истинным без доказательств, оно выводится. В терминах математики это можно считать теоремой, а не постулатом.


              пост планировался как упрощённый и сдобренный личными переживаниями пересказ статьи Рашевского.

              Я прочитал статью и… не впечатлился. С примерами в виде сосуда с молекулами газа или мешков с зерном это даже более наивно, чем наивная теория множеств. :) Т.е. понятно, что хотел сказать автор, но на таком уровне рассуждений современная математика и физика прекрасно работает ведь.

                0
                Я прочитал статью и… не впечатлился. С примерами в виде сосуда с молекулами газа или мешков с зерном это даже более наивно, чем наивная теория множеств. :) Т.е. понятно, что хотел сказать автор, но на таком уровне рассуждений современная математика и физика прекрасно работает ведь.
                Но это ведь интересно) у человека есть интуитивное представление о натуральных числах, согласно этому представлению создана формальная модель. Но что если представление неверно, и модель нужна другая? То, что физика «прекрасно работает» — не аргумент, возможно, с «более лучшими» числами она бы работала ещё лучше.
                  0

                  Для того, чтобы представление было неверным, нужно найти какие-то примеры, его опровергающие, а годных примеров-то и нет. Другая модель, какой бы она ни была, должна как минимум не противоречить нынешней. Потому что, хотя нам и не нужно знать, сколько там в мешке зерен на самом деле, мы всё-таки можем это узнать, если захотим, тупо их пересчитав. То есть отличающиеся результаты модель должна давать в каких-то совершенно иных сферах (применительно к квантовой механике, например).

                    0
                    То-то и интересно, что буквальным пересчётом текущая модель проверялась для достаточно небольших (в масштабах бесконечности) чисел. А для чисел побольше всё ограничивается верой, что мы можем. Нас может ожидать сюрприз.
                      +1

                      Ок. Слегка увеличим масштабы. Условно говоря, мы можем подсчитать молекулы в ведре воды, но нет никакого реализуемого способа точно подсчитать число молекул в мировом океане (или, если на то пошло, число элементарных частиц в Солнце). И объект "вода в ведре" в принципе может иметь некие свойства, отличные от объекта "океан воды" (и наоборот). Дело за малым — экспериментом, хоть реальным, хоть мысленным. Ну или гениальным математиком, который разработает вроде бы какую-то абстрактную фигню, а через несколько десятков лет на её основе внезапно возникнет прорывная теория, как было с ОТО. :)


                      P.S. В некотором роде это перекликается, например, с идеей о том, что темная материя на больших масштабах представляет собой конденсат Бозе-Эйнштейна, а локально мы этого наблюдать не можем в силу возмущений, вносимых скоплениями барионной материи.

                        0
                        Да! Именно это я и хотел сказать.
                0
                Теорема Гёделя похоронила мечту о полной формализации математики.

                Смотря что вы называете полной формализацией.

                Да, доказать любое утверждение, увы, не получится. Правда, доказывать все доказываемые утверждения и не нужно, почти все из них не очень интересные, и именно эта интересность обеспечивает математиков работой и даёт им повод называть себя представителями творческой профессии. Иначе можно было бы тупо запихнуть всё в какой-нибудь Coq и нагенерировать счётное множество теорем.

                ZFC я привёл в качестве примера наиболее успешной аксиоматики.

                Она, если честно, ну так себе подходит на роль аксиоматики для оснований математики. Всякие там теории типов получше.
                  0
                  Правда, доказывать все доказываемые утверждения и не нужно, почти все из них не очень интересные
                  Ну, теорема Гудстейна вполне себе забавная)

                  Я не помню примеров утверждений, недоказуемых в ZFC, но что-то хорошее там вполне могло заваляться.
                    +2

                    Про хорошее — не знаю, но они все весьма интересны).


                    Доказательство

                    Рассмотрим произвольное счетное множество недоказуемых теорем. Тогда среди них найдется первая неинтересная… Но это же крайне интересно!

                      0
                      Это уже язык добавляется.
                      Как про «наименьшее число, которое нельзя записать меньше, чем двадцатью словами» — в этом описании меньше двадцати слов (как и в описании следующего за ним).
              0
              Как я понял, возможность перехода от n к n+1 даёт принцип потенциальной осуществимости, без него мы не можем оперировать даже самой слабой бесконечностью, поэтому его всегда приходится принимать как аксиому.
                0
                Ну, как вариант, мы можем не оперировать бесконечностью вообще. А может, переход к n+1 будет осуществляться, скажем, вероятностно. Или ещё какая-нибудь неведомая херня будет твориться в прекрасной математике будущего.
                  0
                  Мы не можем не оперировать, иначе действительно придётся ограничить все рассмотрения натуральным числом до которого хватит терпения сделать все проверки.
                    0
                    Я думаю, теоретически человечество вполне способно обойтись конечным набором чисел)
                      0

                      … которого "достаточно для всех". Де жа вю.

