Титаны от математики схлестнулись над эпичным доказательством abc-гипотезы

https://www.quantamagazine.org/titans-of-mathematics-clash-over-epic-proof-of-abc-conjecture-20180920/
  • Перевод

Два математика утверждают, что нашли дыру в самом сердце доказательства, вот уже шесть лет сотрясающего математическое сообщество




В отчёте, опубликованном в сентябре 2018 в интернете, Петер Шольце из Боннского университета и Якоб Стикс из Университета имени Гёте во Франкфурте описали то, что Стикс называет «серьёзным и невосполнимым разрывом» в огромной серии объёмных работ Синъити Мотидзуки, знаменитого гениального математика из Киотского университета. Опубликованные в интернете в 2012 году работы Мотидзуки якобы доказывают abc-гипотезу, одну из наиболее далеко идущих задач в теории чисел.

Несмотря на множество конференций, пытавшихся объяснить доказательство Мотидзуки, специалисты по теории чисел с трудом справлялись с лежащими в его основе идеями. Его серия работ общим объёмом более 500 страниц написаны малопонятным стилем, и ссылаются на его предыдущую работу из порядка 500 страниц, что приводит к появлению «чувства бесконечного регресса», как выразился математик Брайан Конрад из Стэнфордского университета.

Из изучавших доказательство математиков верят в его правильность от 12 до 18 человек, как написал мне Иван Фесенко из Ноттингемского университета по электронной почте. Но, как прокомментировал ситуацию в обсуждении доказательства в блоге в прошлом декабре Конрад, за верность доказательства поручились лишь математики из «ближайшего окружения Мотидзуки». «Нет больше ни одного желающего заявить, пусть даже неофициально, об уверенности в полноте доказательства».

Тем не менее, как писал в своём блоге Фрэнк Калегари из Чикагского университета в декабре, «математики неохотно заявляют о проблемах с доказательством Мотидзуки, поскольку не могут указать на конкретную ошибку».

Теперь всё поменялось. В своём отчёте Шольце и Стикс утверждают, что линия рассуждений ближе к концу доказательства «следствия 3.12» в третьей из четырёх работ Мотидзуки фундаментально ошибочна. А это следствие необходимо для предлагаемого им доказательства abc-гипотезы.

«Мне кажется, что вопрос с abc-гипотезой остаётся открытым,- сказал Шольце. – И у любого человека есть шанс доказать его».


Петер Шольце

Заключения Шольце и Стикса основаны не только на собственном изучении работ, но и на недельном визите, нанесённом ими Мотидзуки и его коллеге, Юитиро Хоши в марте в Киотском университете, проведённом с целью обсуждения данного доказательства. Шольце говорит, что этот визит чрезвычайно сильно помог ему и Стиксу добраться до сути их возражений. В результате, пара учёных «пришла к выводу об отсутствии доказательства», пишут они в отчёте.

Однако эта встреча завершилась к неудовлетворению сторон. Мотидзуки не смог убедить Шольце и Стикса в том, что его доказательство верное, а они не смогли убедить его, что оно неверное. Мотидзуки уже выложил отчёт Шольце и Стикса на своём сайте, и присовокупил к ним несколько своих возражений.

В них Мотидзуки относит критику Шольце и Стикса на счёт «определённых фундаментальных неверных толкований» его работы. Их «негативное отношение, — пишет он, — не говорит о наличии каких-либо недостатков» в его теории.

Точно так же, как серьёзная репутация Мотидзуки заставила математиков рассматривать его работу как серьёзную попытку доказательства гипотезы, репутация Шольце и Стикса гарантирует, что математики обратят внимание и на то, что они хотят сказать. Шольце, хотя ему всего 30 лет, быстро поднялся на вершину в своей области. В августе он получил Филдсовскую премию, высочайшую награду в математике. Стикс же является экспертом в области исследований Мотидзуки, анабелевой геометрии.

«Петер и Якоб чрезвычайно осторожные и вдумчивые математики, — сказал Конрад. – Если у них есть какие-то опасения, их реально стоит прояснить».

Камень преткновения


abc-гипотеза, которую Конрад назвал «одной из самых выдающихся гипотез в теории чисел», начинается с одного из самых простых уравнений, которое вообще можно представить: a + b = c. Три числа a, b и c – положительные целые, у которых нет общих простых делителей. То есть, мы можем рассматривать уравнение 8 + 9 = 17 или 5 + 16 = 21, но не 6 + 9 = 15, поскольку числа 6, 9 и 15 делятся на 3.

Взяв такое уравнение, можно рассмотреть все простые числа, на которые делятся любые из трёх участвующих в уравнении чисел – к примеру, в случае с уравнением 5 + 16 = 21 эти простые числа будут 2, 3, 5 и 7. Их произведение будет равно 210, и оно гораздо больше любого из чисел, участвующих в уравнении. И наоборот, в уравнении 5 + 27 = 32 участвуют простые числа 2, 3 и 5, произведение которых равно 30 – а это меньше числа 32, участвующего в уравнении. Произведение получается таким маленьким, поскольку у чисел 27 и 32 очень маленькие простые делители (3 и 2), которые для получения этих чисел просто повторяются много раз.

Если начать играться с другими тройками abc, можно обнаружить, что этот второй вариант встречается чрезвычайно редко. К примеру, среди 3044 различных троек, у которых члены a и b меньше 100, существует всего семь, где произведение простых делителей меньше c. Гипотеза abc, сформулированная в 1980-х, формализует интуитивное представление о редкости таких троек.

Возвращаясь к примеру 5 + 27 = 32. 32 больше 30, но ненамного. Это меньше, чем 302, или 301.5, или даже 301.02, равное 32,11. abc-гипотеза говорит, что если выбрать любую степень больше 1, то будет существовать лишь конечное количество троек abc, у которых c будет больше произведения простых делителей, возведённого в выбранную степень.

«abc-гипотеза – весьма простое утверждение, касающееся умножения и деления», — сказал Миньюн Ким из Оксфордского университета. Он сказал, что с таким утверждением «появляется ощущение того, что ты раскрываешь какую-то очень фундаментальную структуру численных систем, которую ты раньше не видел».

Простота уравнения a + b = c означает, что широкий спектр других проблем попадает под её влияние. К примеру, великая теорема Ферма связана с уравнениями вида xn + yn = zn, а гипотеза Каталана, утверждающая, что 8 и 9 – единственная последовательная двойка совершенных степеней [чисел, выражающихся целым числом в целой степени / прим. перев.] (поскольку 8 = 23 и 9 = 32), говорит об уравнении вида xm + 1 = yn. abc-гипотеза (в определённом виде) дала бы новые доказательства двум этим теоремам и решила бы целую гору связанных с ней открытых задач.


Якоб Стикс

Эта гипотеза «будто бы всё время находится на границе между познанным и непознанным», — писал Дориан Голдфелд из Колумбийского университета.

Масштаб последствий доказательства гипотезы убедил специалистов по теории чисел в том, что доказать её будет очень сложно. Поэтому, когда в 2012 году распространилась информация о том, что Мотидзуки представил доказательство, многие математики с упоением погрузились в его работу – но только чтобы оказаться в тупике из-за незнакомого языка и необычного представления информации. Определения растягивались на несколько страниц, за ними шли теоремы с такими же длинными утверждениями, а их доказательства описывались фразами типа «сразу вытекает из определения».

«Каждый раз, когда я слышу об анализе работ Мотидзуки, проделанном экспертом (неофициальном), его отзыв оказывается возмутительно знакомым: широкие поля тривиальных вещей, за которыми следуют огромные горы неоправданных выводов», — писал Калегари в своём блоге в декабре.

Шольце был одним из первых читателей работы. Он известен тем, что способен быстро поглощать математику, глубоко в неё вникая, поэтому он продвинулся дальше многих теоретиков, и закончил то, что он назвал «грубым прочтением» четырёх основных работ вскоре после их появления. Шольце смутили длинные теоремы с короткими доказательствами, показавшиеся ему верными, но необоснованными. Позже он писал, что в двух промежуточных работах «мало что происходит».

Затем Шольце добрался до следствия 3.12 в третьей работе. Математики обычно используют слово «следствие» для обозначения теоремы, второстепенной по отношению к предыдущей, более важной. Но в случае следствия 3.12 от Мотидзуки математики соглашаются, что это – основная теорема для доказательства abc-гипотезы. Без неё «нет никакого доказательства, — писал Калегари. – Это критически важный шаг».

Это следствие – единственная теорема в двух промежуточных работах, доказательство которой занимает больше нескольких строчек – оно тянется на девять страниц. Проходя по ним, Шольце дошёл до точки, в которой уже совсем не мог следовать логике.

В то время ему было всего 24, и он считал, что доказательство некорректно. Но он практически не вступал в обсуждение работ, если только его не спрашивали о них напрямую. Ведь, в конце концов, думал он, другие математики наверняка найдут в этих работах значимые идеи, пропущенные им. Или, возможно, они в итоге придут к тому же выводу, что и он. Так или иначе, считал он, математическое сообщество сумеет во всём разобраться.

Лестница Эшера


Тем временем другие математики с трудом справлялись с непроходимыми работами. Многие возлагали большие надежды на встречу, посвящённую работе Мотидзуки, назначенную на конец 2015 года в Оксфордском университете. Но когда несколько коллег Мотидзуки попытались объяснить ключевые идеи доказательства, на слушателей опустилось «облако тумана», как писал Конрад в отчёте вскоре после встречи. «Людям, понимавшим эту работу, необходимо было более успешно объяснять специалистам по арифметической геометрии, что лежит в её основе», — писал он.

