Введение в комлексные числа

    Привет!

    Выяснив, что многие знакомые программисты не помнят комплексные числа или помнят их очень плохо, я решил сделать небольшую шпаргалку по формулам.

    image

    А школьники могут что-то новое узнать ;)
    // Всех кого заинтересовал прошу под кат.

    Итак, комплексные числа эта такие числа, которые можно записать как

    $x+iy$


    Где x, y вещественные числа(т.е привычные всем числа), а i — число, для которого
    выполняется равенство

    $i^2=-1$


    Кстати, -i в квадрате тоже дает -1.
    Так что утверждение, что если дискрименант отрицательный, то корней нет это вранье.
    А точнее оно выполняется на множестве вещественных чисел.

    image

    Т.е можем записать:

    $z=x+yi$


    x называется действительной частью, y — мнимой.

    Это алгебраическая форма записи комплексного числа.

    Существует также тригонометрическая форма записи комплексного числа z:

    $z=r(cos ϕ + i sin ϕ)$


    С введением, пожалуй, все.

    Переходим к самому интересному — операциям над комплексными числами!
    Для начала рассмотрим сложение.

    У нас есть два таких комплексных числа:

    $z1=1+2i, z2=3+5i$


    Как же их сложить?
    Очень просто: сложить действительную и мнимую части.
    Получим число:

    $z3=4+7i$


    Все просто, не так ли?
    Вычитание выполняется аналогично сложению.
    Нужно просто вычесть из действительной части 1 числа действительную часть 2 числа,
    а потом проделать тоже с мнимой частью.
    Получим число

    $z3=-2-3i$


    Умножение выполняется вот так:

    $z3.x=z1.x*z2.x-z1.y*z2.y$


    $z3.y=z1.x*z2.y+z1.y*z2.x$


    Напомню, x это действительная часть, y — мнимая.
    Деление выполняется вот так:

    $z3.x=(z1.x * z2.x + z1.y * z2.y) / (z2.x * z2.x + z2.y * z2.y)$


    $z3.y=(z1.y * z2.x - z1x * z2.y) / (z2.x * z2.x + z2.y * z2.y)$


    Кстати, поддержка комплексных чисел есть в стандартной библиотеке Python:
    z1=1+2j
    z2=3+5j
    z3=z1+z2
    print(z3) #4+7i
    

    Вместо i используется j.
    Кстати, это потому что Python принял конвенцию инженеров-электриков, у которых
    буква i обозначает электрический ток.
    Задавайте свой вопросы, если они есть, в комментариях.
    Надеюсь, вы узнали для себя что-то новое.

    UPD: В комментариях просили рассказать о практическом применении.
    Так вот комплексные числа нашли широкое практическое применение в авиации
    (подъемная сила крыла) и в электричестве.
    Как видете, очень нужная вещь ;)
    Поделиться публикацией

    Похожие публикации

    Комментарии 108
      0
      Надеюсь, статья понравилась :-)
      Это моя первая статья на Хабре, поэтому не судите строго)
      Если да, то обязательно напишу продолжение в котором расскажу про синус, косинус
      и реализацию класса для C++.
        +6
        сложение и умножение слишком тривиальны, гораздо интереснее возведение в степень (ну и нельзя не упомянуть тождество Эйлера)
          +4
          гораздо интереснее возведение в степень


          если быть точнее, то — извлечение корней
            0
            Выпустил 2 часть, там есть про корни.
            У меня в публикациях посмотрите.
            +1
            Об этом я хочу написать в следущей статье)
            Хотел в этой, но подумал, что слишком длинной выйдет тогда.
            Есть еще идея рассказать про синус и косинус.
              0
              про синус и консинус — просто про тригономестрические функции? или подробнее про полярную форму комплексных чисел?
                0

                Планировал только про тригонометрию

                  0
                  вот такое буду ждать, комплексные числа я почему-то сразу же понял когда в техникуме учился.
                  а тригонометрия для меня всегда загадкой была только зазубренными формулами и выкручивался.
                  поэтому про тригонометрию было бы очень нужно как минимум мне одному и желательно ещё и с примерами практического применения.
                    0
                    У меня в публикациях есть 2 часть)
                    Там синус и косинус.
            +4
            Статья оформлена очень примитивна. Не, не плохо. Но подкачай уровень. Не хватает примера и объяснение что это такое.
            Итак, комплексные числа эта такие числа, которые можно записать как
            — не покатит. Тоже самое, что и написать
            рекурсивная функция, это функция, которую можно записать вот так
            .
            Проработай более подробно эти аспекты.
            z3.y=(z1.y * z2.x — z1x * z2.y) / (z2.x * z2.x + z2.y * z2.y)
            — вынеси к другим формулам, ты видимо забыл.
            Работы еще тебя ждет уйма. Надеюсь ты справишься, выработаешь свой стиль и будещь освещать людям путь в науки.) Поздравляю с первой статьей.
              +2
              Здравая критика это всегда круто)
              Постараюсь учесть пожелания.
              Спасибо за поздравление)
              +2
              и реализацию класса для C++.

              и зачем реализовывать аж целый класс для хранения пары чисел, когда есть complex.h?

              зы: типографика у вас ужасная, уж не обессудьте
                0
                Я его в свое время делал чтобы познакомиться с ООП C++
                +1
                Как же приятно видеть на хабре графики из Wolfram Mathematica.
                  –1

                  Хах, я рад)
                  Нашел его в гугле, сразу понравился.

                  +2
                  Хм. Из всей статьи в школе не рассказали только про Python, но я сомневаюсь, что учительница про него знала до 1997 года. Школа обычная, в глубинке.
                    –1
                    Мне в школе не рассказали.
                    Учился на физмате, тема была, но ее тупо пропустили.
                    Поэтому и решил написать, вдруг это читают школьники или студенты, у которых
                    этой темы пока не было.
                    Это вы мне карму минусанули?
                      +1
                      Ни в коем случае. Даже если бы была возможность, глупо это делать если пост не понравился.
                      Кстати, кроме школы, комплексные числа плотно использовали в колледже. Там уже были практические расчёты на схемах электрических.
                  +7

                  Было бы интересно узнать для чего используется, например


                  А то как складывать, умножать, вычитать и делить знаем теперь, а зачем — непонятно

                    0
                    Отличная идея, спасибо!
                    Обязательно стоит написать об этом.
                      0

                      Так в институте же вроде проходили по ТОЭ комплексные числа…
                      2 закон Кирхгофа по моему.
                      Или третий.