                +2
                Я вот тоже не вкурил в смысл статьи. Всё, что я понял, это то, что на достаточно больших числах прибавление 1 не меняет суммы. Но это настолько контринтуитивно и ситуационно.
                Ведь в абстрактном счёте такое попросту невозможно и в счётных множествах не работает.
                Ладно ещё при оперирование числами Грэма или когда речь идёт про субсветовые скорости. Но когда считают яблоки в моём саду и пытаются украсть одно — ни за что!
                  0
                  Даже если у тебя счётное множество яблок?)
                    0
                    Может я не так понимаю слово «счётное», но его же подсчитали?
                    Да, можно придумать кучу факторов, меняющие характеристики подсчитываемого, но на то они и факторы — это просто дополнительные коэффициенты в формуле сложения.
                    Так можно дойти до мысли, что и 1=30, когда из одного яблока вырастает дерево и начинает плодоносить.
                      0
                      Я имел в виду что-то в этом роде.
                        +2
                        Листал список статей, наткнулся на это: , и подумал: «А на каком комментарии их количество не изменится?».
                        Вот строчил кто-нибудь миллионный комментарий, целую простыню накатал, а карма -100 или ниже, и пишет раз в неделю. А тут бац вторая смена — и нет его комментария. Ну потому что +1 уже не работает.
                    0
                    Вообще, в каком-то строгом, конструктивном смысле смысла (прошу прощения за тавтологию) у статьи и нет. Это скорее предложение задуматься.
                      0
                      на достаточно больших числах прибавление 1 не меняет суммы

                      Меняет же. Просто техника не всегда правильно считает, у неё есть ясные ограничения.

                        0
                        Причём здесь ограничения ясные как никогда: Number.MAX_SAFE_INTEGER.
                      0
                      может лично познакомиться с «неклассическими» натуральными числами.

                      Так ведь в компьютерной технике нет натуральных, вещественных и прочих типов чисел. Есть приближение с какой-то точностью, ограниченной размером машинного слова или размером оперативной памяти.

                        0
                        Если объяснить шутку, она перестаёт быть смешной.
                          0
                          Если объяснить шутку, она перестаёт быть смешной.


                          Зато сам процесс объяснения шутки может оказаться смешнее, чем шутка.
                        0

                        Погрешности операций с натуральными числами в js объясняются тем, что натуральных чисел там нет. Все числа работают как float в других языках, а этот тип просто компромисс между занимаемой памятью и точностью расчетов.
                        Делать революцию в математике на костылях js — сомнительная идея.


                        Вообще идея "миллион плюс 1 равно миллион" — любопытная. Но не понятно какая величина будет считаться "достаточно большой", чтобы прибавление единицы работало иначе. А если мы миллион к миллиону прибавлять будем?
                        В СТО есть скорость света, относительно которой ведутся все расчеты.

                          0
                          Все числа работают как float в других языках
                          Неправда ваша, в JS тип Number — это странный кентавр, до определённого момента работающий как int, а затем превращающийся во float.

                          Но не понятно какая величина будет считаться «достаточно большой», чтобы прибавление единицы работало иначе.
                          Ну, собственно, Рашевский писал: «Не следует ожидать, что наша гипотетическая теория, если ей когда-нибудь суждено появиться на свет, будет единственной; наоборот, она должна будет зависеть от каких то „параметров“ (по своей роли отдаленно напоминающих радиус пространства Лобачевского, когда мы отказываемся от евклидовой геометрии в пользу геометрии неевклидовой). Можно ожидать, что в предельном случае гипотетическая теория должна будет совпадать с существующей.»
                            +1

                            По спецификации Number — это обычный double. То, что виртуальные машины стараются работать со значением, как с int32, пока не будет доказано обратное — это одна из оптимизаций, которая не должна приниматься в расчет, т.к. наблюдаемых последствий, кроме как в производительности, не имеет.

                              0
                              Действительно. Вы правы, я неправ.
                          0
                          Сходите на мехмат. Там вам отрихтуют неокортекс фундоментально брутальным рашпилем и всё встанет на свои места.
                            0
                            Что заставляет вас полагать, что я не был на мехмате?
                              0
                              Каюсь, не посмотрел кто автор статьи.
                            0
                            а в том, что единица при некоторых условиях равняется двум?


                            Прежде чем выяснять равняется ли число Один числу Два и при каких условиях, надо эти числа определить. Согласно их стандартному определению и аксиоматике натуральных чисел эти числа не равны «всегда».
                              0
                              А согласно нестандартному определению и аксиоматике могут быть иногда равны. Я вам могу прямо сейчас на коленке соорудит что-нибудь такое на базе теории нечётких множеств. Другой вопрос — на кой это надо.
                                0

                                А что вы в конечном итоге хотите нам всем доказать? Я после ознакомления с вашей статьей так и не смог извлечь какой-либо вменяемый тезис.