В течение нескольких дней после его поста Конрад получил неожиданные письма от трёх математиков (одним из которых был Шольце), описывающих одно и то же: они смогли прочесть и понять работы до тех пор, пока не дошли до определённой точки. «Каждого из троих остановило доказательство 3.12», — писал позже Конрад.

Ким слышал сходные отзывы по поводу следствия 3.12 и от другого математика, Тэрухисы Кошикавы, работающего в Киотском университете. Стикс также запнулся на этом месте. Постепенно многие специалисты по теории чисел узнали о том, что это следствие стало камнем преткновения, но не было ясно, была ли в его доказательстве дыра, или Мотидзуки нужно было просто лучше объяснить свои рассуждения.

Затем в 2017 году к ужасу многих теоретиков пошли слухи о том, что работы Мотидзуки были приняты к публикации. Сам Мотидзуки при этом был главным редактором этого журнала, Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences. Калегари назвал эту ситуацию "плохо выглядящей" (хотя редактора в таких ситуациях обычно отстраняются от принятия решения). Но больше всего математиков волновало то, что работы по-прежнему оставались нечитаемыми.


Синъити Мотидзуки на видеосвязи на конференции 2015 года, посвящённой его доказательству

«Ни один эксперт, утверждающий, что понимает доказательство, не сумел объяснить его ни одному из множества экспертов, остающихся в замешательстве», — писал Мэтью Эмертон из Чикагского университета.

Калегари написал статью, описывающую эту ситуацию, как "полный провал", и его точку зрения подхватили выдающиеся теоретики. «У нас сложилась смехотворная ситуация, в которой abc считается теоремой в Киото и гипотезой во всех остальных местах», — писал Калегари.

Журнал PRIMS вскоре ответил на запросы прессы заявлением, в котором пояснил, что работы не были приняты к публикации. Однако ещё до этого Шольце решил публично заявить то, что уже давно говорил в частных беседах многим теоретикам. Он решил, что всё это обсуждение доказательства стало «слишком социальным». «Все говорили о том, что это доказательство не кажется таковым, но никто не говорил: „Вот есть такое место, где никто не понял доказательства“.

В комментариях к записи Калегари Шольце писал, что он „вообще не смог следовать логике после рис. 3.8 в доказательстве следствия 3.12“. Он добавил, что математики, „заявляющие, будто понимают доказательство, не хотят признавать, что там нужно что-то добавить“.

Шигефуми Мори, коллега Мотидзуки из Киотского университета, обладатель Филдсовской премии, писал Шольце с предложением организовать ему встречу с Мотидзуки. Шольце, в свою очередь, связался со Стиксом, и в марте эта пара отправилась в Киото, чтобы обсудить камень преткновения в доказательстве с Мотидзуки и Хоши.

Подход Мотидзуки к abc-гипотезе переводит задачу в область эллиптических кривых, особого типа кубических уравнений с двумя переменными, x и y. Этот переход, известный ещё до Мотидзуки, выполняется просто – нужно связать каждое abc-уравнение с эллиптической кривой, чей график пересекает ось x в точках a, b и в начале координат – однако он позволяет математикам пользоваться богатой структурой эллиптических кривых, объединяющих теорию чисел с геометрией, интегральным счислением и другими областями. (Тот же самый переход находится в центре доказательства Великой теоремы Ферма от 1994 года, выполненного Эндрю Уайлсом).

В результате, abc-гипотеза сводится к доказательству неравенства между двумя величинами, связанными с эллиптическими кривыми. Работа Мотидзуки переводит это неравенство в ещё одну форму, которую, как сказал Стикс, можно представить в виде сравнения объёмов двух множеств. В следствии 3.12 предлагает своё доказательство этого неравенства, которое, будучи верным, доказало бы abc-гипотезу.

В доказательстве, как это описывают Шольце и Стикс, объёмы двух множеств рассматриваются так, будто они находятся внутри двух разных копий вещественных чисел, представленных в виде части круга из шести разных копий вещественных чисел, а также дана разметка, поясняющая, как каждая копия связана со своим соседом по кругу. Чтобы отслеживать связь объёмов множеств друг с другом, необходимо понять, как измерения объёма в одной копии связаны с измерениями в других копиях, как сказал Стикс.

»Если у вас есть неравенство двух объектов, но при этом измерительная линейка сжимается в некоторое количество раз, неподконтрольное вам, то вы теряете контроль над тем, что вообще означает неравенство", — сказал Стикс.

Шольце и Стикс считают, что именно в этот критический момент доказательства всё рушится. В разметках Мотидзуки измерительные линейки логически совместимы друг с другом. Но при обходе круга, сказал Стикс, у вас оказывается линейка, не похожая на ту, что будет, если идти в другую сторону. Эта ситуация, сказал он, напоминает знаменитую замкнутую лестницу Эшера, по которой можно карабкаться, а потом оказаться в том же самом месте [правильнее сказать, что это лестница Пенроуза, по мотивам которой Эшер сделал известный рисунок / прим. перев.].

Шольце и Стикс сделали вывод, что эта несовместимость измерений объёмов означает, что в итоговом неравенстве сравниваются неправильные величины. А если подправить всё так, чтобы объёмы стали сравнимыми, то неравенство становится бессмысленным, говорят они.

Шольце и Стикс «нашли конкретную причину, по которой доказательство не работает», — сказал Киран Кедлая, математик из Калифорнийского университета в Сан-Диего, подробно изучавший работу Мотидзуки. «Так что, если доказательство верно, оно должно работать с чем-то другим, с чем-то менее явным», чем то, что описывают Шольце и Стикс.

Мотидзуки утверждает именно это – присутствие чего-то менее явного. Он пишет, что Шольце и Стикс ошибаются, произвольно приравнивая математические объекты, которые должны считаться различными. Когда он рассказал коллегам о сути возражений Шольце и Стикса, пишет он, его описание «встретили с примечательно всеобщим удивлением и даже недоверием (а после ещё и высмеяли) к тому, что такое невероятное недопонимание вообще могло возникнуть».

Теперь математикам нужно будет переварить аргументы Шольце и Стикса и ответ Мотидзуки. Шольце надеется, что, в отличие от ситуации с первоначальными работами Мотидзуки, этот процесс будет длиться недолго, поскольку природа их со Стиксом возражений не настолько технически сложна. Другие теоретики «должны без проблем суметь следовать линии нашего обсуждения, которое мы провели с Мотидзуки», — сказал он.

Мотидзуки всё видится совершенно не так. С его точки зрения, критика Шольце и Стикса происходит от «недостатка времени на то, чтобы как следует вникнуть в обсуждаемую математику», что, возможно, связано с «чувством глубокого дискомфорта, или незнакомства с новым способом размышлений о знакомых математических объектах».

Математики, и до этого скептически относившиеся к доказательству Мотидзуки, вполне могут решить, что отчёт Шольце и Стикса ставит точку в этой истории, сказал Ким. Другие же захотят самостоятельно изучить отчёты, и это, считает Ким, уже началось. «Не думаю, что мне удастся избежать необходимости самостоятельно всё проверить перед тем, как я что-то решу для себя», — написал он по почте.

За последние несколько лет многие специалисты по теории чисел перестали пытаться понять работы Мотидзуки. Но если Мотидзуки или его последователи смогут предоставить подробное и связное объяснение того, почему картина Шольце и Стикса слишком упрощена (если это так), «это может многое сделать для того, чтобы снять связанное с этим вопросом утомление и вдохновить людей на новые попытки», — сказал Кедлая.

А тем временем, говорит Шольце: «Я думаю, это нельзя считать доказательством, пока Мотидзуки не проведёт серьёзную переделку и не объяснит ключевой шаг гораздо лучше». Он сам, по его словам, «не видит ключевую идею, которая могла бы подвести нас ближе к доказательству abc-гипотезы».

Вне зависимости от итогового результата обсуждения, чёткое обозначение определённого места доказательства Мотидзуки должно всё очень хорошо прояснить, сказал Ким. «То, что удалось Якобу и Петеру, сослужит очень важную службу сообществу, — сказал он. – Что бы ни случилось, я уверен, что эти отчёты станут определённого рода прогрессом».
Поделиться публикацией
Комментарии 92
    0
    Из изучавших доказательство математиков верят в его правильность от 12 до 18 человек

    Это смерть математики, какой мы её знаем. В доказательство верят (или не верят), ибо понять его нельзя. Им нужны новые подходы к абстракции. Вычленить куски (по 10-50 страниц), доказать их отдельно, перепроверить. И уже на них опираться.


    Эту простую идею, они, конечно и сами знают, но почему не используют, не ясно. Лапша на тысячу страниц просто не должна проходить первоначальное ревью.

      –6
      Этакая DOS-атака на сообщество при помощи доказательства.
      Нужен бот, который сможет с ней бороться: автоматически искать косяки в доказательствах. Найденные косяки (возможно даже ложные) бот отправляет обратно г-ну Мотидзуки для анализа и подписывается именем одного из студентов. И так штук по 20 в день, пока бот не научится и не начнет находить что-то действительно важное.
        +5
        Математика не обязана нам быть простой и понятной.
        Если теорема верна, но сложна в понимании, то она все равно верна.
        Для кого-то и логарифмы — лапша на тысячу страниц, но это не повод от них отказываться.
        А может мы уже разгадали все простые математические задачи. Все что осталось, будет еще более сложным.
          +6

          Сама теорема для понимания не сложна. Но он построил сложное для понимания доказательство. Тысяча страниц — это не для красного словца. Это объем двух связанных работ.