                        +3
                        Эх, третий закон…
                        Раздались движения в склепе Кирхгофа, будто кто-то перевернулся :)
                          +1
                          3-й закон Кирхгофа гласит:
                          «Если в левую руку взять фазу, а в правую нуль, то направление ног укажет направление выноса тела»
                            0
                            Рекомендую воспользоваться трехфазной сетью — там между двумя фазами напруга в корень из тройки по-более будет — надежнее… :)
                        +3
                        Парочка применений навскидку: фракталы, быстрое преобразование Фурье.
                          0
                          А еще используются в физике (уравнение Жуковского)
                            +1

                            Тесла… ;)

                            +1
                            было бы проще сказать, где это в науке не используется. изобретение комплексных чисел было реальным прорывом для «матана», аж сколько одних интегралов сразу пересчитать смогли
                            другое дело, где оно нужно для «чистого программирования», т.е. вообще без приложения к каким-либо инженерным или физическим задачам
                              +11

                              Распишу свою мысль


                              В моем понимании перед описанием арифметических операций должно быть введение в предметную область


                              От того, что я знаю как складывать комплексные числа мне ни тепло ни холодно, если я не знаю (не помню) где они применяются


                              Если же я знаю о комплексных числах, скорее всего и арифметических операции над ними я знаю


                              В итоге, непонятно, кто целевая, аудитория у статьи


                              Всё имхо, естественно

                                +1
                                Поддерживаю имхо!
                                Как-то так в школе отбивают интерес к математике: «Тема урока 'Комплексные числа'. Вот так сложить, вот так умножить… Открываем учебник на 237й странице, решаем задачу №9». Можно же интересный пример привести!
                                  0
                                  Вы неправы. Нельзя описывать практическое применение, пока мне не поняли что это тоже какие-то числа, с которыми можно производить арифметические (и не только) операции.

                                  Вообще я обычно объясняю детям так, как это всё (по моему мнению) появилось, сейчас перейду за компьютер и продолжу
                                    0
                                    Я и не предлагаю сначала пример, а потом теорию. Можно и с теории, но потом таки пример.
                                    Да про то как появилось, это интересно. Жду продолжения.
                                      +6
                                      Человек отличается от прочих животных тем, что умеет мыслить абстрактно (может быть некоторые животные умеют тоже, но человек тут на голову выше), первым скачком был язык, речь — когда появились понятия («камень», «дерево»), которые обозначают некоторые объекты в окружающем мире, но не привязаны к конкретным предметам.
                                      Следующим уровнем абстракции стал счёт (натуральные числа), тут уже зародилась математика. Числа, как и слова, помогают описать окружающий мир, но это уже чистые абстракции, числу 78 не соответствуют никакие предметы в окружающем мире.
                                      Появился счёт — появилось сложнение, тут всё просто.
                                      Но жизнь ставит чаще задачи учёта и распределения чего-то, тут уже появляется вычитание.
                                      И в какой-то момент (а я считаю его самым главным в этой истории) кому-то пришло в голову «если из 3 вычесть 3, то получится тоже число, очень специальное».
                                      Да, числа не имеют прямого соответствия в материальном мире, но у нас есть какие-то материальные ассоциации — три козы, два ребёнка,… Ноль же абстакция ещё более высокого уровня, которая обозначает отсутствие чего-либо!

                                      Но математики и тут не остановились. У них есть одно очень интересное свойство: если им говорят, что что-то сделать нельзя, то они всё равно пытаются это сделать (читай: построить непротиворечивую систему, которая основывается на уже существующей, но в которой это новое действие имеет смысл).
                                      Итак, они сталкивались с задачами вроде «из 3 вычесть 5», придумали для этого абстракцию ещё более высокого уровня — отрицательные числа. Если наличие или отсутствие предметов ещё как-то можно наблюдать, то как наблюдать отрицательное количество чего-либо? Когда-то это был огромный прорыв, а сегодня мы прекрасно управляемся с этими числами, и с помощью них мы описываем [в том числе и] вполне осязаемые вещи в окружающем мире.
                                      Уффф, это тянет на полноценную статью, продолжу более сжато.
                                      Есть сложение — как оптимизация для одного частного случая появилось и умножение.
                                      Появилось умножение — появилось и обратное ему деление. Тут математики тоже столкнулись с вызовом «3 нельзя разделить на 2», и они опять сказали «а давайте представим, что можно, давайте посмотрим, что получится» — так появились дроби, пусть и не столь значительный, но всё равно огромный шаг.
                                      Далее, у нас есть цепочка «сложение->сложение сумм (умножение)», кто-то задумался о её продолжении «умножение произведений», так появилось возведение в натуральную степень. О, опять натуральные числа, другими показатели степени быть не могут. Или могут? А давайте попробуем возвести в нулевую степень? в отрицательную? в дробную? Ба, да дробная степень — это те же корни, которые мы неизбежно изобрели после возведения в степень (научившись делать действие в одну сторону, любопытные математики обязательно пытаются «провернуть фарш назад», научиться делать и обратное ему действие).
                                      И тут возникло новое препятствие — возвести отрицательное число в дробную степень нельзя. Ну вот никак нельзя. Ну совсем.
                                      Но мы уже говорили, что математики — это такие люди, которым нельзя говорить «нельзя», они из-за этого плохо спят и выдумывают новые абстракции.
                                      Логично было начать с (-1)^(1/2), корни второй степени чаще всего нам встречаются, и из отрицательных чисел за опорную точку разумно выбрать -1. Вот это число назвали «мнимой единицей» (i). А если нам нужен корень из -4? Он будет в два раза больше, получается 2i? Вроде неплохо, вот мы и научились умножать мнимые числа на действительные, да и складывать их несложно. А можем ли мы умножить мнимое на мнимое? Хм, получается действительное, любопытно. А сложить мнимое и действительное? Да вроде как всё нормально, получившуюся сумму мы не можем упростить, но можем использовать в различных выражениях. И всегда в результате арифметических действий с такими числами у нас получается число вида x+yi.
                                      Тут и возникла новая абстракция невиданного до этого уровня — давайте назовём эту конструкцию тоже числом, тогда привычные нам действительные числа будут просто частным случаем этих наших новых чисел.
                                      Итак мы умеем комплексные числа складывать, вычитать, умножать, делить. Раз можем умножать — значит мы можем возводить во натуральную степень. А можем ли извлекать корни? Возводить в мнимую или комплексную степень? Разумеется можно, мы же уже говорили, что математики не терпят слова «нельзя».