                                  0
                                  Давайте так: я хотел сказать то же самое, что товарищ Рашевский, только своими словами. Я попытался выразить свою мысль в статье, затем несколько раз в комментах. Если этого недостаточно для преодоления коммуникативного барьера, то я лучше просто признаю свою неудачу, потому что большую часть доступных мне словесных выражений этой мысли я уже перебрал.
                                  0
                                  А согласно нестандартному определению и аксиоматике могут быть иногда равны.

                                  Так это не противоречит моему предложению: определяйте объекты Один и Два как хотите, только сначала дайте определение, а затем уже ставьте вопрос о равенстве объектов. Единственно надо учесть, что у человечества эти слова «Один», «Два» уже зарезервированы для своих бытовых нужд.
                                    0
                                    Так это не противоречит моему предложению: определяйте объекты Один и Два как хотите, только сначала дайте определение, а затем уже ставьте вопрос о равенстве объектов.
                                    Так я и не ставил вопрос о равенстве объектов. Я ставил вопрос об альтернативных определениях.
                                    Единственно надо учесть, что у человечества эти слова «Один», «Два» уже зарезервированы для своих бытовых нужд.
                                    А человеческое «Один» и единица Пеано — это одно и то же?
                                0
                                А человеческое «Один» и единица Пеано — это одно и то же?

                                Так можно и на ругань скатиться: единица это такая цифра «1». А по поводу альтернативных определений, то в математике все просто: суть объекта не меняется от альтернативного определения. Бывает, правда, отождествляют объекты разной природы, если между ними можно установить изоморфизм, но это другая история.
                                  0
                                  Расскажите, в каких отношениях между собой находятся единичный вектор в евклидовом пространстве, единичный вектор в пространстве Минковского и вектор скорости неиллюзорного пешехода, неспешно бредущего по бульвару со скоростью один метр в секунду.
                                    0
                                    Это я к тому, что у одного и того же явления реального (точнее, воспринимаемого человеком) мира может быть несколько неизоморфных математических моделей.
                                      0
                                      А разве не получится транзитивности через реальный мир?
                                        0
                                        Не получится. Отношение «модель-явление» не является отношением эквивалентности.
                                          0
                                          Явление является моделью самого себя. Если модель ведет себя как явление, то явление ведет себя как модель. Так что диагональность и коммутативность вроде бы есть. Остался вопрос с транзитивностью. Которая, опять же, получается через явление.
                                            0
                                            Неа, транзитивности не будет. Модель повторяет лишь некоторые признаки явления. Может получиться так, что одна модель повторяет одни признаки, а другая — другие, и между двумя моделями нет ничего общего.

                                            Вообще, я написал не то, что подумал. Отношение «модель-явление» не является отношением изоморфизма. Поэтому даже если бы оно было транзитивно, из этого не следовал бы изоморфизм двух моделей.
                                              0
                                              Это я перепута, прочитал то что хотел.
                                              Тем не менее, развивая мысль.
                                              Если модель отражает не все признаки явления, то она ему не эквивалентна, а значит вопрос о транзитивности просто не стоит. Однако можно сделать факторизацию через проекцию на отражаемые признаки.
                                              С изоморфизмом сначала стоит определить, что мы будем им считать, и только после этого мы сможем понять есть он или его нет.
                                          0
                                          Нет. У теории Пеано есть две неизофморфные модели натуральных чисел, хотя обе модели живут в «реальном мире».
                                            0
                                            Давайте определимся что мы будем считат изоморфизмом моделей Пеано. А потом, если можно, ссылку на литературу или непосредственно пример.
                                              0
                                              Модель 1: «единица» — это $\emptyset$, взятие следующего элемента — это $x \to \{x\}$.
                                              Модель 2: «единица» — это $\emptyset$, взятие следующего элемента — это $x \to P(x)$. ($P(x)$ — «множество всех подмножеств $x$»).

                                              Модели неизоморфны, т.к. отношение порядка на этих моделях натуральных чисел выражается разными отношениями в терминах теории множеств ($\subset$ и $\in$, соответственно)
                                                +1
                                                А для изоморфизма и не обязательно, чтобы отношение было одно и то же (это только для автоморфизмов имеет какой-то смысл), важно, чтобы была биекция, сохраняющая это отношение.
                                                  0
                                                  Окей, согласен, поторопился.