          Вы считаете, что из них совершенно невозможно выделить хотя бы один кусок страниц на 50, который можно сформулировать в виде леммы? Это, конечно, возможно. Но ещё более возможно, что он этого просто не сделал. И если раньше это было не обязательно, то теперь, когда каждое следующее доказательство всё сложнее предыдущего, промежуточные леммы становятся необходимы. Несколько таких лемм — и доказательство станет доступным не только ему и не только тем, кто верит в его правильность, а многим профессиональным математикам.


          Это не камень в огород Мотидзуки. то утверждение, что декомпозиция становится обязательной.

            +7
            Мне кажется, что вы не понимаете что там в этой 1000 страниц происходит. Это не 1000 страниц одной теоремы с одним очень длинным доказательством (или двух теорем с двумя доказательствами). Это 1000 страниц с кучей сранительно небольших теорем связанных общей идеей и каждая со своим индивидуальным доказательством, которые в конечном итоге используются чтобы доказать abc гипотезу.

            Вот например, классический набор книг по мат анализу от Фихтенгольца тоже почти до 1000 страниц доходит. Это куча теорем связанных общей идеей и каждая со своим собственным доказательством. Чтобы осмысленно их прочитать у студентов уходит несколько лет. Но это не значит, что Фихтенгольц не знаком был с декомпозицией или не разбивал материал на части, когда писал оригинальную версию. Та же история и с abc гипотезой — проблема сорее всего несколько глубже чем просто объем доказательства или отсутсвие декомпозиции.
              –2
              Мне кажется, что вы не понимаете что там в этой 1000 страниц происходит.

              Конечно нет. Если верить статье, то те, кто говорят, что понимают, сами другим обьяснить не могут.


              Это 1000 страниц с кучей сранительно небольших теорем связанных общей идеей

              В таком случае проблема понимания может быть уменьшена подтверждением корректности доказательства каждой и уменьшения основного текста. Но такой рефакторинг за шесть лет никто не провел. Или тема не интересна?


              классический набор книг по мат анализу от Фихтенгольца

              Конечно у Фихтенгольца не одна теорема. Но этот пример не доказывает ничего относительно Мотидзуки.

                +5
                Но такой рефакторинг за шесть лет никто не провел. Или тема не интересна?
                Статью читали или тема не интересна? Отрефакторили там всё до следствия 3.12 на пару дестков страниц где сравнивалась мощность каких-то множеств. Все включая автора согласны в том, что доказательство этого пункта эквивалентно доказательству оригинальной теоремы. Внутри этого пункта есть утверждение сравнивающее чего-то там. «Немцы» говорят, что нужно рефакторить этот пункт, но как это сделать — они не в курсе. Японец говорит, что всё здесь очевидно и рефакторить ничего не нужно.
                В таком случае проблема понимания может быть уменьшена подтверждением корректности доказательства каждой и уменьшения основного текста.
                Можно бесконечно разбивать проблему на подпроблемы и никогда не достичь дна. Чтобы что-то доказать, нужно остановится там, где большинству будет очевидно (да, такой прагматизм). Только у всех разное понимание того, что очевидно большинству.
                  +1
                  Только у всех разное понимание того, что очевидно большинству.

                  Большинство — оно на то и большинство, что его можно просто посчитать. Если говорят, что понимают 12 человек — это, конечно, не большинство.


                  Чтобы что-то доказать, нужно остановится там, где большинству будет очевидно

                  Разве доказательства делаются так? Если большинству очевидно, значит верно? Я, честно, не могу вам возразить, но этот подход имеет изъяны. Точные науки — не место для голосований.


                  Отрефакторили там всё до следствия 3.12 на пару дестков страниц где сравнивалась мощность каких-то множеств.

                  Вот только японцы говорят, что это очевидно следует из предыдущих 500 страниц. Отсюда и вся проблема. Если опубликовать отдельную работу на пару десятков страниц, она будет признана (или не признана) намного быстрее, не понадобится столько лет дискуссий.

                    –2
                    В математике очень много допущений. Тут вот и етсь отличие от физики. Математика это инструмент, который подгоняют под нужные условия чтоб пользоваться. Потому очень много встречается «Допустим», «предположим» и т.д. Математика это не школьная арифметика с геометрией, это сильно шире.

                    Как вы себе представляете, взять и сократить работу?? Если понадобилось 500 страниц, значит нельзя взять и выкинуть. И плевать сколько кто то будет проверять. Важно всё. Важно не то как быстро это примут, а чтоб было возможно повторить.
                      0

                      «Допустим», «предположим» — инструменты для строгого доказательства от противного.
                      Приведите, пожалуйста, пример допущения.

                        0
                        Я бы начал с самого начала, того что выбирается за аксимоы в той или иной системы. Это всего лишь предположения, с помощью которых «вроде бы» получается описать то что нам хочется.
                          0

                          Начало хорошее. А есть ли то, чем продолжить?

                            0
                            Отбрасывание некоторых слагаемых как «несущественных». Тоже прибавляет точности?
                              0
                              Если речь об «о малых», за ними стоит абсолютно строгий формализм.
                                0
                                Это вы гооврите основываясь на опыте оценке сложности алгоритмов? Все бы так отбрасывались, и космологическую постоянную в частности. (тут я конечно занимась уже передергиванием уже)
                                  0
                                  Я это говорю, основываясь на опыте первого семестра матана на мехмате. У человека, имеющего этот или аналогичный опыт, вопросов по поводу строгости о-нотации возникнуть не может.
                                    0
                                    Не переживайте Вы так, я вот в свое время закончил матфак ;) Мне просто интересно послушать кто что по такой теме скажет :)
                                0
                                Отбрасывание некоторых слагаемых как «несущественных». Тоже прибавляет точности?

                                Отбрасывание уменьшает точность гораздо слабее, чем упрощает модель. Если нагреть тонну воды на один градус, то её масса увеличится на долю грамма. Но во многих расчетах эта доля грамма не учитывается.

                            0
                            Ну и далеко не только для от противного оно используется. Там есть и другие вариации с косвеными доказательствами.
                            А вообще, проблема чаще в других случаях, когда постоянно работаешь с этим ты интуитивно понимаешь как «подогнать» теорему к обсуждаемому контексту, но находятся те, кто делает для менее опытных «готовые случаи» (монографии что ли называется?) когда и как надо использовать, и вот тут уже и случается, что искажается реальное состояние дел, т.е. вроде бы все верно, но по факту теоремы, приведенные в таком виде, могут быть верны и при более слабых условиях.
                          0
                          Большинство — оно на то и большинство, что его можно просто посчитать. Если говорят, что понимают 12 человек — это, конечно, не большинство.
                          Почему? 12 человек, как мне кажется, вполне может быть большинством в такой узкой области, как какая-то там теория натуральных чисел. Другое дело, что для «немцев» большинство — это их коллеги, а для японца — его коллеги. И несмотря на то, что статья написана, как будто японец налажал и пытается это скрыть, я могу его понять: на определённом этапе карьеры можно положить болт на разжевывание своих доказательств другим без особого ущерба репутации.
                          Разве доказательства делаются так?
                          Да.
                          Будь то классическое доказательство или интерпретируемое компьютером, мы будем использовать символы, а за символами будут стоять образы, и у каждого они свои. На вашу попытку заявить, что, мол, есть ассемблер (или машинные коды или любой другой язык с конечным набором символов) и он абсолютен и на нём можно выразить всё, что угодно, я скажу, что нифига подобного, за ассемблером будет стоять процессор, в процессоре — полупроводники, в полупроводниках прыгают электроны, а почему они там прыгают — хер их знает по большому счёту, просто большинство так считает ибо сто раз наблюдало. Никто вам не сможет гарантировать, что когда в один прекрасный день вы лично захотите наблюдать под веществами эти самые электроны, вы не увидите вместо них маленьких пляшущих гномиков. Поэтому да, если большинству очевидно — значит верно. Потому что «верно» (как и «просто», «наглядно», «формально», «логично» и т.п.) — это не абсолютное понятие, а предмет философии и у каждого за этим словом стоит свой образ.
                          Точные науки — не место для голосований.
                          В каком-то смысле это именно место для голосований (т.е. публичного выражения своего мнения), просто прагматизм в науке поставлен на первое место. Это должно исключить ситуации вроде «сегодня голосуем, есть ли Бог». Поскольку этот вопрос поднимался много раз и его обсуждение ни к чему не привело, мы его оставим. По крайней мере до тех пор, пока на настанет Судный День и Ктулху не начнёт всех жрать. А вот когда начнёт — внутреннее устройство Ктулху вполне может стать предметом научного обсуждения. Или почему нимб светится и можно ли его использовать в качестве источника энергии во благо грешникам.
                          Если опубликовать отдельную работу на пару десятков страниц, она будет признана (или не признана) намного быстрее, не понадобится столько лет дискуссий.
                          Ну да, я, блин, излечил всех от рака и мне же беспокоиться о том, что рецепт, видите ли, домохозяйка не понимает. Утрирую, конечно, но даже потенциально неправильное сложное доказательство лучше его полного отсутствия.
                            +1
                            за символами будут стоять образы, и у каждого они свои

                            "У каждого своя правда", ага (на самом деле нет).