                                      Ну а со временем многие абстрактные построения высоколобых математиков находят своё применение, как уже было с отрицательными числами.
                                      Комплексное число описывается двумя вещественными, вкупе с тем, что комплексные числа ведут себя как обычные числа (у математиков это называется «образуют поле»), это позволяет использовать их там, где нам хочется за раз «протащить через формулу» пару действительных чисел (например координаты точек на плоскости).

                                      P.S. и, конечно, на этом математики не остановились, были придуманы ещё кватернионы и прочие гиперкомплексные числа
                                      P.P.S. ещё яркий пример творения пытливого ума математиков, которых мучает вопрос «а что, если ...» — неевклидовы геометрии, там всё тоже очень интересно
                                    0
                                    Вот приведут пример расчёта подъёмной силы крыла с помощью конформных преобразований, и все на этом уроке и разбегутся. Знания в школе даются для расширения кругозора, а не для применения в своей области через неделю.
                                  +2
                                  Все взаимодействия в мире делятся на 3 вида:
                                  — сильное
                                  — электрослабое
                                  — гравитациионное

                                  Первое это удел физиков-ядерщиков, теоретической физики. Наверняка и там есть комплексные числа, но я о них поведать не смогу.

                                  Остальные два взаимодействия — описывают почти все процессы которые мы наблюдаем, используем при расчетах любых конструкций макромира. Эти расчеты мы делаем как на этапе исследования и конструирования, так и приборы выполняют такие расчеты в режиме реального времени во время эксплуатации всевозможных устройств.

                                  В электромагнитном и в гравитационном взаимодействиях энергия может равноценно храниться в двух взаимозаменяемых «сущностях», которые мы называем активной и реактивной (по отношению к активной).

                                  Для гравитации энергия запасается или в инерции тела (E=mv^2) или в потенциале гравитационного поля (E=mgh). По принципу относительности, тело не может определить что на него действует — гравитация другого тела или ускорение движения. Энергия легко переходит из активной формы в реактивную и обратно. Механический маятник имеет максимум энергии E=mgh в верхних точках, при этом его v=0. В нижней точке, наоборот вся энергия уже заключена в mv^2/2, а h=0. Если одну из этих энергий обозвать активной, вторая по отношению к ней — реактивная. Обе вполне реальные, но чтобы описать их в одной системе координат — необходимо нарисовать под углом 90 градусов 2 системы координат. Вторая система координат с точки зрения первой — мнимая (реактивная). Комплексная энергия тела может в любой момент времени как увеличиваться так и уменьшаться отдельно в каждой из этих двух систем координат. Результирующий вектор называется комплексным вектором, реальная часть это направление на одной из систем (назовем её условно активной), мнимая — на второй системе (по отношению к первой — реактивная).

                                  В электромагнетизме опять же энергия равноценно запасается или в электрическом поле (в заряде который его создал) или в магнитном поле (в ДВИЖЕНИИ заряда который создал электрическое поле). В уравнениях Максвелла это называется токи смещения. Амплитуда электрического поля — это потенциал этого поля (напряжение), а амплитуда магнитного поля пропорциональна силе тока (количеству движения заряда). Закон Ома в обычном представлении (без комплексных чисел) справедлив только для постоянного тока, когда сила тока (и магнитное поле вокруг проводника) прямо пропорциональны напряжению (амплитуде электрического поля). В колебательных системах (переменный ток) магнитное поле может отставать/опережать электрическое. Т.е. график силы тока и график напряжения не совпадают. Для низких частот это явление обычно описывают «косинусом фи», это и есть косинус угла вектора комплексного числа. Для любых колебаний (хоть электромагнитных, хоть механических/акустических) когда длина волны становится соизмеримой с размерами конструкций (в электрике это или длинные ЛЭП низкой промышленной частоты или все линии ВЧ на которых работает электроника, радио) — явления отражения и накопления энергии в реактивную составляющую становятся очень значимыми.

                                  Все методы расчета гидрогазодинамики/аэродинамики, акустики, механики, электромагнетизма (от низких промышленных частот до высоких радиоэлектронных частот и до световых волн) работают с комплексными числами, потому что энергия в этих системах сохраняется в одной из равнозначных форм — активной (реальной) и реактивной (мнимой по отношению к активной).

                                  Хотя в природе лишь две пары инерция/гравитация и электрическое/магнитное — при описании практических моделей пар активная/реактивная намного больше. Например газ имеет энергию за счет движения молекул (инерция). Но это движение можно создать как температурой/давлением так и ветром. Когда мы будем рассматривать газодинамику/аэродинамику — гравитацией можно пренебречь (сосуд бесконечно мал чтобы учитывать гравитационный напор). Активная/реактивная пара при описании комплексными числами может быть например скорость/температура или скорость/давление. Вы махнули в воздухе рукой чем создали и ветер и перепады в полях температуры/давления. Для численного моделирования происходящего — придется одному из них присвоить реальную (активную) координату, второму — мнимую (реактивную), а все преобразования выполнять по математическим правилам для комплексных чисел.

                                  При эксплуатации систем, приборы считают тоже используя математику комплексных чисел. Самый первый интегральный процессор был создан в США для самолётов-истребителей на замену механическим компьютерам. Точных данных что он уже мог считать у меня нет, но вполне вероятно что он уже считал и комплексные числа для механики движения в сложных фигурах полёта — где запасенная самолётом энергии имеет как и маятник — активную (например высота над Землёй) и реактивную (скорость) составляющие. Чтобы знать на какую гравитационную высоту в фигурах высшего пилотажа выбросит самолёт — надо пересчитать переток энергии из инерции в гравитацию.