                                                  Тогда другой пример, что-то такое проворачивали курсе на втором — к аксиомам Пеано добавим для каждого $n$ утверждения, что некий постоянный элемент $Z$ строго больше $n$. Конечные модели конечных подмножеств объединения этих семейств аксиом есть, значит (лемма Мальцева), и для всего объединения модель есть, а в ней $Z$ де-факто превратится в $+\infty$, которой нет в стандартной модели натуральных чисел.
                                                    +1
                                                    Так и аксиоматика уже не Пеано, а Пеано+.
                                                    Классически приводятся аксиомы групп, так как существуют неизоморфные группы. Но кмк аксиоматика это не совсем то, что подразумеваяется под термином явление, для моделей которого мы обсуждаем изоморфизм или отсутсвие такового.
                                      0
                                      По поводу чисел — есть такая забавная конструкция:
                                      Рассмотрим запись числа на русском языке, тогда например «два» и «три» имеет по 3 буквы, «пять» — 4 и так далее, «сто» — 3. Видно, что максимальное числа, которое можно записать тремя буквами — 100. Теперь построим конструкцию «Число на единицу большее максимального числа записываемого восмьюдесятью восьми буквами» и приходим к забавному результату.
                                        0
                                        Была конструкция проще. «Наименьшее натуральное число, которое нельзя описать девятью словами».
                                        +1

                                        В php 5.3 как-то столкнулся с похожей проблемой: при сравнении достаточно длинных чисел php их немного округляет, точнее приводит к типу float с потерей точности. На практике получилось, что два баркода (числа условные, может быть надо взять последовательности длинее или короче, чтобы эффект пpоявился, не помню уже) "12345678901234" и "12345678901257" равны, если сравнивать их через "==".
                                        Проблема усугублялась ещё и тем, что проявлялась только если два подобных баркода были в одной партии и только на древней версии php 5.3, а на большинстве машин включая девелоперские и тестовые php был значительно новей.
                                        Долго не могли понять, почему на тысячу посылок терялись 2-3. Сперва грешили на сканер баркодов и рукожо некорректный ввод данных пользователями.
                                        Но ошибка, как это обычно бывает, сидела перед экраном монитора.

                                          0

                                          И да, сейчас проверил ваш код в Safari, true не получается в n === n+1. У вас какой-то старинный браузер?

                                            0
                                            Firefox 52, свежий хром, полёт нормальный. Любопытно.
                                              +1
                                              Нет, всё верно, я наврал, виноват. Сотрите мой предыдущий комментарий, пожалуйста.
                                          0
                                          Если мне не изменяет память, то, с учетом аксиом поля, порядка, дедекинда и архимеда, действительные числа единственные, до изоморфизма. Чтобы сделать что-то новое, нужно от каких-то аксиом отказаться.
                                            0
                                            Это как раз было бы не ново. Те же гиперреальные числа без аксиомы Архимеда. А я пишу о возможности чем-то заменить традиционные, «пеановские» натуральные числа. Возможно, не просто путём отказа от каких-то отдельных аксиом (ординальные числа ещё Кантор придумал), а заменив их принципиально новыми объектами.
                                            0

                                            Автор начинает с теории относительности и почему-то пытается применить схожие идеи к натуральным числам, а потом снова провести аналогии с материальным миром. Разберёмся поэтапно.


                                            1. По поводу переноса идеи СТО о «конечной бесконечности» на натуральные числа. Дело в том, что в СТО числа-то как раз и не натуральные. Да, там c (+) 1 = c (я намеренно использовал обозначение (+) чтобы была заметна разница между ним и обычным сложением). Но, с другой стороны, и 1 (+) 1 не будет равно 2. Просто операция (+) зависит от масштаба и и для малых величин разница незаметна. Поэтому напрямую эту идею перенести не получится.


                                            2. С другой стороны, подход, предложенный автором, всё же возможно реализовать на практике. И более того, он даже активно используется. Речь о арифметике с насыщением. Если в ходе арифметических операций значение превышает заданный максимум, то оно равно максимуму. Это очень полезное свойство в компьютерной графике. Например, когда складываются дискретизированные и оцифрованные (как правило, натуральные) яркости двух пикселей, то сумма не может превышать максимальную яркость, которую способно выдать устройство.


                                            3. Вообще, есть всем этим занимается абстрактная алгебра (которая не про уравнения в школе, а про кольца/группы/идеалы/и т. д.). Вот уж тут можно найти операции на любой вкус. Включая и эту. И заодно свойства изучить. Как я понял, автор учился на мехмате, так что эта наука ему знакома. Тем более странно, что он написал эту статью. Но не отрицаю, что я мог просто не понять смысл, который он хотел передать.


                                            4. А вот переносом алгебраических идей обратно на реальный мир всё сложно. Математика — это модели. И связь мира моделей с реальным миром не всегда биективная. (Неоплатонисты тут возразят. :)) Возможно, что для какой-то модели просто неизвестна задача, где она была бы к месту. В таком случае говорят о симулякре. Да и это довольно странно, искать прообраз для модели. Чистым математикам прообразы не нужны, им интересны сами модели. А прикладным — интересны задачи, и по ним они ищут модель, а не наоборот.