                            если большинству очевидно — значит верно
                            сегодня голосуем, есть ли Бог

                            Именно это вы и предлагаете. Если большинству очевидно, что солнце ходит по небу, значит это и верно. На самом деле нет. Это не было верно даже тогда, когда большинство считало именно так.


                            Не имеет значения, что там очевидно большинству. Верно то, что верно. Это никак не поменяется от того, что очевидно большинству. ABC-гипотеза либо верна, либо нет. Вы будете утверждать, что если большинство сменит взгляд на очевидность (переубедят хорошими доводами), то и верность гипотезы изменится? Надеюсь, что не будете. Она либо верна, либо не верна независимо от мнения японских или немецких математиков.


                            Ну да, я, блин, излечил всех от рака и мне же беспокоиться о том, что рецепт, видите ли, домохозяйка не понимает. 

                            Штольц — домохозяйка? Держитесь, пожалуйста, в рамках дискуссии. Потому что эта аналогия работает против вас. Если кто-то уверен, что изобрел лекарство от рака, но не может это подтвердить по правилам доказательной медицины — то нет, ничего он не изобрел.


                            Утрирую, конечно, но даже потенциально неправильное сложное доказательство лучше его полного отсутствия.

                            Потенциально неправильное бесполезно. Никогда ещё в математике ничего не принималось на веру на таких условиях. Как недоказанная гипотеза — да. Но если доказательство потенциально неправильное, гипотеза остаётся гипотезой, а не теоремой.

                              0
                              Именно это вы и предлагаете. Если большинству очевидно, что солнце ходит по небу, значит это и верно. На самом деле нет.
                              Тот факт, что Солнце ходит по небу является, безусловно, верным наблюдением.
                              Это не было верно даже тогда, когда большинство считало именно так.
                              Вы удивитесь, но в системе отсчёта Земли именно Солнце вращается вокруг Земли, а не наоборот.
                              Вы будете утверждать, что если большинство сменит взгляд на очевидность (переубедят хорошими доводами), то и верность гипотезы изменится?
                              Есть доказанное утверждение, есть опровергнутое утверждение. Открытая гипотиза не относится ни к одному их этих множеств. Потому что, внезапно, может оказаться, что существует доказательство того, что доказательства гипотизы не существует. Примеры недоказуемых гипотиз: «Земля неподвижна относительно эфира», «Бог есть», «у каждого своя правда».
                              Если кто-то уверен, что изобрел лекарство от рака, но не может это подтвердить по правилам доказательной медицины — то нет, ничего он не изобрел.
                              А кто решает, может он подтвердить или нет?
                              Ну вот сто человек из ста исцелились. Доказано или ещё нет? А если тысяча? А вдруг выборка была неподходящей? Ок, тогда он ничего не изобрёл. А потом сделали «правильную» выборку — и всё равно работает. Изобрёл? А вдруг они и сами бы вылечелись? Тогда не изобрёл. А тут ещё новый вид рака обнаружили, где лекарство точно не работает. Так изобрёл или нет? Или в принципах доказательной медицины написано что-то про известные виды рака? Тогда становится вопрос, кому известные? Мне, ему или большинству? Или по списку? А что, если в существующем списке 20.000 наименований и у большинства практикующих врачей есть замечания по, как минимум, одному пункту? А если они вообще все ошибаются и святая вода приносит больше пользы? Тогда медицина, выходит, вовсе не наука?
                              Потенциально неправильное бесполезно.
                              Это утверждение ещё более бесполезно, а вот потенциально неправильные доказательства переходят в разряд «правильных» с минимальными изменениями сплошь и рядом, поэтому они вряд ли совсем бесполезные.
                                0
                                Солнце вращается вокруг Земли

                                А в сферической геометрии Земля является плоской? В целом это ваше право считать, что Солнце вращается вокруг Земли, но к делу это отношения не имеет. Вращение происходит вокруг центра масс. Земля вокруг Солнца — это небольшая условность, потому что центр масс внутри Солнца. А Солнце вокруг Земли — это сова на глобусе, которая приводит к системе Птолемея. Пользоваться можно, но только через боль и страдания.


                                может оказаться, что существует доказательство того, что доказательства гипотизы не существует

                                Может. И это, по-вашему, тоже зависит от мнения большинства? Вчера считаем, что гипотеза доказана, а сегодня считаем, что доказательства не существует? И были правы и сегодня и вчера? Или всё-таки ошибались или вчера или сегодня?


                                А кто решает, может он подтвердить или нет?

                                На текущий момент лучшим способом является двойное слепое плацебоконтролируемое исследование на большой репрезентативной выборке. Все ваши "вылечил сто, вылечил тысячу", конечно, хуже. Этим можно пользоваться как упомянутой системой Птолемея. Если больше ничего нет, приходится соглашаться, вдруг повезет и лекарство сработает.


                                Если появится более точный способ оценки лекарств (а он, конечно, возможен, но пока неизвестен), будет круто. Но пока так.

                                  0
                                  А в сферической геометрии Земля является плоской? В целом это ваше право считать, что Солнце вращается вокруг Земли, но к делу это отношения не имеет. Вращение происходит вокруг центра масс. Земля вокруг Солнца — это небольшая условность, потому что центр масс внутри Солнца. А Солнце вокруг Земли — это сова на глобусе, которая приводит к системе Птолемея. Пользоваться можно, но только через боль и страдания.
                                  Ну вот вы только что похерили всю физику с методом относительности.
                                    0

                                    Нет. Я не утверждал, что в системе Птолемея процессы идут по-другому. Просто вы запаритесь считать, а точность будет, по современным меркам, на нуле.


                                    И на всякий случай обращу ваше внимание, что принцип относительности для инерциальных систем отчета. Вы можете, условно, считать Землю такой, когда рассматриваете вещи на земле. Но считать инерциальной систему земля-солнце с центром на земле нельзя.

                                    +1
                                    Я смотрю, я тут совсем не нужен: сами понапридумываете, сами с собой и поспорите.
                            +3
                            Отрефакторили там всё до следствия 3.12 на пару дестков страниц

                            Хотел сказать, что с этим пунктом согласен. Теперь отрефакторили. И именно это и продвинуло проблему далеко вперёд. Теперь уже не пишут "не понятно", пишут "вот этот пункт не очевиден". И это правильно. Думаю, вопрос не будет висеть ещё 6 лет. Либо неочевидность прояснят, либо изначальную работу не будут считать доказательством abc-гипотезы.

                              0

                              "доказательство этого пункта эквивалентно доказательству оригинальной теоремы"
                              "На самом деле оно [доказательство abc] будет таким великим, что автоматически раскроет многие легендарные математические загадки. Одной из них будет Великая теорема Ферма… решена совсем недавно в 1993 году Эндрю Уайлсом. Доказательство Уайлса принесло ему более 100000 немецких марок призовых денег..."


                              Если "3.12 -> abc -> многие легендарные математические загадки", то математикам надо просто официально об этом объявить и указать сумму призов за все эти легендарные задачки. После чего на 3.12 сразу накинется армия тех, кто раньше занимался теоремой Ферма.

                    +6
                    А чего они всё обсуждают-то? Гипотеза ведь доказана уже.
                      0
                      Видимо ценность имеет не столько факт доказательство сколько логика лежащая в его основе. И параллельные варианты интересны сами по себе.
                        +1
                        Доказательство должен кто то перепроверить чтоб убедиться что это так. А тут такое, что не очень однозначно. Потому и разбираются.
                        habr.com/post/183374
                          0
                          Из abc-гипотезы следует конечность числа контрпримеров для гипотезы Била. abc-гипотеза более общее утверждение, так что даже если бы гипотеза Била была бы доказана (что неверно, миллион долларов за неё никто не получил), то обсуждать было бы что.
                            0

                            А что общего у этих двух теорем? Тут в выражении (A^a + B^b = C^c) любое из значений a,b,c может быть равно 1.

                              +12
                              Перепись не умеющих в сарказм проходит плодотворно.
                                –2
                                В письменной речи для сарказма обычно ставят кавычки. Так как нет ни выражения ничего что бы могло показать человек дурак и правда так считает, или это сарказм. Вас лично тут никто не знает чтоб можно было преполагать.
                                  0
                                  «Поэтому, разумеется, нужно заранее считать собеседника глупее себя.»
                                    0
                                    Во, теперь норм. image
                                    После объединения хабра с гиктаймсом обратно, я не удивлюсь, что человек может просто не знать деталей/что либо еще. Или тот кто его потом прочитает может не знать. Я не упрекал изначально, а просто поделился ссылкой. Упрек последовал на Ваш выпад уже.
                                  +1
                                  Для сарказма необходимо, чтобы в выражаемом тоже был смысл!
                                    –2
                                    Порой сложно поверить, но в 2018 году все еще остаются люди, не понимающие, что текст не передает эмоций, они рождаются в мозгу читателя. Вы бы как-то развивались, что ли.
                                      0
                                      Ну да. И вопрос об эмоциональной окраске текста лишён смысла, а нейросети всяких фейсбуков, пытающиеся эту окраску определять, занимаются какой-то антинаучной хренью.