                                  В электронике, радио — широко используются такие приборы как КСВ-метры и векторные измерители импеданса. В энергетике — приборы учета реактивной энергии. Они как раз и измеряют комплексные числа. Получить качественный электродвигатель/генератор (будь-то для электростанции, трамвая, насоса) на переменном токе невозможно без тщательного учета явления реактивности как на этапе проектирования, так и во время эксплуатации (постоянно за этим следить).

                                  В небесной механике, точных спутниках, баллистических ракетах — говорят что используется больше 2 перпендикулярных измерений, т.е. там оперируют комплексными числами с более чем 1 типом «мнимой» координатной системы. Нюансов я не знаю, но думаю это связано с релятивистскими эффектами гравитации («проблема орбиты Меркурия»), потому что гравитация не может быть описана одномерными моделями Ньютона-Галилея, которые вполне точны для маятника часов, но недостаточно точны для GPS спутника

                                  Также комплексные числа незаменимы при описании любых волновых явлений (хоть акустика/механика, хоть электрика).
                                  Когда по какой-либо среде передается какая либо волна (например волны на поверхности воды, волны на струне, ЭМ волна по интернет кабелю), то мгновенное значение амплитуды волны в какой-либо точке зависит как от фазы волны (сколько оборотов фазы прошло пока волна дошла от генератора к точке наблюдения и на каком градусе синусоиды она сейчас находится) так и от затухания среды распространения (полный размах синусоиды убывает при удалении от генератора).
                                  Для описания поведения такой волны используют комплексное число — константу распространения (propagation constant). Реальная часть «альфа» это затухание за счет рассеяния (нагрева) среды распространения и мнимая часть — фазовая константа «бета». «Альфа» измеряется в Неперах (логарифм по натуральному числу е от количества раз затухания на 1 единицу длины волны), а «бета» — это число радиан умещающихся в длине волны = 2*pi/lambda
                                    0
                                    А теперь что касается перехода от вполне реальных явлений на вполне реальных координатных сетках к математической записи. Почему записывается именно так и формулы именно такие.
                                    Специальный символ «запрета» sqrt(-1) стоит перед числом из перпендикулярной координатной системы для того чтобы запретить любые прямые математические операции. Этот символ запрещает даже сравнить между собой числа. Мы не можем сказать что больше 1 единица активности или 2 единицы реактивности. У этих координатных сеток разный масштаб и разная природа явлений. Когда энергия перетекает (по закону сохранения энергии) из одной формы в другую — в численном выражении пропорции могут быть совершенно любые. Например для гравитации и скорости (E=mgh=mv^2) перетекание единицы высоты дает прибавку лишь корня скорости.
                                    Комплексное число описывает полную энергию. Внутри каждой системы координат единицы подчиняются обычным операция — сложение, вычитание, деление. В природе этому соответствует принцип суперпозиции полей.
                                    Если к 3 метрам высоты добавить 5 метров — будет 8. Но добавить к 3 метрам высоты 2 м/с скорости нельзя.
                                    А вот векторы складывать можно. К вектору [3 +j0] вполне можно добавить +j2 скорости.
                                    Векторы имеют геометрическую сущность. Алгебраическая запись правил работы над комплексными числами — это просто удобная форма работы над геометрическими векторами. Просто векторная математика.
                                    Она имеет два равнозначных способа нотации: или полярная (длина вектора-гипотенузы и угол) или векторная (длины катетов)
                                  +6
                                  и тут не могу не согласиться. гораздо полезнее было бы, если бы автор написал какую-то задачу из своего практического опыта, где возникла потребность прибегнуть к этим числам, или хотя бы рассмотрел какой-то алгоритм (уверен, в кормене можно откопать) на их основе, и уже по ходу дела объяснил что они и зачём

                                  а то можно, например, запилить статью, например, про грассмановы числа (или про ординалы, или про p-аддику, или уж на худой конец про кватернионы, хотя они вроде как раз где-то были, да мало ли «других» числе) — они в стократ интересней, только смысл?
                                    +1

                                    Отвечу примером за автора: каждый раз, когда речь идёт об электромобилях в частности и об электроприводе в общем — там унутре просто уйма комплексных чисел! ;)))

                                      0
                                      Вот практическая задача, которую я часто использую и для этого специально Excel создал:
                                      habr.com/post/352852
                                        +2
                                        вот рутинная задачка в цепи 220/50 Гц, которая сравнительно просто решается с комплексными числами, но если применить математический аппарат без применения комплексных чисел — формулы и решения займут в 10 раз больше места

                                        image
                                        +5
                                        Что-то как-то скучно!
                                        Вот вам комплексные числа, вот операции над ними, всё. Примерно так же было в школе: «Все записали? Вот вам задачки!». Хоть немного примеров, историю, кто и как впервые додумался до комплексных чисел и т.п.
                                          0
                                          Про историю думал.
                                          Решил не включать, т.к посчитал ее никому не нужной.
                                          Практическое применение добавил.
                                            0

                                            Корректнее писать — "в электротехнике".

                                              0
                                              Мне было бы очень интересно узнать. И желательно не просто в формате «Бомбелли в таком-то году взял и написал труд по комплексным числам». Была же какая-то конкретная практическая задача? Или он в ходе свободных размышлений к этому пришёл?
                                                0
                                                Месяц назад случайно наткнулся на серию роликов «мнимые числа — реальны»
                                                www.youtube.com/watch?v=T647CGsuOVU
                                                хоть на английском, но серия просто шикарная, никогда не думал, что такая скучная тема может быть так интересно рассказана.
                                                Там и смысл и история, и применение и примеры на питоне!
                                              0

                                              Для интриги смотрите следующий коммент!