                                            Поиск прообраза для модели может, впрочем, быть элементом научного поиска. Когда тыкаешь в разные стороны, авось что-то и найдёшь. Но, увы, автор ничего значимого не нашёл, да и суть проблемы не особо и вскрыл. Потом и плюсиков мало. Не то, чтобы мне статья не понравилась. Просто неясно, для чего она, что пытается донести.

                                              +1
                                              Вы написали чудесный развёрнутый комментарий, спасибо. Я в ответ попробую ещё раз пояснить свою мысль. Странно, что у меня не получается толком её выразить, обычно популярные статьи про математику мне удаются хорошо.

                                              Арифметика натуральных чисел, смею предположить, возникла опытным путём. Древние люди считали камешки, зарубки, овец. Эмпирически выведенные свойства сложения и умножения были затем перенесены на конструкцию идеального мира — натуральные числа. От них есть пошла вся остальная арифметика.

                                              Я предполагаю (на правах научной фантастики, хотя кто знает), что из-за недостаточности экспериментального материала (никто ещё не пробовал пересчитывать стада, скажем, из гугола овец) у людей могло сложиться превратное впечатление относительно свойств количества, и та же ошибка закралась в натуральные числа. Может случиться так, что макроколичества ведут себя иначе, чем микроколичества, и для описания их поведения нужны иные числа и иная арифметика.
                                                0
                                                Существование такого эффекта для реальных предметов предполагает нарушение закона сохранения энергии.
                                                  0
                                                  Я думаю, нарушение аксиоматики натуральных чисел само по себе более святотатственно, чем нарушение закона сохранения энергии, так что ничего страшного)
                                                  0

                                                  Наука, связанная с реальным миром, опирается на веру. Мы верим, что закон всемирного тяготения работает, так как доказать, что он работает всегда методологически невозможно. Может, вы и правы. Может, даже и для малых количеств. Но ваша теория сложна и ломает все остальные теории, многократно подтверждаемые наблюдениями. А существующая проста и работает.


                                                  Гугол овец — это, кстати, тоже абстракция. Они сколлапсируют. Даже если вы столько найдете. Да и что такое овца? Где она начинается и где заканчивается? И что значит «считать»?


                                                  И вообще, это не математика, а философия. Лучше о математике поговорим. :) В теории множеств вот есть тоже куча интересного и контринтуитивного. Или в теории меры.

                                                0
                                                Может быть вы мне скажите почему все дофига умные математики так лихо сравнивают ряды который имеют разную топологию и скорость? Например работы Рамануджана. И почему никто не думает что бесконечности разные бывают и бесконечность + 1 больше чем бесконечность (таже что прибавляется к 1). Это же очевидно!
                                                  0
                                                  И почему никто не думает что бесконечности разные бывают и бесконечность + 1 больше чем бесконечность (таже что прибавляется к 1). Это же очевидно!
                                                  Ну почему же никто? В нестандартном анализе всё так и работает.

                                                  По поводу топологии и скорости рядов я вам сказать ничего не могу, поскольку мне неведомо значение этих слов в контексте рядов.
                                                    0
                                                    Топология это я имел в виду что есть ряд 1 + 2 + 3 + 4 + 5 и 1 + 4 + 3 + 8 + 6 они имеют разную топологию. А вот 1 + 2 + 3 + 4 и 1 + 4 + 8 + 16 имеют примерно одинаковую. Ну или например знакопеременные ряды и расходящиеся. Незнаю как это назвать точно, терминами не очень владею.
                                                    Скорость: 1 + 2 + 3 + 4 и 1 + 4 + 8 + 16 имеют разную скорость возрастания. Поэтому бесконечность первого ряда будет меньше бесконечности второго. Вот 0 он и в африке 0, а бесконечности разные.

                                                    Считаю, что делать известные махинации как при пояснении, что 1 + 2 + 3… = — 1/12 не стоит. Хотя кто знает, может в будущем что-то откроем физическое, где это всплывет и окажется правдой.
                                                      0
                                                      Удивительно, но бесконечно-большие и бесконечно малые связаны через 1/х.
                                                      И стоит определить что значит в ваших терминах бесконечность, бесконечность плюс 1 и больше.
                                                        0

                                                        Бесконечности действительно бывают разные. Погуглите кардинальные числа. Но в вашем примере бесконечности у сумм рядов одинаковы.