                                      Давайте пойдём дальше: вопрос о смысле текста также лишён смысла, поскольку смысл рождается в мозгу. Следовательно, ваше сообщение бессмысленно, и вы вполне могли его не писать.
                                        0
                                        Фейсбук решает эмоциональную окраску не по одной строчке, а по всему контексту переписки/диалога/текста. Так что Ваше передергивание тут лишнее. Да и очередной выпад тоже.
                                          0
                                          Они определяют окраску по фразам, словам, порядку слов и других признаках, которыми в неком социуме принято передавать некие эмоции. Мозг читателя, в контексте формальных и неформальных правил этого социума распознает эмоции и рождает ответные. Причем он может воспринять один и тот же текст как оскорбление от представителя группы А и как похвалу от представителя группы Б. Если текст не содержит нужных признаков, а ваш текст их не содержит, то считывать нечего.
                                            0
                                            То есть вы утверждаете, что по моему сообщению невозможно понять, сарказм оно или нет?
                                      –1

                                      Мне кажется, когда эти ботаники приезжали к Мотидзуки, ему следовало провести доказательство на татами.

                                      +2
                                      Подход Мотидзуки к abc-гипотезе переводит задачу в область эллиптических кривых, особого типа кубических уравнений с двумя переменными, x и y. Этот переход, известный ещё до Мотидзуки, выполняется просто – нужно связать каждое abc-уравнение с эллиптической кривой, чей график пересекает ось x в точках a, b и в начале координат (тот же самый переход находится в центре доказательства Великой теоремы Ферма от 1994 года, выполненного Эндрю Уайлсом).

                                      Ну наконец-то нам объяснили суть. Вот только почему Мотидзуки не сделал этого сам после публикации? Выглядит так, как будто специально хотел напустить туману. Также получается, что никаких революционно новых идей в его доказательстве нет. Обидно.
                                        0
                                        Ну наконец-то нам объяснили суть

                                        Не думаю, что это объяснение. Мотидзуки может и хотел напустить тумана, но все-таки эту работу изучали лучшие специалисты в теории чисел. И Мотидзуки, кстати, проводил семинар по теме.
                                          +1
                                          Я очень давно не следил за темой. Он разве не отшельник? Вроде к нему кто то собирался съездить, чтоб поразбираться что и как и потом донести до остального мира.
                                          Что то слабо верится что эти пара строк могут быть сутью тех 512 страниц) думается тут просто один из «механизмов»
                                            0
                                            Он разве не отшельник?

                                            Да вроде бы нет. Были организованы семинары, там собрались специалисты в теме. Выступал и Мотидзуки и те, кто «понял» доказательство. Но насколько я понимаю, ясности все равно не было.
                                              +1
                                              Что то слабо верится что эти пара строк могут быть сутью тех 512 страниц
                                              Проблемное следствие — не суть доказательства, а ключевое место которое никто не может понять верно оно или нет. Это не значит что все остальное побочно или вообще неважно, это значит что со всем остальным (или как минимум со всем перед) математики более-менее согласны.
                                            0
                                            Уместно вспомнить отрывок из рассказа «Как писать научные работы» в книжке «Физики шутят»:
                                            «Наибольший успех достигается с помощью такого приема: из готовой рукописи вы вырываете две страницы выкладок, а вместо них вставляете слово „следовательно“ и двоеточие. Гарантирую, что читатель добрых два дня будет гадать, откуда взялось это „следствие“. Еще лучше написать „очевидно“ вместо „следовательно“, поскольку не существует читателя, который отважился бы спросить у кого-нибудь объяснение очевидной вещи. Этим вы не только сбиваете читателя с толку, но и прививаете ему комплекс неполноценности, а это одна из главных целей».
                                            0
                                            Я, конечно, погорячился, что «ничего нового», забираю свои слова обратно. Собственно, работа-то называется «Интер-универсальная геометрия Тейхмюллера», а не доказательство abc-теоремы, справедливость которой является лишь следствием. Суть драмы я так понял а том, что это следствие никто и не видит. Возможно именно потому, что не понял суть «Интер-универсальной геометрия Тейхмюллера», которая в этой статье даже и не упоминается.

                                            Мне эта ситуация напомнило преобразование Фурье, которое тоже сразу не хотели признавать. И вряд Фурье и другие математики того времени могли предположить, что с его помощью в будущем будут сжимать звук, блурить картинки и вычислять конечные автоматы)
                                              0
                                              «Интер-универсальная геометрия Тейхмюллера»


                                              Немного поправлю — «Интер-универсальная теория Тейхмюллера». Я пробовал это читать. Из любопытства.
                                                –10

                                                Да ну, какие то мутные чуваки с еврейскими фамилиями и явно на гранты американские, впаривают 1000 страниц непонятной фигни. Это пропаганда все антироссийская!
                                                Да и вообще математика слишком абстрактная, то есть не может считаться наукой, если ничего проверить нельзя без самой математики. Это все на западе придумали, что бы нанимать вместо исключительно гениальных мужчин, тупых баб по квотам.

                                                  +1
                                                  Математика — это язык. Придумана тогда, когда «запада с тупыми бабами по квотам» ещё не было. Может ли язык считаться наукой — вопрос отдельный и на суть математики никак не влияет.

                                                  Как язык, математика постоянно развивается, как в прикладном, так и в теоретическом виде. Математику развивают математики, добавляя в неё новые элементы и связи между ними. Так вот, чтобы гарантировать целостность и непротиворечивость математики, и нужны доказательства. Поэтому, в том числе, математика доказывается языком математики — чтобы оставаться самодостаточной.

                                                  В школе нас учили, что числа на ноль делить нельзя — потому что получается непонятно что. Но если это «непонятно что» определить, и задать непротиворечащие связи с другими элементами в математике — то всё вполне можно. В компьютерной арифметике с плавающей точкой деление на ноль даст ±бесконечность или NaN. При вычислении пределов функций в точке деление на ноль может дать вполне конкретное число — например 1 при sin(0)/0, где 0 является значением функции х. Или мы можем поделить на ноль с мнимой единицей, и тогда мнимая величина в результате «запомнит» первоначальное значение. В поле комплексных чисел определены также и логарифм от отрицательного числа, и арксинус с аргументом больше 1, и множество других интересных вещей.
                                                    0
                                                    Я, кстати, не уверен что вся математика может считаться языком. Мне кажется правильно это называть инструментом, потому что у языка в математике есть строгое определение. Впрочем я не готов начать подробную дисскуссию на тему подходит ли оно целиком к математике, у меня банально знаний не хватит уже.
                                                      +1
                                                      На самом деле математика настолько прочно вошла в наше мировосприятие, что мы этого просто не замечаем. Понятное дело, мало кто уходит дальше таблицы умножения, но ещё меньше тех, кто путается в основах — числах и количественно-сравнительных характеристиках. Даже самого тупого гопника вы не сможете обдурить, разменяв ему одну бумажку в 5 тысяч рублей на 4 бумажки по тысяче. Когда мы видим незнакомый объект, мы сразу оцениваем его ширину/высоту/длину/вес/цвет/текстуру/материал в абстрактных единицах, а не «размером с крупного быка цвета горы Фудзиямы во время заката солнца в день Ивана-Купалы такой, что даже целая куча людей его сдвинет с трудом». Расстояние мы мерим в километрах или часах езды, а не «пока захочется есть так, что готов слона съесть»; или «когда износится две пары по две пары сапог», или «когда капитан выкурит две трубки табаку».

                                                      Даже чувства и эмоции мы привыкли измерять количественно. Никто не поверит в твоё счастье, если у тебя нет кучи денег. Никто не поверит в твоё несчастье, если у тебя есть куча денег. Радость интимной близости женщины (некоторые) измеряют длительностью акта, а мужчины (некоторые) их количеством (за ночь) или количеством партнёрш (за жизнь). И т.д.

                                                      Даже самые популярные когнитивные искажения — «после не значит вследствие» и «смена местами причины и следствия» — являются следствием попытки установления (одномерных) причинно-следственных связей и цепочек из них, в которых последовательность расположения событий на временной оси имеет ключевое значение.
                                                      0

                                                      Люто плюсую, а типичному лентачеру, которому вы оппонируете своей хлёсткой пощёчиной по глупой морде — минус в карму. Спасибо вам за ваш комментарий.

                                                        –2
                                                        Поэтому, в том числе, математика доказывается языком математики — чтобы оставаться самодостаточной.


                                                        Ну вот зачем вы так пишете! Мы же с вами знаем, что так нельзя, что это просто ненаука тогда, как т.н. социлогия или психология. Я тут полностью на вашей стороне — наука это только то, в чем я лично разбираюсь.

                                                        В школе нас учили

                                                        Спасибо за цитирование «10 всем известных фактов о математике, которые типа делают меня умнее». Я как раз начал их забывать.
                                                  0

                                                  Пора уже валидацию доказательств поручать машине. Слишком сложные доказательства становятся, надо иметь надежный фундамент для верификации доказательств. А то получается, что рассматриваются вопросы веры, а не реального положения дел.

                                                    0
                                                    Ну что-то такое вроде есть… но это надо 0xd34df00d спрашивать, он в теорем пруверах шарит. Я так, мимокрокодил.
                                                      0

                                                      Есть, но почему-то никто не пользуется. Слышал, что, дескать, все с ними сложно и они сильно тупят. Но мне кажется, рано или поздно к этому придем. Это лишь вопрос времени.