                                                0
                                                Я с применениями знаком, например, в электротехнике. Правда это уже не в школе было.
                                                Просто по себе могу сказать, что часто именно в школе не хватало интересных примеров и увлекательного повествования. Ну решил я несколько задач… зачем-то… А зачем?
                                                Уверен, что знания из школьной программы можно подавать более увлекательно, тогда и запоминаться они будут у большего количества учеников.
                                                  0
                                                  Применение в электротехнике э… как бы сказать — стремноватое. ) Т.е. в учебниках оно вводится как-то быстро, и плохо объясняется — а чем же так лучше. Меня как физика комплексные числа слегка напрягают. Какие-то они… воображаемые что ли.
                                                    +2
                                                    я бы набрался храбрости и сильнее выразился — какие-то они частью даже мнимые!
                                                      0
                                                      нет, мнимые — очень плохое название, из-за этого все думают, что они воображаемые, на самом деле это просто другой тип чисел, как отрицательные, иррациональные.
                                                        0
                                                        Можно подумать, остальные числа не воображаемые.
                                                      0
                                                      Применение в электротехнике э… как бы сказать — стремноватое

                                                      Что вспомнилось. Давайте другие примеры.
                                                        0
                                                        А в какой области физики вы специализируетесь?
                                                    +3
                                                    «Комплексные числа нужны для того, что если дискриминант отрицательный, ты не расстраивался.»
                                                    +1

                                                    [задумчиво]


                                                    а в общем — вся нынешняя цивилизация полностью зависит от комплексных чисел… ;)

                                                      0
                                                      Ага)
                                                        0

                                                        Мало того — цивилизация полностью зависит от комплексных чисел в применении к одному изобретению 152-летней давности.


                                                        И вот это интрига! =Р

                                                        0
                                                        Цивилизация не зависит от комплексных чисел, просто это способ легко почитать сложное. По сути — комплексное число — это координаты на плоскости. При этом манипуляция с двумя этими величинами чуть сложнее, чем просто математика.
                                                        0

                                                        Лучше всего комплексные числа описаны с точки зрения геометрии в Math, Better Explained.

                                                          +2
                                                          В комментариях просили рассказать о практическом применении.
                                                          Так вот комплексные числа нашли широкое практическое применение в авиации
                                                          (подъемная сила крыла) и в электричестве.

                                                          Агрх! Пример! Интересный пример! Прямо в «электричестве» нашли применение? Несколько криво написано.

                                                          P.S.: А ещё у вас ус отклеился последняя формула съехала и вставилась как текст(парсер не проживал).
                                                            0
                                                            да и в «авиации», мягко говоря, нелепо звучит. что, вот берут в этой авиации и комплексные числа, вместо заклёпок, в крыло забивают, чтобы подъемная сила была? автор наверное хотел сказать, что числа используются при теоретических расчётах, скажем, в гидродинамике, и некоторые идеи из этих расчётов потом могут натолкнуть на какие-то мысли в реальной задаче конструирования самолёта (не считая массы других ограничений, «комплексные числа» в таких задачах работают только в двумерном случае, что весьма далеко от РЕАЛЬНЫХ практических нужд)
                                                              0
                                                              Формулу поправил.
                                                              Странно, что она съехала, я ее вставлял именно как формулу.
                                                              +6
                                                              Я может чего не понимаю, но вобще ж не статья, 2 формулы из школы + 3 предложения. wiki для такого чем не угодила то?
                                                                +4
                                                                Да, и эпичный апдейт: «UPD: В комментариях просили рассказать о практическом применении. Так вот комплексные числа нашли широкое практическое применение в авиации (подъемная сила крыла) и в электричестве.»
                                                                При таком подходе, можно было гораздо проще: «Есть такая штука — комплексные числа. А дальше нагуглите сами».

                                                                Автор, доработайте уже таки «статью» до настоящей статьи, с примерами, с историей. Чтобы интересно было.
                                                                  0
                                                                  Про историю как я уже писал выше писать специально не стал, т.к подумал что никому не будет интересно ее читать, скажут вода.
                                                                +1

                                                                Самым неудачным мне кажутся записи вида "это действие выполняется вот так". Это отличный способ научить кого-то магическим знаниям "как проделать операцию Х" без какого-либо понимания как это работает. Если бы я не знад ничего про комплексные числа, то подумал бы что умножение комплексных чисел это какой-то очень сложный процесс, когда это всего лишь


                                                                (a + ib) * (c + id) = ac + ibc + iad - bd = ac - bd + i * (bc + ad)

                                                                Никакой магии. С делением тоже — домножьте на сопряженное знаменателю число дробь и… все. Про сопряженное числа ничего не сказано (или я не умею читать), что на самом деле очень важно.
                                                                Формулу Муавра для n-ой степени было бы неплохо заиметь, после чего поговорить про корни n-ой степени из единицы.
                                                                О том, что C и R2 похожи, о векторном представлении и т.д.


                                                                Из примеров использования — в IT я думаю ближайшее это кватернионы, которые представимы в виде 2х2 матрицы из C, и могут применяться в гейм-деве для описания вращения/трансформаций (поправьте, если не так, но по крайней мере в Unity и DirectX встречаются).
                                                                Из других областей — ну вся теория относительности построена на этом. Четырехмерное пространство-время. В элкетродинамике используется экспоненциальная форма для описания волн. В диффурах, при исследовании систем на стабильность. Квантовую механику сложно представить без комплексных чисел.


                                                                Ах да, вот отличный пример на грани квантов и IT — в квантовых компьютерах стейт кубитов можно отобразить на так называемой сфере Блоха, где в качестве координат выступают комплексные величины (комплексная экспонента используется для обозначения азимутального угла, учитывая что eip = cos p + i sin p). Но это есть следствие квантовомеханического подхода.

                                                                  +4
                                                                  И всё?! До формулы Муавра хотя бы дошли бы. Ну и классическое i^i надо посчитать.
                                                                    0

                                                                    Муавр будет в следущей части, сейчас только основы.
                                                                    Решил не растягивать статью.

                                                                    0
                                                                    Слишком скудное количество информации про комплексные числа.