                                                        Можно представить, что 1+2+3+… — это мощность объединения множеств из одного, двух и так далее элементов. Для такого множества легко ввести сквозную нумерацию, то есть каждому элементу сопоставить натуральное число. То есть получившаяся бесконечность равна количеству натуральных чисел. Аналогично, для второго ряда получаем, что его сумма тоже равна количеству натуральных чисел. Ну, отсюда делаем вывод, что они равны.


                                                        Кстати, та же в математике доказывается, что чётных чисел столько же, сколько и натуральных (как чётных, так и нечётных). А вот действительных чисел больше.


                                                        Можно, конечно, придумать какую-то другую процедуру сравнения. Но тогда это уже будет либо противоречивая система, либо что-то контринтуитивное, далёкое от обычной арифметики. Изучать такие далёкие вещи, конечно, тоже интересно. И алгебра как раз этим и занимается, но переносить выводы обратно на арифметику было бы некорректно.

                                                          0
                                                          Но в вашем примере бесконечности у сумм рядов одинаковы

                                                          Повторюсь, если рассматривать всё над полем гиперреальных чисел то у рядов окажутся разные суммы. Правда, тогда немного непонятно, что считать бесконечностью.
                                                            0

                                                            Про гипервещественные было в другой ветке, я и решил, что речь о натуральных. Хотя строго говоря, бесконечности как элемента среди них тоже нет. И нельзя говорить, что сумма равна бесконечности. Просто сумма неограниченно растёт.

                                                              0
                                                              Как это нельзя? А для чего они тогда придуманы вообще? Сумма перечисленных рядов окажется конкретными гиперреальными числами, несоизмеримо большими по сравнению с единицей. Можно считать их различными бесконечностями.
                                                                0

                                                                Я со второго предложения о натуральных числах писал. Просто двусмысленная формулировка получилась.

                                                          +1
                                                          Считаю, что делать известные махинации как при пояснении, что 1 + 2 + 3… = — 1/12 не стоит. Хотя кто знает, может в будущем что-то откроем физическое, где это всплывет и окажется правдой.

                                                          Вообще-то уже открылось, читай Сумма всех натуральных чисел: 1 + 2 + 3 + 4 +…:


                                                          Интересно, что этот результат находит своё применение в физике. Например, в теории струн. Обратимся к стр. 22 книги Joseph Polchinski «String Theory»:

                                                          .

                                                      0

                                                      Натуральный ряд и был задуман для того чтобы складывать палки, камушки и овец). В чем смысл дискуссии?


                                                      Имеем комнату с двумя дверьми. В одну дверь выпускаем очередь из 50 человек (каждый из которых живет по 100 лет), а через другую выпускаем. Сколько людей выйдет из другой двери? 50 и выйдет. А если за единицу времени взять 100 лет, то выйдет 0 человек?

                                                        +1

                                                        Насколько я понял автора, мысль такая.
                                                        200 лет назад люди думали, что 2 м/с + 3м/с = 5м/с. А потом выяснили, что все же нет.
                                                        Почему такого же эффекта не может возникнуть с количествами чего-то в реальной жизни?
                                                        Ведь вы же не проверяли, что если сложить 2 кучи по 1e9 камней, то получится 2e9, не так ли?

                                                        0

                                                        Эту мысль можно развить дальше.
                                                        Допустим есть некая динамическая система "рой". В/из него постоянно добавляются/извлекаются элементы. Стоит задача подсчета количества элементов в системе. Мы ограничены тем, что на подсчет элементов тратится время, меньшее чем время жизни элемента в системе. Т.е. пока будем считать, количество элементов в системе изменится.
                                                        Предположим, что время между добавлениями и извлечениями элементов у нас непостоянное и подчиняется нормальному закону распределения.


                                                        Когда (реальное количество элементов) * (время подсчета) будет больше, чем ожидаемое время жизни элемента, предложенная арифметика подойдет лучше, чем привычная.

                                                        0
                                                        Оказалось, что если бегун Б движется в ту же сторону, что пешеход П, скорость П относительно земли составляет 2 м/с, а скорость Б относительно П составляет 5 м/с, это не означает, что скорость Б относительно земли равняется 7 м/с. Согласно релятивистской физике, скорость Б будет приблизительно 6,9999998 м/с.

                                                        Ага, я кажется понял, где ошибка.

                                                        Если измерять скорость в метрах в секунду, то число будет 6.999. А если в миллиметрах в секунду, то 6999. А если скорость света взять за 1, то вообще больше единицы чисел не будет.