                                                      Должно быть так: вжух, и доказательство провалидировано. И все счастливы, а по вопросам веры следует обращаться в другую организацию.

                                                        +4

                                                        Валидировать действительно вжух, а вот писать его в пруверопроверяемом формате действительно сложновато. Серьёзно, представьте себе наитупейший ассемблер, где нужно отдельно писать и доказывать лемму, что если s' < s, то s' + s1 + s2 < s + s1 + s2, и выглядит это в итоге примерно как


                                                        ltPlus : (n, m, k : Nat) -> (n `LT` m) -> plus n k `LT` plus m k
                                                        ltPlus Z (S m) k (LTESucc x) = LTESucc $ rewrite plusCommutative m k in lteAddRight k
                                                        ltPlus (S n) (S m) k (LTESucc x) = LTESucc $ ltPlus n m k x
                                                        
                                                        ltSubPlusPlus : (s, s', s1, s2 : Nat) ->
                                                                 (prf : s' `LT` s) ->
                                                                 (plus (plus s' s1) s2) `LT` plus (plus s s1) s2
                                                        ltSubPlusPlus s s' s1 s2 prf = let p0 = ltPlus s' s s1 prf in
                                                                                       ltPlus (plus s' s1) (plus s s1) s2 p0

                                                        И это кусок доказательства на самом деле очень очевидного факта, что выражения из if/then/else, true и false нормализируются — всегда за конечное число шагов превращаются в true или false, который на человеческом языке доказывается одной фразой «размер терма уменьшается на каждом шаге вычисления, а множество натуральных чисел фундировано». Писать в таком стиле доказательства вещей вроде теоремы из поста — это застрелиться можно. Это смело увеличивайте число страниц в статье в 100-1000 раз.


                                                        А как доказывать в рамках языка, например, нормализацию STLC, я вообще не представляю.


                                                        Но я на самом деле тоже ненастоящий сварщик, просто упарываться завтипами логично после упарывания хаскелем, а упарываться доказательствами логично после упарывания завтипами.

                                                          +1
                                                          Не успел дописать, так вот.

                                                          Собственно, это на самом деле означает, что текущие пруверы весьма примитивны и низкоуровневы, и надо их ковырять и развивать дальше, традиционно повышая уровень абстракции (а не лишь нарабатывая библиотеки, как делает, например, Coq, там просто все эти леммы в таком уродливом виде написали до вас, ну и там есть crush tactic, которая делает что-то, похожее на брутфорс доказательства).

                                                          Цветная теория типов выглядит интересной в этом плане. Eщё я слышал про какие-то успехи в плане упрощения доказательств в CTT. Но я (надеюсь, пока) слишком тупой, чтобы это всё как-то ковырять.
                                                      0
                                                      К сожалению, задачи SAT и UnSAT пока ещё в классе NP.
                                                      +1
                                                      Процитирую тут полностью вот эту небольшую заметку:
                                                      Я не помню, писал ли об этом раньше, но если в двух словах: ABC-гипотеза это открытая проблема в теории чисел, из которой, если ее доказать, следует много других важных результатов. В 2012-м году японский математик Мотидзуки, вполне известный и уважаемый, объявил, что нашел доказательство, и опубликовал несколько длинных препринтов, по сути развивающих целую новую теорию, из которой следует ABC-гипотеза. Однако до сих пор ведущие математики в этой области не смогли убедить себя в том, что он действительно это доказал, и доказательство Мотидзуки остается в «подвешенном» состоянии уже 6 лет. Необычно тут также то, что есть некоторое число математиков (кажется, все японцы?), которые утверждают, что проверили доказательство и все правильно, но этим математикам тоже не удается убедить других.

                                                      Журнал Quanta опубликовал сегодня подробную статью, в которой это пересказывается: Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture. Там рассказывается, что в марте этого года два немецких математика, Шольце и Стикс, провели неделю в интенсивных беседа с Мотидзуки в Токио, и в результате объявили, что по их мнению гипотеза остается недоказанной, и подробно описали самое проблематичное место, с их точки зрения. Петер Шольце особенно известен из этих двоих — молодой и уже супер-знаменитый немецкий математик (получил премию Филдса в этом году). Мотидзуки, разумеется, с этим их заявлением не согласен.

                                                      Интересно, что еще в прошлом году, в комментариях к хорошей и подробной блог-записи о всей этой истории: The ABC Conjecture Has Still Not Been Proved — некто «PS» — не кто иной, как Петер Шольце — написал об этом же самом проблематичном месте в доказательстве в довольно интересных терминах (т.е. последующий визит к Мотидзуки в марте его не переубедил).

                                                      Согласно Шольце, большая часть статей — довольно тривиальные леммы, которые легко следуют из определений, а потом в одном месте говорится: «Если интерпретировать предыдущее обсуждение в терминах нотации, введенной в Следствии 3.12, из этого следует [главное неравенство]». Шольце не понимает, почему «из этого следует» и как следует, и утверждает, что ни в одном из последующих пересказов теории Мотидзуки другими «понявшими» это не объясняется. Более того, «те, кто утверждают, что понимают доказательство, не соглашаются признать, что в этом месте надо что-то специально объяснять». Мне сразу приходят на ум какие-то научно-фантастические метафоры, типа того, что теория Мотидзуки — это такой тайный способ действия на мозг и перевода его в измененные состояния, и у тех, кто «понимают доказательство», на самом деле хакнутый мозг и они искренне не понимают, почему это утверждение неочевидно...
                                                        +3

                                                        На самом деле нетривиальные или противные для формального доказательства места часто прячутся за формулировками вроде «observe that X holds for Y» или вообще «a minute thought should convince you that Z». И ведь правда, если подумать, то убеждает!

                                                          0
                                                          «Нетрудно показать, что...» (с) Ландау, из анекдота
                                                          0
                                                          кажется, все японцы

                                                          Ну еще Иван Фесенко точно верит в ее доказанность.
                                                          –5
                                                          Очень полезным делом заняты математики, порадуемся за них.
                                                            +1
                                                            В прошлом веке нашлись люди, которые нашли много полезных дел для других людей, но в конце концов пришли другие люди и нашли полезные дела и им. А мы до сих пор разгребаем те полезные дела и местами тоже заняты
                                                              0

                                                              Вот именно, скажем им спасибо за теорию чисел, криптографию, теорию информации, алгоритмы передачи данных, алгоритмы сжатия, сети, теорию транзакций… И многое-многое другое.

                                                              0
                                                              Никогда не разбирался в математике. Как можно шесть лет искать ошибку в доказательстве? Ведь математика точная наука. Если доказали, то доказали
                                                                +1
                                                                Наука точная ровно настолько, насколько точны люди.
                                                                  +1
                                                                  s/точны/упорны/

                                                                  Вам никто не мешает написать текст математического доказательства в виде, например, высказываний логики первого порядка, и потом абсолютно синтаксически проверить этот текст. Просто выглядеть это будет сильно объёмнее.
                                                                    +1
                                                                    Древнегреческие архимеды, если не ошибаюсь, писали свои теоремы и их доказательства, едва ли не стихами.
                                                                    Ныне выглядит несколько диковато.
                                                                  0
                                                                  Ну наприме, доказательство теоремы о классификации простых конечных групп занимает где-то 15 000 страниц и никогда целиком не было опубликовано одним изданием. Очень трудно быть уверенным, что никто из тех людей, которые ее доказывали нигде не ошиблись
                                                                    +1

                                                                    Но ведь наверняка возможно разбить доказательства на адекватные по размеру блоки и проверить все по частям?

                                                                      0
                                                                      Но ведь наверняка возможно разбить доказательства на адекватные по размеру блоки и проверить все по частям?

                                                                      Ну в каком-то смысле так и происходит. Но что значит проверить? Некие специалисты в данной теме проверяют доказательство, скажем, леммы 3.12.1. И говорят все ОК! Но ведь они тоже могли ошибиться, также как авторы оригинала. Они такие же люди. В теореме о простых конечных группах так и находят мелкие ошибки временами, обычно, их все исправляют.
                                                                    0
                                                                    Такими рассуждениями можно дойти до:
                                                                    Как можно было тысячелетиями развивать математику, там же все просто — взял и доказал?
                                                                    0
                                                                    равное 32,11
                                                                    примерно же!
                                                                      0
                                                                      ИМХО если доказательство не понимают большинство математиков, оно должно оставаться гипотезой и над ним должна продолжаться работа по упрощению доказательства. А тут не просто большинество математиков не понимают, а, похоже, лучшие в мире не понимают. В идеале каждое доказательство должно быть выражено в виде компьютерной программы.
                                                                        +1
                                                                        Интересно, раньше как-то пропустил про эту гипотезу.
                                                                        Построил график числа троек от N при Eps=0.2, действительно он растет очень медленно, и возможно где-то совсем перестает расти:
                                                                          0
                                                                          Если кому интересно, вот последний отчёт.
                                                                          Вообще на данный момент теорему критикуют в основном неспециалисты.

                                                                          В частности, отчёт Ивана Фесенко прямым текстом называет статью на кванте дезинформацией.
                                                                          An example of organised disinformation is a recent article in a journal called quanta. That article consists almost entirely of opinions of non-specialists. Its author (not a professional mathematician) declined suggestions to make the article accurate and much less biased by increasing the ratio of experts opinions from current almost zero, by correcting numerous incorrect statements, and by including information about the level of expertise in
                                                                          the subject area of each cited mathematician.