                                                                    К предложениям выше, как дополнить эту статью, я бы добавил о показательной записи комплексного числа, что такое модуль и аргумент, да и собственно про геометрическую интерпретацию следовало бы рассказать. Как мне кажется, это более наглядно демонстрирует комплексные числа.
                                                                      0
                                                                      Когда то давно подумал корень из -1 i, x+iy это комплексное число. А корень из i это наверно еще хитрее и будет супер комплексное число x+iy+jz. Но посчитал и оказалось что корень из i это корень из 2 + i * корень из 2. Эх супер комплексные числа не получились :).
                                                                        0

                                                                        Хех, между прочем есть гиперкомплексные числа:

                                                                          0
                                                                          Сверхкомплексные числа делаются с помощью сверхстепени.
                                                                          +1
                                                                          А как же показательная форма записи?
                                                                          А где преобразования между формами?
                                                                          И как выглядят математические действия в разных формах?

                                                                          Эх… вспоминается… как для частых институтских расчётов электрических цепей переменного тока я написал программку для калькулятора…
                                                                            0

                                                                            Это в следущей статье будет.
                                                                            Понимаете, я считаю что для введения это тяжело, пусть лучше в 2 части будет.

                                                                              0
                                                                              Не, ну мы ж всё-таки не в школе, чтобы простой материал дробить настолько мелко :)
                                                                            0
                                                                            В какой-то момент я начал считать, что образное представление цели решения квадратных уравнений — это нахождение точек пересечения прямой с окружностью. Таким образом, ситуации могут быть три: прямая пересекает окружность (получаем две точки), проходит по касательной (одна точка) либо вообще не пересекается (корней нет). Имеет ли место такое представление, или я ошибался всё это время? Если имеет, можно ли на это представление как-либо «наложить поверх» вариант с мнимой частью? Поправка: из школьного курса почти ничего не помню, не судите строго, так, мимокрокодилю
                                                                              0
                                                                              Пересечение окружности с прямой — это не квадратное уравнение.
                                                                                +1
                                                                                Любую функцию вида

                                                                                можно представить как

                                                                                Фактически это парабола y = x^2 сдвинутая вдоль осей x и y и еще растянутая. У f(x) может быть 0, 1 или 2 пересечения с вещественной осью x, как видно например на
                                                                                графике

                                                                                Код на R
                                                                                x <- seq(-5, 5, by = 0.1)
                                                                                plot(x, x^2 - 4, type = "l")
                                                                                lines(x, 0 * x)
                                                                                


                                                                                Это все работает для функций с вещественными коэффициентами. Теперь, если w = x+iy, то функция f(w) действует из C в C (примерно как из R2 в R2). Если x и y это оси координат на плоскости, то значение функции можно отложить вдоль оси z. Ну точнее так как значение есть комплексное число то просто так показать его мы не сможем. Либо нужно использовать отдельно цвета, либо показывать действительную и мнимую части как два рисунка. Теперь, с точки зрения такого графика, решение уравнения это поиск таких точек пересечения плоскости z = 0 и мнимых и действительных частей функции.
                                                                                Вот пример графиков
                                                                                Действительная часть

                                                                                Мнимая часть

                                                                                Код на R
                                                                                library(plot3D)
                                                                                x <- seq(-5, 5, by = 0.1)
                                                                                y <- seq(-5, 5, by = 0.1)
                                                                                args <- outer(x, y, function(x, y) x + 1i * y)
                                                                                f <- function(w) w^2 + 4 # Нет вещественных корней
                                                                                f0 <- function(w) Re(w * 0) # Плоскость z = 0
                                                                                
                                                                                # Действительная часть
                                                                                persp3D(x, y, f0(args), xlim = c(-5, 5), ylim = c(-5, 5), zlim = c(-30, 30), clim = c(-30, 30), border = "#000000")
                                                                                persp3D(x, y, Re(f(args)), xlim = c(-5, 5), ylim = c(-5, 5), zlim = c(-30, 30), clim = c(-30, 30), add = TRUE)
                                                                                
                                                                                # Мнимая часть
                                                                                persp3D(x, y, f0(args), xlim = c(-5, 5), ylim = c(-5, 5), zlim = c(-30, 30), clim = c(-30, 30), border = "#000000")
                                                                                persp3D(x, y, Im(f(args)), xlim = c(-5, 5), ylim = c(-5, 5), zlim = c(-30, 30), clim = c(-30, 30), add = TRUE)
                                                                                
                                                                                



                                                                                Для такой функции f(w) = w^2 + 4 видно что мнимая часть равна нулю вдоль осей (точка [0, 0, 0] находится в центре рисунка), а действительная имеет более хитрое пересечение. Я на рисунке не показал, но можно догадаться, что все три поверхности пересекутся в точках x = 0 и y = +-y0, а точнее y = +-2. Вспоминая, что w = x + iy , корни f(w) = w^2 + 4 это +-2i.
                                                                                  0
                                                                                  Ого, спасибо за такое подробное разъяснение! Два чая этому господину!
                                                                                  0
                                                                                  С параболой, а не с окружностью.
                                                                                  –1
                                                                                  Да ну чего вы! Это же просто упрощение своего рода. Вы попробуйте описать пертурбаций двух движущихся и как-то взаимодействующих объектов, со всей пачкой действующих сил, без этих вот мнимых «ненастоящих» циферок. Да вы скорее с ума сойдете. :) даже просто движение автомобиля при повороте на скорости, как комплекса взаимосвязанных деталек попробуйте без кватернионов описать… Мы просто договариваемся что ну его нафиг тут вектора сил раскладывать, все равно мы все их и так понимаем, а каждый раз вот так гимороиться — этож опупеть, давайте просто вынесем их в отдельную переменную и забьем на нее… :) Но забьем не совсем, а так, слегка, поскольку оно все таки есть и в реальных процессах участвует. :)
                                                                                    0
                                                                                    Сын в школе сейчас начал изучать.
                                                                                    Наибольшая проблема — не понимает как это приложить к реальному миру, то есть где это применяется.
                                                                                    Механизм по которому это работает — понятно.
                                                                                    А вот нафига это — непонятно.

                                                                                    И, кстати, по-моему это наибольшая проблема в изучении математики в школе
                                                                                      0

                                                                                      Поэтому в обновлении добавил практическое применение)

                                                                                        0
                                                                                        У моего падавана проблем с теорией не возникло. А вот что с этим делать — до сих пор толком не ясно.
                                                                                        БОльшую часть математики он воспринимает как странноватые головоломки, не имеющие практического применения.