                                                        Вывод — этот эффект не связан с числами и их сложением. Это свойства физического явления, которое ими измеряется. В зависимости от масштаба единицы измерения поправка к сложению 1+1 будет разная.
                                                          0
                                                          А почему ошибка? Само по себе появление в формулах масштаба ничего крамольного не значит, в геометрии Лобачевского тоже появляется некая постоянная кривизны, и системы отрезков с одинаковыми пропорциями уже не имеют одинаковых свойств.
                                                            0
                                                            Потому что вы говорите о сложении безразмерных чисел, о свойстве натурального ряда. Если мы складываем A и B и получаем C = (A+B)*k | k < 1, и это было бы свойством самой последовательности чисел, то такое же C должно получаться всегда для тех же самых A и B, независимо от того, обозначают ли они яблоки или метры в секунду. А если k зависит от единиц измерения, то это уже не свойство натурального ряда.
                                                              0
                                                              Ну, я могу придумать много бредовых объяснений. Например, натуральных рядов много, и каждому классу объектов соответствует свой, со своими законами (точнее, со своим значением некоего параметра, от которого зависят эти законы).

                                                              А вообще, если мы осмеливаемся предполагать, что неверно нечно фундаментальное для математики, нужно очень внимательно отследить всё, что на этом фундаменте стоит, и во всём этом последовательно усомниться. Как в реактивном программировании: изменилось значение атома — изменились значения всех других атомов, использующих его для вычисления своего.
                                                                +1
                                                                Это мало что меняет. Все равно есть зависимость от внешних параметров. Опять же, непонятно, какой ряд выбрать для счета конкретных предметов. Можно выбирать по умолчанию ряд с k=1, как наиболее подтвержденный по опыту, тогда приходим к текущей ситуации.

                                                                Кстати, я вот тут тоже размышлял по поводу того, как устроен счет.
                                                          +1
                                                          Например, если мы нальём в ведро сначала два литра воды, а затем ещё пять, вдруг мы получим не семь литров, а шесть с шестью девятками и одной восьмёркой после запятой? Или иную величину, в зависимости от того, что в данном случае считать «скоростью света».

                                                          Математически это можно описать, например, при помощи следующей формулы:
                                                          logplus[x_,y_,k_] :=  Log[E^x+E^y+k] - Log[E^-x+E^-y+k] 

                                                          Коэффициент k здесь определяет «скорость затухания». При k=0 получим просто сложение:
                                                          logplus[2,5,0] = 7

                                                          А при k близким к 0, результат до 7 уже не дотягивает:
                                                          logplus[2,5,0.0000001] = 6.999999296779720960632


                                                            0

                                                            Хотите построить другую внутренне непротиворечивую арифметику (теорию чисел)? Ну попробуйте. Только это не отменит классическую, как геометрия Лобачевского не отменяет Евклидову геометрию.

                                                              0
                                                              Хотите построить другую внутренне непротиворечивую арифметику (теорию чисел)?
                                                              Скорее лениво размышляю о её возможности.
                                                              Только это не отменит классическую, как геометрия Лобачевского не отменяет Евклидову геометрию.
                                                              Точно так же СТО не отменила ньютоновскую механику. Однако всё же есть право говорить, что СТО «более верна».
                                                                0

                                                                Про СТО можно говорить, что она "более верна", чем ньютоновская механика, как модель наблюдаемого мира. Но математика в отличие от физики сама по себе моделью реального мира не является. Математика — это только абстрактное логическое построение. Если две математические теории внутренне непротиворечивы, то никак нельзя сказать, что одна из них "более верна", чем другая. Геометрия Римана не "более верна", чем Евклида, она просто другая.

                                                                  0
                                                                  Разумеется, говорить в контексте наиболее правильного отражения реального мира. Геометрия Минковского «более верна», чем геометрия Евклида, а геометрия Евклида «значительно более верна», чем геометрия, порождаемая метрикой Хэмминга. Все они внутренне непротиворечивы, различается лишь то, насколько они отражают свойства реальности.

                                                                  Соответственно, натуральные числа отражают свойства таких вещей, как количество и счёт. Если бы вдруг экспериментальным путём выяснилось, что два яблока и ещё два яблока будет три яблока, это означало бы, что натуральные числа со своей задачей справляются плохо.
                                                                    0

                                                                    Наиболее правильное отражение реального мира — это не про математику, это про физику. В реальном мире нет наблюдаемых бесконечностей.

                                                                      0
                                                                      А сингулярности в реальном мире есть?
                                                                        0

                                                                        Никто сингулярности не видел. И появление бесконечности в некоторой точке пространства в математической модели реального мира говорит о том, что в этой конкретной точке пространства (и вероятно в некоторой ее окрестности) данная модель неприменима.

                                                                          0
                                                                          Тогда в чём разница между математикой и физикой? Я запутался.
                                                                            0

                                                                            Физика — это про экспериментальную проверку степени соответствия поведения реального мира его математической модели.

                                                                              0

                                                                              Грубо говоря, математика изучает идеальные объекты, а физика — реальные. Но обе «подсматривают» друг к другу. :)

                                                                            0

                                                                            Они появляются как минимум в ПО, написанном криворукими программистами, которые например не могут правильно сложить 2 числа.

