В статье дано простое доказательство того, что отображение компактного метрического пространства в себя, не уменьшающее расстояния, является изометрией.
Отображение метрического пространства с метрикой называют изометрией, если для любых справедливо равенство . Мы докажем здесь следующее утверждение:
Напомним некоторые простые утверждения о метрических компактах и введём некоторые соглашения и определения, необходимые для дальнейшего изложения.
Через будем обозначать количество элементов конечного множества .
Для и множество назовем -окрестностью точки (или открытым шаром с центром в точке и радиусом ).
Конечное множество назовём -сетью в (или просто -сетью), если для любой точки найдётся точка такая, что . Множество назовём -разреженным, если для любых , таких, что .
Для любого конечного множества обозначим через сумму . Величину назовём длиной множества .
1. Пусть последовательности , элементов множества сходятся соответственно
к точкам . Тогда при .
Доказательство. Рассмотрим очевидные неравенства
Так как , при , то для найдется такое натуральное , что для всех будет
Из следует, что для всех .
2. Для каждого в существует конечная -сеть.
Доказательство. Семейство открытых шаров , где пробегает , является покрытием . Т. к. компактно, выберем конечное семейство шаров , также покрывающих . Ясно, что множество — конечная -сеть.
3. Пространство ограничено. А именно, существует такое число , что для любых .
Доказательство немедленно следует из 2. Действительно, положим , где , — элементы -сети . Ясно, что .
4. Если — конечная -сеть в , то для любого -разреженного множества будет , т. е. .
Доказательство. Объединение шаров $inline$\underset{i=1}{\overset{n}{\unicode{222a}}}Q_{a_i,\frac{\varepsilon }{2}}$inline$ покрывает . Если , то два различных элемента из окажутся в одном из шаров , что противоречит тому, что — -разреженное множество.
5. Каждому -разреженному множеству поставим в соответствие число — его длину. Мы уже доказали, что функция, которая ставит любому -разреженному множеству в соответствие число , ограничена. Отметим, что функция, которая каждому -разреженному множеству ставит в соответствие его длину , также ограничена.
6. Пусть , где берется по всем -разреженным множествам . Тогда справедлива
Доказательство. Рассмотрим -сеть из Леммы 1. Если не принадлежит шару , то не принадлежит . Это значит, что найдётся такое , что и . Аналогично существует такое , что и . Оценим . Ясно, что . А так как , и , , то . Следовательно, .
Итак, мы доказали, что непрерывно отображает в . Из Леммы 1 следует, что для каждого существует -сеть в такая, что сохраняет расстояния между элементами этой сети. Значит, для любых точек можно найти последовательности , такие, что . Но при . Из непрерывности отображения следует, что , при . Следовательно, при . А т. к. для любого выполняется равенство , то .
Это доказательство теоремы Бошерницана основано на беседах с моим студенческим товарищем, ныне американским математиком Леонидом Люксембургом, в один из его приездов в Москву и является моим изложением предложенной им идеи.
Слободник Семён Григорьевич,
разработчик контента для приложения «Репетитор: математика» (см. статью на Хабре), кандидат физико-математических наук, учитель математики школы 179 г. Москвы
Отображение метрического пространства с метрикой называют изометрией, если для любых справедливо равенство . Мы докажем здесь следующее утверждение:
Теорема. Если отображение компактного метрического пространства в себя, такое что
для любых , то отображение — изометрия.
Напомним некоторые простые утверждения о метрических компактах и введём некоторые соглашения и определения, необходимые для дальнейшего изложения.
Через будем обозначать количество элементов конечного множества .
Для и множество назовем -окрестностью точки (или открытым шаром с центром в точке и радиусом ).
Конечное множество назовём -сетью в (или просто -сетью), если для любой точки найдётся точка такая, что . Множество назовём -разреженным, если для любых , таких, что .
Для любого конечного множества обозначим через сумму . Величину назовём длиной множества .
1. Пусть последовательности , элементов множества сходятся соответственно
к точкам . Тогда при .
Доказательство. Рассмотрим очевидные неравенства
Так как , при , то для найдется такое натуральное , что для всех будет
Из следует, что для всех .
2. Для каждого в существует конечная -сеть.
Доказательство. Семейство открытых шаров , где пробегает , является покрытием . Т. к. компактно, выберем конечное семейство шаров , также покрывающих . Ясно, что множество — конечная -сеть.
3. Пространство ограничено. А именно, существует такое число , что для любых .
Доказательство немедленно следует из 2. Действительно, положим , где , — элементы -сети . Ясно, что .
4. Если — конечная -сеть в , то для любого -разреженного множества будет , т. е. .
Доказательство. Объединение шаров $inline$\underset{i=1}{\overset{n}{\unicode{222a}}}Q_{a_i,\frac{\varepsilon }{2}}$inline$ покрывает . Если , то два различных элемента из окажутся в одном из шаров , что противоречит тому, что — -разреженное множество.
5. Каждому -разреженному множеству поставим в соответствие число — его длину. Мы уже доказали, что функция, которая ставит любому -разреженному множеству в соответствие число , ограничена. Отметим, что функция, которая каждому -разреженному множеству ставит в соответствие его длину , также ограничена.
6. Пусть , где берется по всем -разреженным множествам . Тогда справедлива
Лемма 1. Существует -разреженное множество , такое что , является -сетью в , также является -сетью в и для любых будет .
7. Лемма 2. Отображение непрерывно на . Более точно: если для любых , то .
Доказательство. Рассмотрим -сеть из Леммы 1. Если не принадлежит шару , то не принадлежит . Это значит, что найдётся такое , что и . Аналогично существует такое , что и . Оценим . Ясно, что . А так как , и , , то . Следовательно, .
Итак, мы доказали, что непрерывно отображает в . Из Леммы 1 следует, что для каждого существует -сеть в такая, что сохраняет расстояния между элементами этой сети. Значит, для любых точек можно найти последовательности , такие, что . Но при . Из непрерывности отображения следует, что , при . Следовательно, при . А т. к. для любого выполняется равенство , то .
Замечание
Это доказательство теоремы Бошерницана основано на беседах с моим студенческим товарищем, ныне американским математиком Леонидом Люксембургом, в один из его приездов в Москву и является моим изложением предложенной им идеи.
Слободник Семён Григорьевич,
разработчик контента для приложения «Репетитор: математика» (см. статью на Хабре), кандидат физико-математических наук, учитель математики школы 179 г. Москвы