                                                                                        sad bad true
                                                                                      +1
                                                                                      О комплексных числах крайне рекомендую этот цикл видео:
                                                                                        0

                                                                                        Смотрел, мне понравилось)

                                                                                        –1
                                                                                        Я умудрился закончить ВУЗ по специальности радиосвязь, и так и не понять ничерта про комплексные числа. Причина одна — никто не говорит ЗАЧЕМ это нужно. Если например попытаться сделать вывод из введения в эту статью, то можно понять, что комплексные числа это числа вида:

                                                                                        x + iy, где sqrt(i) = -1.

                                                                                        Все это такие вот числа. А почему не:

                                                                                        x + iy, где sqrt(i) = -100., а почему не x + iy + 2z ??

                                                                                        Для нормального человека с критичным мышлением это звучит так: мы придумали такие вот числа, вот такого вида. По тому что что вот смотри какие числа. Чиселки наши хорошие, формулки)) А теперь ты долго будешь изучать какие еще из этого можно вывести формулы.
                                                                                        Не получив ответ на вопрос где это применяется я пролистал статью, как и когда то мое внимание отключилось на паре.

                                                                                        ПС. Забыл сказать, я один из трех человек со всей группы кто работает по специальности, причем разработчиком.
                                                                                          +1
                                                                                          Это не критическое мышление, а просто поза: «Давай-ка, попробуй научить меня чему-нибудь».
                                                                                          Автор написал полезную статью-шпаргалку, которую я лично сохранил себе в заметки, потому что здесь необходимый для практики материал довольно компактно упакован.
                                                                                          Я в последний раз пользовался комплексными числами, чтобы написать модель для быстрого вычисления частот резонансных пиков гидравлической линии.
                                                                                          Если Вы в своей практике не пользуетесь комплексными числами, то с большой долей вероятности Вы работаете простым радиомастером (как бы при этом Ваша позиция не называлась).
                                                                                            +1

                                                                                            Круто, что Вы поняли мою идею — статья-шпаргалка.

                                                                                              0

                                                                                              Когда я вижу в начале статьи "Комплексные числа это числа вида", я говорю себе: "воу воу, стоп, меня меньше всего интересует вид, я хочу знать суть". Сейчас я кажется начал понимать, что их вид это и есть их суть, по тому что другого объяснения тому, что вы отметились под моим коментом, но на него не ответили по существу, заключается ты том что ответа просто нет.

                                                                                              0
                                                                                              Однажды пытался тоже вычислять спектр, столкнулся с комплексными числами- опять какие то дебри. Под микроконтроллеры дак вообще не понятно как реализовывать. В итоге проблему решила готовая библиотека на ассемблере из интернета.
                                                                                                0
                                                                                                Ну всё правильно, отомстили преподу, который Вам плохо объяснил ТФКП)
                                                                                                А был бы ещё по схемотехнике плохой препод, просто купили бы готовый радиоприёмник в интернете, и ещё меньше забот было бы)
                                                                                                  0
                                                                                                  Там на самом деле ТФКП — огроменнный аппарат анализа для комплексных чисел — и не нужен, думаю, задача реально решалась чуть ли не элементарным набором операций, перечисленными в данной статье (дополненным, конечно, ещё несколькими вопросами, оставленными автором на «вторую часть»). Здесь опять та же проблема: вместо сложного и нафиг не нужного этой специальности курса ТФКП должен был быть простенький calculus, содержащей элементарные сведения о комплексных числах и тщательно ставящий технику работы с ними на примерах.
                                                                                                    0
                                                                                                    Думаю, что на практике для этой конкретной задачки понадобится малая часть ТФКП, малая часть операционного исчисления, малая часть линейной алгебры, ну и совсем небольшая часть рядов и последовательностей.
                                                                                                    А для другой задачи понадобится по другой малой части от каждого раздела.

                                                                                                    Здесь опять та же проблема: вместо сложного и нафиг не нужного этой специальности курса ТФКП должен был быть простенький calculus, содержащей элементарные сведения о комплексных числах и тщательно ставящий технику работы с ними на примерах.

                                                                                                    Кому должен? Для подготовки специалиста с крепким средним техническим образованием (ну или как у немцев Fachhochschule: высшие технические училища, которые как бы дают высшее образование, но с сильной ориентацией на практику) — однозначно всё так. Для университетского образования я бы оставил этот курс в том размере, в котором он сейчас есть, потому что сложно спрогнозировать куда человека заведёт исследовательская работа, да или просто новые разработки. Мне, например, сильно не хватает математического аппарата по части численных методов.
                                                                                                    К тому же, нет ничего страшного, если курс не пригодится прямо мгновенно. Даже если нужно будет подтянуть знания спустя десять лет, куда проще это делается по хоть как-то пройденным курсам, чем абсолютно с нуля.
                                                                                                      0
                                                                                                      так может быть электронщику и не надо идти на высшее образование, а как раз на крепкое среднее техническое с уклоном на практику
                                                                                                      к сожалению, любое слово среднее у нас ассоциируется с техникумами, престиж которых опустили ниже плинтуса
                                                                                                        0
                                                                                                        Ну да, для того, чтобы просто паять приборы однозначно не нужно высшее образование.
                                                                                                          0

                                                                                                          Два уважаемых господина обменялись мнениями под моим коментом, никто правда не езволил объяснить суть вопроса. Не стоит посвещать всех подряд в круг избранных, согласен.
                                                                                                          Что касается того, нужно ли высшее образование чтобы паять приборы, случай из жизни: у меня студент старшего курса техникума по специальности "сборка и наладка РЭО" паяет платы, и подключает их к питанию для проверки. Студента мне рекомендовали все преподаватели наперебой. Призер рашн скиллз по пайке, или как там его. И правда, человек очень исполнительный и ответственный. И вот, нам приходят дисплеи с другой распиновкой. Посадочное место такое же, а распиновка другая. При подаче питания дисплей без особых внешних признаков уходит в мир иной. И этот ответственный человек один за одним включает спаянные приборы и видя что они не работают кладет их на стол для дальнейшей отладки- типа потом наладчик разберется. Кто знает, сколько бы он спалил дисплеев если бы я его не остановил.