                                                                          Fact 1. No valid concrete math evidence of any serious fault in IUT has been given so far by anyone. Moreover, IUT is so robust that it allows various further stronger extensions.

                                                                          Fact 2. To become in expert in IUT, one has to invest something like 2 years of continuous work. There is a 2-digit number of pundits in IUT in 2018, from 6 countries. Time dedicated to the work leading to IUT and to its study by others exceeds 50 years. Hundreds of questions about IUT have been answered, they included very interesting comments and remarks. In terms of its mathematical value and invested effort this stands in contrast with the study of IUT by Scholze and Stix whose attempt to find a possible ’fault’ in IUT was unsuccessful.

                                                                          Fact 3. The main compulsory prerequisite for IUT is arithmetic anabelian geometry developed in 1990–2014 in Japan. There were/are no active experts in arithmetic anabelian geometry or IUT in 2012/2018 in several mathematically prominent countries including USA. Experts in IUT have not made public negative remarks about it. They do not participate in internet discussions on IUT and almost none among them gives interviews.

                                                                          Fact 4. Almost all negative remarks about IUT come from a very small group of people working in areas far from anabelian geometry, their associates, or even from people with no arithmetic geometry track record. The authors of those opinions often behave irresponsibly by talking about mathematics they do not know and by misleading other people who cannot distinguish an expert from a non-specialist. Some internet texts about IUT are so incorrect that they can induce opinions which are antipode to the truth. Mass media articles about IUT typically mix pundit opinions with that of people who have empty research track record in the subject area, and these articles do not inform about the expertise of people they quote, thus misinforming their readers

                                                                          Вообще, после следующего абзаца, статья выглядит просто желтухой.
                                                                          Since 2014 or even earlier Scholze started to tell publicly at various workshops about ’faults’ in IUT. I wrote to him a couple of times asking to do things properly: tell precisely what were the ’faults’ with IUT he knew and to communicate with the author of IUT instead of publicly telling negative things about IUT. He declined to participate in our 2015 Oxford IUT workshop where one could learn many relevant things. Eventually, Scholze sent only one very vaguely and broadly stated question to Mochizuki in May 2015. The author of IUT responded to him with a long email, also kindly offering to conduct discussions via email to
                                                                          address any questions. Scholze responded he was too busy and stopped the email correspondence at that time. Part of this is stated on p.3 of the main Mochizuki’s report9 at his new page10 where all files deserve attention.
                                                                          Scholze continued to publicly talk that something was wrong with IUT. I invited him to visit and discuss, but to no avail. After a long time, he came with Stix to Kyoto in March 2018 just for 5 days. Apparently without any ready ’faults’ to indicate and searching for some other ’errors’ in IUT. Mochizuki writes about this further on the same p.3, ’On the other hand, the March 2018 discussions centered around quite different issues, such as (Ind1,2)’. Ind1,2,3 are three fundamental indeterminacies one needs to allow in order to have certain functoriality/multiradiality in IUT. By the end of their short visit Scholze–Stix came with their own strange version of IUT based on their fundamentaly incorrect oversimplification of IUT by identifying all isomorphic rings with one another. This oversimplification is entirely inappropriate for anabelian geometry and IUT, and the reaction of experts to this oversimplification can be read in sect.18 of the report11. This oversimplification strikes as incorrect even people far from number theory, e.g. math physicists and categorists. In particular, the position of Scholze–Stix weirdly denies the use of anabelian geometry in IUT. No other learner of IUT has ever had any problems with (Ind1,2).
                                                                            +2
                                                                            В частности, отчёт Ивана Фесенко прямым текстом называет статью на кванте дезинформацией.

                                                                            Иван Фесенко и Мотидзуки должны всего лишь, объяснить почему Шольце неправ. Им не нужно, критиковать статью в Кванте, объяснять непрофессионализм других, или рассказывать почему IUT сложная. Учитывая, что они этого не делают, зато обвиняют одного из величайших современных математиков Шольце в том, что он не компетентен есть серьезные основания полагать, что проблема на их стороне.
                                                                              0
                                                                              Начнём с того, что Шольце, хотя он возможно и неплохой математик, не является профессионалом в области анабелевой геометрии и, соответственно, не может судить о том, корректно доказательство или нет.
                                                                              Более конкретно ситуация описана в последнем приведённом мной абзаце:
                                                                              Since 2014 or even earlier Scholze started to tell publicly at various workshops about ’faults’ in IUT. I wrote to him a couple of times asking to do things properly: tell precisely what were the ’faults’ with IUT he knew and to communicate with the author of IUT instead of publicly telling negative things about IUT. He declined to participate in our 2015 Oxford IUT workshop where one could learn many relevant things. Eventually, Scholze sent only one very vaguely and broadly stated question to Mochizuki in May 2015. The author of IUT responded to him with a long email, also kindly offering to conduct discussions via email to address any questions. Scholze responded he was too busy and stopped the email correspondence at that time. Part of this is stated on p.3 of the main Mochizuki’s report9 at his new page10 where all files deserve attention.
                                                                              Scholze continued to publicly talk that something was wrong with IUT. I invited him to visit and discuss, but to no avail. After a long time, he came with Stix to Kyoto in March 2018 just for 5 days. Apparently without any ready ’faults’ to indicate and searching for some other ’errors’ in IUT. Mochizuki writes about this further on the same p.3, ’On the other hand, the March 2018 discussions centered around quite different issues, such as (Ind1,2)’. Ind1,2,3 are three fundamental indeterminacies one needs to allow in order to have certain functoriality/multiradiality in IUT. By the end of their short visit Scholze–Stix came with their own strange version of IUT based on their fundamentaly incorrect oversimplification of IUT by identifying all isomorphic rings with one another. This oversimplification is entirely inappropriate for anabelian geometry and IUT, and the reaction of experts to this oversimplification can be read in sect.18 of the report11. This oversimplification strikes as incorrect even people far from number theory, e.g. math physicists and categorists. In particular, the position of Scholze–Stix weirdly denies the use of anabelian geometry in IUT. No other learner of IUT has ever had any problems with (Ind1,2).

                                                                              Мотидзуки и Фесенко никому ничего не должны, в том то всё и дело. У профессионалов, число которых уже измеряется двухзначными цифрами, доказательство не вызывает вопросов.
                                                                              Более того, против корректности доказательтва ведётся организованная интернет-компания, хотя про это, впрочем, тоже написано в отчёте.
                                                                              Almost all negative sentiments about IUT on the internet originate from USA, the country where there are currently no active experts with (peer reviewed) research track record even in anabelian geometry. No French, British, Russian, Chinese or Japanese mathematicians are known to have ever publicly said or written anything negative about IUT.
                                                                                0
                                                                                Это довольно странная аргументация по нескольким причинам:
                                                                                1. Для того чтобы понимать какой-то раздел математики необязательно иметь публикации в этом разделе математики, отсутвие публикаций в большинстве случаев просто означает, что человек не занимается активными исследованиями в области — чтобы пользоваться наработками других математиков в области нужно понимать их, но самому быть активным исследователем в области не обязательно.
                                                                                2. Мотидзуки конечно никому ничего не должен, но и математическое сообщество также не должно единогласно считать вопрос ABC гипотезы закрытым и нравится вам это или нет, но штаты представляют довольно значительную часть этого сообщества. Но как бы то ни было вести обсуждение по принципу кто кому чего должен не продуктивно. Как минимум Мотидзуки и компании стоит признать, что существует проблема понимания (если не проблема корректности) и решать ее соответствующим образом, а не отнекиваться говоря, что это очевидно и не вызывает вопросов у тех кто «в теме».
                                                                                3. Факт, что никто из математиков каких-то определенных стран ничего плохого не сказал о теории вообще кажется смешным, учитывая, что количество людей, которые разбираются в теории, согласно автору, это двузначное число. Если это правда, то количество людей, которые вообще касаются этой темы хоть как-нибудь настолько мизерное, что не удивительно, что никто ничего плохого не сказал, не удивительно было бы, даже если никто вообще ничего об этом не сказал.
                                                                                4. Весь тон статьи выглядит, за отсутсвием лучшего слова, религиозным. Чтобы познать истинну вы должны провести X лет в монастыре на вершине одинокой горы питаясь только энергией космоса… Или как в статье, чтобы «познать истинну» вы должны быть экспертом в IUT, а чтобы быть экспертом в IUT вы должны не просто потратить пару лет изучая то, что другие сделали, вы должны быть активным исследователем в области. Это конечно не аккуратное сравнение, а просто чтобы проиллюстрировать проблему со статьей Фесенко. А еще добавьте к этому то, что за исключением пары фраз статья не предлагает никакого объяснения позиций обоих сторон и никакой технической аргументации почему одна из сторон права, а другая нет, и получается, что как самостоятельная работа эта статься Фесенко не содержит ничего содержательного кроме перехода на личности, что не идет на пользу обсуждению.

                                                                                Это конечно не значит, что Штольц и Стикс правы, а Мотидзуки неправ, но основания сомневаться в позиции обоих сторон имеются и просто сказать, что они никому ничего не должны не является решением проблемы.
                                                                                  0
                                                                                  1. Чтобы понимать − нет, чтобы критиковать, чем и занимается Штольц − да. Только эксперт в данной конкретной области математики может утверждать, является ли теорема верной или нет. Это впрочем справедливо для абсолютно любой области науки. Процитирую повторно:
                                                                                  There is a 2-digit number of pundits in IUT in 2018, from 6 countries.
                                                                                  No French, British, Russian, Chinese or Japanese mathematicians are known to have ever publicly said or written anything negative about IUT.