                                                                  0
                                                                  Хочу поддержать автора, и сказать, что хотя мне и не очень нравится и звучит как закапывание в детали, но статью понял (особенно после всех комментариев) и круто, что такие размышления существуют!

                                                                  Наверное, несмотря на контринтуитивность, нельзя просто взять и отмахнуться от этих идей утверждением типа «это противоречит самым первым аксиомам», потому что эти аксиомы вообще-то тоже кто-то когда-то придумал. Если будем критично относится ко всему, что не звучит как правда, то мы никогда не откроем ничего нового и рискуем оказаться в позиции тех глупцов, которые 500 лет назад верили в то, что Земля плоская, и над которыми сейчас с таким удовольствием смеемся.
                                                                    0

                                                                    Другие наборы аксиом очень даже изучаются математиками. Какие только аксиомы алгебраисты не рассматривают. Тут дело в том, что существующая арифметика просто прекрасно работает в реальном мире (в границах своей применимости, разумеется).


                                                                    Можно, конечно, сказать, что, дескать, Эйнштейн задумался о сложении скоростей, провёл мысленные эксперименты и создал СТО, которая, как оказалось, работает. Но тут важно заметить, что это были не праздные размышления. Была проблема — постоянство скорости света. Это было экспериментально обнаружено и не укладывалось в рамки существующих моделей. И Эйнштейн предложил решение. А с арифметикой вроде всё ОК.

                                                                      0

                                                                      Тут я кое-что напомню.


                                                                      Эмпирические понятия, на которых основывается установление пространственных метрических отношений,— понятия твёрдого тела и светового луча, по-видимому, теряют всякую определённость в бесконечно малом. Поэтому вполне мыслимо, что метрические отношения пространства в бесконечно малом не отвечают геометрическим допущениям; мы действительно должны были бы принять это положение, если бы с его помощью более просто были объяснены наблюдаемые явления.

                                                                      Праздные размышления из середины 19 века. 50-60 лет до СТО, квантовой механики и ОТО. Лоренц и родители Эйнштейна либо еще не родились, либо младенцы.

                                                                        0

                                                                        Эти размышления слишком общие и не позволяют создать СТО, так из них можно вывести очень много такого, что в реальном мире отсутствует, не только СТО. Грубо говоря, до опытов Майкельсона проблема, которую решает СТО, не особо-то известна была. А как решать проблему, которую не знаешь? Я об этом хотел сказать.

                                                                          +1

                                                                          Вот парадокс в том, что такие размышления позволили создать их автору матаппарат для ОТО. За десятки лет до, без всяких на то видимых причин. Мне показалось занятным, что исходный текст по сути очень близок к римановским рассуждениям. С той разницей, что Риман при этом был конструктивен и не просто размышлял, но еще воплотил эти размышления в математические построения.

                                                                      0
                                                                      тех глупцов, которые 500 лет назад верили в то, что Земля плоская

                                                                      500 лет назад образованные люди вполне себе знали, что Земля шарообразная. А товарищи, которые не знают об этом, есть и в наше время.

                                                                        0

                                                                        Эти суммы могут быть равны чему угодно в зависимости от того, как мы договоримся считать бесконечные суммы. В этом и фишка математики. Мы заранее говорим, что считаем аксиомами и даём базовые определения, а потом пользуемся. Какие-то наборы проще и, как мы считаем, ближе к нашим интуитивным представлениям о мире, какие-то дальше. Обычно, когда в дело вступают бесконечности, интуиция начинает подводить и возникают вопросы, а какая система лучше.

                                                                          0
                                                                          Ну да, и тот факт, что эти суммы ряды можно вполне естественно приравнять некоторым значениям, весьма контринтуитивным, как раз, как мне показалось, и есть подходящая иллюстрация к мытарствам автора.
                                                                            0

                                                                            Если представить в виде графика, то не такие уж и контринтуитивные значения: Why does 1+2+3+⋯=−1/12?:


                                                                            Why does 1+2+3+⋯=−1/12?.

                                                                        0
                                                                        Любопытно, спасибо.
                                                                        Всегда не просто понять мысль, которая выходит за привычные рамки.
                                                                        Но в переосмыслении казалось бы очевидных и устоявшихся понятий и состоит прогресс.

                                                                        Рашевский пишет:
                                                                        «Наша гипотетическая реформа числового ряда должна, конечно, сопровождаться соответствующей реформой и числовой прямой… И эта ''реформированная» числовая прямая должна отличаться от обычной тоже некоторой размытостью своих элементов..."

                                                                        По-моему, это близко к понятию нелокальности. Во всяком случае, «размытая (нелокальная)» прямая — это вполне себе существующий и понятный геометрический объект, который можно «пощупать руками».

                                                                        Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                                                        Самое читаемое