                                                                                                            0
                                                                                                            ну так часто бывает, когда дискуссия заходит далеко от первоначального коммента

                                                                                                            если глобально, то комплексные числа нужны чтобы брать корни из отрицательных чисел (так же как действительные числа нужны чтобы брать корни из многих натуральных чисел). такая возможность оказалась крайне продуктивной как для математики, так и для многочисленных приложений — много примеров которых уже набросали в других комментариях
                                                                                                            не знаю, как там считают в электротехнике на самом деле, наверное с помощью каких-то специализированных программ, но рассмотрение того же LC-контура весьма облегчается, если считать, что емкость и индуктивность имеют мнимое сопротивление

                                                                                                            почему не $\sqrt{-100} $ — да потому что это было бы неудобно, оси y и x имели бы разные масштабы, и каждый раз при простейшем переумножении их приходилось бы перенормировать — зачем это. почему нету третьей компоненты? а она не нужна, зачем плодить лишние сущности, когда оказывается достаточно двух переменных
                                                                                                              0
                                                                                                              По-моему, здесь одно из двух: либо иллюстрация деградации среднего специального образования (человек не имеет представления о КЗ; в этом случае можно было бы ограничиться наймом ответственного старшеклассника), либо провал специалиста по организации рабочего процесса (нагрузка рутинной работой без принятия соответствующих мер по предотвращению брака; отсутствие инструкции прекратить операции, если дисплеи не включаются и т.п.).
                                                                                                              В любом случае, ни студент старшего курса университета, ни профессор не были бы застраховаы от такого конфуза в первые пару лет работы по новому для себя профилю. Это скорее вопрос опыта, чем образования.
                                                                                                                0

                                                                                                                Моя точка зрения как раз и заключается в том, что виной в этой деградации то, что препод заходит в аудиторию и начинает свой флоу:" комплексныечислаэточиславидаиксплюсигрекумножитьнаигрекгдеигрекблаблабла....". Сначала от нее страдал я лично, теперь руками сотрудников.
                                                                                                                Я не сторонник говорить что у нас плохо а у них хорошо, но что такое спектр я понял только посмотрев курсы MIT по электронике. А какой сейчас успех у учителя физики из Одессы на Ютубе? Всего то и надо не быть ханжой и не смотреть на остальных свысока только по тому что ты постиг чьи то договоренности о мнимых числах.

                                                                                                                  0
                                                                                                                  Боюсь, что для того, чтобы делать крутые ролики на ютубе недостаточно всего лишь не смотреть на остальных свысока. Сделать хороший образовательный ролик, доступный широким массам (а не просто скучную лекцию, где профессор стучит мелом по доске) — это прежде всего довольно дорогое удовольствие.
                                                                                                                  По опыту фирмы, где я работаю, одна минута скучного демонстрационного ролика обходится примерно в час рабочего времени (про хорошие ролики боюсь даже представить, но у нас таких пока не было).
                                                                                                                  Это отлично, что есть такой университет MIT, который может позволить себе выпускать такие курсы, но как показывает практика, это вовсе не обязательное условие выпуска хороших специалистов.
                                                                                                                  Кроме того, мне кажется, что Вы переоцениваете значение лекций в процессе образование. Их назначение в том, чтобы дать материал в сжатом виде, расставив акценты в нужных местах. А научиться чему-то можно только в процессе самостоятельного решения задач. И хорошие ВУЗы отличаются от плохих как раз не интерактивностью лекций, а качеством контроля за составом этих задач (чтобы не были слишком лёгкими) и степенью самостоятельности их решения студентами (контроль за списыванием, обязательные защиты домашних заданий). Т.е. грубо говоря, системой контроля качества.
                                                                                                0
                                                                                                где sqrt(i) = -1

                                                                                                Наоборот, где sqrt(–1) = i. Или i^2 = –1.
                                                                                                0
                                                                                                z1=1+2j
                                                                                                z2=3+5j
                                                                                                z3=z1+z2
                                                                                                print(z3) #4+6i

                                                                                                У вас неправильный Python, не умеющий работать с комплексными числами. Моя версия выдала другой результат.
                                                                                                >>> z1=1+2j
                                                                                                >>> z2=3+5j
                                                                                                >>> z3=z1+z2
                                                                                                >>> z3
                                                                                                (4+7j)
                                                                                                  0
                                                                                                  Спасибо, исправил.
                                                                                                  Код не запускал, человеческий фактор.
                                                                                                  0
                                                                                                  \varphi было бы красивее, чем \phi
                                                                                                    0
                                                                                                    А как с практикой дело обстоит?
                                                                                                    Ну вот к примеру Преобразование Фурье, в чём смысл записи, это интересно, а не сложение вычитание комплексных чисел
                                                                                                    image
                                                                                                      +1
                                                                                                      В комплексном матане самое интересное начинается, когда вводятся аналитические функции комплексного переменного. Это реальная красота и грация. Причём какие-то вещи можно научиться делать, даже не вдаваясь в глубины теории (правда, тогда можно наколоться в хитрых случаях). Например, многие «неберущиеся» интегралы от вещественных функций считаются на ура с помощью теоремы о вычетах.

                                                                                                      Если приводить примеры только из инженерных задач (про чистую физику и математику можно даже не говорить: там комплексные числа на них же сидят и ими же погоняют), то:
                                                                                                      — решение обыкновенных дифуров (преобразование Фурье, Гильберта: требуют выходы в комплексную плоскость, даже если результат вещественный);
                                                                                                      — уже упомянутая радиотехника (активное/реактивное сопротивление, фазы тока/напряжения и т.п.: всё сильно упрощается, если использовать комплексные числа и функции);
                                                                                                      — распространение радиоволн и просто волн (Фурье, фазы, спецфункции, например, Бесселя);
                                                                                                      — обработка сигналов (Фурье, Гильберт и т.п.);
                                                                                                      — решение дифуров в частных производных методом функции Грина (всякие волны, теплопроводность, диффузия и много чего другого).
                                                                                                        0
                                                                                                        Большая статья, позже вникну )

                                                                                                        Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                                                                                        Самое читаемое