                                                                                  2. Штаты не представляют значительную часть этого сообщества. Более конкретно, критика из Штатов идёт ровно от двух людей − Штольца и Стикса. Математическое сообщество ровно ничего никому не должно, потому что эксперты в области анабелевой геометрии считают теорему верной.

                                                                                  3. Я не очень понимаю, что вы пытаетесь сказать. Двухзначное количество человек, понимающих теорию, на изучение которой требуется выделить около двух лет своей жизни это ОГРОМНАЯ цифра. На каких основаниях вы полагает, что современная математика должна быть простой? Что определенные теории способны понимать, допустим, трёхзначное количество человек на земле?

                                                                                  4. В отчёте Мотидзуки (на который я привел ссылку выше) на 40 страницах подробнейше расписано, как проходил воркшоп, какие вопросы задавал Штольце и какие ответы он получил. Со ссылками на конктретные пункты в работах Модидзуки и форумлами. Ровно к этом отчёту и аппелирует Фесенко. Более того, Мотидзуки регулярно проводит семинары по своей теории на сайте публикует как продвигается обсуждение конкретных вопросов. Какой именно конкретики вы хотите? Сама ситуация со Штольце сжато описана в предпоследеней цитате моего предыдущего комментария.

                                                                                  Я понимаю, какую точку зрения вы пытаетесь донести, но если углубиться в тему, становится понятно, что данная позиция (о сомнительности гипотезы) существует только в пространстве масс-медиа, но не в кругу специалистов.
                                                                                    0
                                                                                    1. Таким образом вы сводите математику к набору верований в то, что «сделали эксперты», что опять же странно. Придумать доказательство теоремы сложнее, чем следовать уже приведенному логическому выводу. Отсюда мое несогласие с вашей позицией, что только избранные эксперты могут утверждать, что доказательство некорректно. Любой, кто может привести строгий аргумент (эксперт или нет), может критиковать доказательство и нет, быть признанным экспертом в области для этого не нужно.

                                                                                    2. Вот тут вы откровенную ерунду говорите. Штаты представляют значительную часть математического сообщества. Не ту часть, которая если верить Фесенко, активно занимется IUT, а значительную часть математического сообщества в целом, и специфично ту часть, которая занималась ABC гипотезой в частности и теорией чисел в общем. Кроме того, Штолц и Стикс все-таки являются немецкими математиками, которые живут и работают в Германии.

                                                                                    3. Это ваша субъективная точка зрения, сравните это с количеством людей профессионально занимающихся математикой, например, и вы увидите, что это число не такое уж и большое. И не нужно приписывать мне мнения, которых я не высказывал, я ни слова не сказал о том, что математика должна быть простой, если вы внимательно прочитаете комментарий, я даже не сказал, что двузначного числа экспертов каким-то образом недостаточно для чего бы то ни было, я просто указал, что аргумент о том, сколько человек «не высказалось» довольно смешной способ демонстрировать математическую корректность и работает в обе стороны.

                                                                                    4. Я прочитал и отчет Мотизуки и статью Фесенко. Ничего против отчета Мотизуки после нескольких прочтений я не имею и мое мнение касается именно статьи Фесенко. Обратите внимание, что даже в отчете Мотизуки прямо сказано, что до сих пор обсуждение было неконкретным, и это хорошо, что обсуждение стало более по существу. И на этом фоне статья Фесенко, это как раз яркий пример обсуждения не по существу.

                                                                                    У нас с вами, очевидно, разное понимание «круга специалистов». Получается, что все «неспециалисты», которые будут применять ABC гипотезу к проблемам, которые не имеют прямого отношения к IUT или анабелевой геометрии должны просто верить на слово Мотидзуки или никогда не применять ABC гипотезу. Для меня это кажется довольно диким, в противном случае любой курс математики для инженеров (да и не только инженеров) можно свести просто к формулировкам теорем и предложить студентам «поверить на слово», что все эти теоремы корректны — это для меня моральный эквивалент вашего подохода.
                                                                                      0
                                                                                      1. Любой действительно может критиковать доказательство, не будучи экспертом, однако его мнение не будет иметь такой же вес, как у эксперта, понимаете? Математика, в каком-то смысле, всвязи с огромным количеством материала для изучения уже стала набором верований. Просто потому, что у отдельно взятого человека недостаточно времени, чтобы проверить все области математики на наличие ошибок. И это не значит, что эти области остаются при этом неверным, просто мы принимаем на «веру», что мнение эксперта верно. Это вынужденный компромисс, решения которому в ближайшее время не предвидится.

                                                                                      2.Да, Штольц и Стикс действительно немецкие математики, перепутал. Я согласен с тем, что Штаты представляют значительную часть мат. сообщества, но тут мы приходим к аргументу из предыдущего пункта — нужно находить какой-то компромисс. Я поясню подробнее дальше.

                                                                                      3. Я неправильно понял вашу мысль, приношу извинения. Но в таком случае сколько человек считать достаточным? Значительную роль в данной ситуации играет тот фактор, что это уникальная для науки ситуация, по сути. И лично мне кажется, что двухзначное количество специалистов это достаточная цифра, чтобы хотя бы публиковать, а потом, когда появятся курсы по этой теме, она будет увеличиваться.

                                                                                      По поводу круга специалистов: вообще да, по сути, те люди, которые напрямую не занимаются данной областью вынуждены либо верить на слово (доверять мнению экспертов) либо отвергать все результаты использующие энную теорему целиком. И это серьезная проблема науки в целом. Я не отрицаю
                                                                                      того, что отдельный математик может разобраться в теории и использовать её в дальнейшем, я считаю, что этого недостаточно, чтобы критиковать. Насколько я понимаю из текста отчётов, Шульц просто не понимает теорему, а следовательно, ни о каком использовании не может идти и речи. Впрочем, если математиками в других областях будут получены результаты, использующие АВС-гипотезу, это будет уже другой разговор.
                                                                                        +1
                                                                                        1. А давайте назначать веса не по количеству строчек в резюме, а по содержатьельности критики, как вам такой подход?

                                                                                        Каждому челевеку, конечно, разбираться во всех аспектах не обязательно, но вот понимать как тот или иной инструмент работает полезно, соответственно, предлагаю разбираться не в каждом конкретном аспекте математики, а только в тех, которыми вы пользуетесь.

                                                                                        2. Зачем? Пусть каждый объяснит свою точку зрения и отвечает на вопросы до тех пор пока кто-нибудь не признает свою неправоту (и соответственно спор будет закончен на этом) или кому-то не надоест (соответственно спор остается открытым). Тут мы вернулись к тому, с чего начали, а именно Мотидзуки, конечно, никому ничего не должен, но это не продуктивный подход к делу, или более точно непродуктивный подход к доказательству чего-бы то ни было, в конечном итоге, доказательство само по себе так же важно как и доказываемая теорема.

                                                                                        3. Опять же зачем придумывать какое-то достаточное число ученых для консенсуса? Ну например, представим, что достаточное количество математиков X согласилось, что теорема T верна, какой полезный результат это согласие дает? Значит ли, что этой теоремой могут пользоваться другие математики? Так они и без этого могут ей пользоваться и доказывать что-то в предположении, что теорема истинна или ложна. Значит ли это что исследования в этой области нужно свернуть и никогда к этому не возвращаться? Я так не думаю, потому что одним из интересных результатов в математике (и не только) является нахождение более простого или исходящего из других принципов доказательства. Они важны, потому что они позволяют понять проблему лучше, объяснить ее большему числу людей и связать ее с другими областями. Если в результате такого исследования обнаружится проблема в оргинальном доказательстве тоже хорошо — лучше об этом знать, чем не знать.
                                                                                          –2
                                                                                          1. Такой подход контрпродуктивен — вам придется объяснять слишком большому количествую людей. Ровно по этой причине специалисты не утруждаются в критике плоскоземельщиков и торсионщиков — у них веса слишком низкие.

                                                                                          Я говорю даже не о том, чтобы разбираться во всех областях сразу, а в том, чтобы разбираться хотя бы в двух. В современной математике это малодостижимо, в чём и состоит проблема.

                                                                                          2. Это слишком долго, поэтому он объясняет в основном специалистам. А вообще Мотидзуки вполне открыт к критике о обсуждениям, у него на личной страничке написано, что он готов вступить в конструктивную дискуссию по мылу с абсолютно любым целовеком, имеющим достаточную подготовку.

                                                                                          3. Ровно так наука и устроена: Х человек проверяют теорему и говорят, что она верна, после чего остальные могут без сомнений ей пользоваться. Я, конечно, несколько утрирую, но наука линейно движется к ровно такой структуре. Это следствие сверхспециализации, о чём я уже писал выше. И теорема Мотидзуки как раз и является тем самым утрированием, уникальным для науки случаем. Как вы вообще себе представляете сколько-нибудь быстрое продвижение науки, если каждый будет лично проходить весь путь развития, допустим, математической мысли, с нуля? Интер-областные исследования обычно не предполагают глубокого понимания материала, но позволяют находить аналогии и связывать разные области. Как правило, для этого не требуется понимание самого доказательства.

                                                                          Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                                                          Самое читаемое