Вот эта задача.

Фактически мы имеем дело с двумя вопросами. И если первый сформулирован явно, то второй остался за скобками: необходимо доказать, что угол наклона плиты неизменен. Без этого сама постановка задачи теряет смысл.

Начнем со второго вопроса.

Поскольку катки катятся без проскальзывания, точкиAиBявляются их мгновенными центрами скоростей. Поэтому скорости\boldsymbol v_D и\boldsymbol v_CточекDиCперпендикулярны отрезкамADиBCсоответственно. Так как обе окружности вписаны в уголH, хордыADиBCпараллельны друг другу, поэтому вектор\boldsymbol v_Dпараллелен вектору\boldsymbol v_C.

В силу отсутствия проскальзывания скорости в точке контакта катка и плиты совпадают.

Согласно теореме о проекциях, проекции векторов скоростей любых двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, одинаковы.

Таким образом, проекции векторов\boldsymbol v_Dи\boldsymbol v_Cна плитуDCравны. С учётом доказанной ранее параллельности этих векторов, получаем равенство:\boldsymbol v_D=\boldsymbol v_C.

Следующий факт из теоретической механики, который мы используем, состоит в том, что если твердое тело совершает плоское движение и скорости двух его точек равны, то это тело движется поступательно. Неизменность угла\alphaдоказана полностью.

Заметим, что обе теоремы являются прямым следствием формулы Эйлера о распределении скоростей в твердом теле.

Теперь мы можем перейти к решению поставленной задачи. Обозначим через\varphiугол поворота большого катка и введем неподвижную декартову систему координатOxyz,как показано на рисунке. ОсьOzперпендикулярна рисунку и смотрит на зрителя.

Скорость центра каткаEравна\boldsymbol v_E=-\dot\varphi R\boldsymbol e_x. ЗдесьR-- радиус катка, а\boldsymbol e_x-- единичный орт осиOx. Угловая скорость катка\boldsymbol \omega=\dot\varphi \boldsymbol e_z.

Воспользовавшись формулой Эйлера, найдём:

\boldsymbol v_D=\boldsymbol v_E+[\boldsymbol\omega,\boldsymbol{ED}].

Поскольку\boldsymbol{ED}=R(\cos\alpha \boldsymbol e_y+\sin\alpha \boldsymbol e_x), получаем

\boldsymbol v_D=\dot\varphi R\Big(\sin\alpha \boldsymbol e_y-(1+\cos\alpha)\boldsymbol e_x\Big).

Как мы уже доказали, плита движется поступательно, поэтому скорость любой точки плиты совпадает со скоростью точкиD.

Найдем кинетическую энергию плиты:

T=\frac{m}{2}|\boldsymbol v_D|^2=m\dot\varphi^2R^2(1+\cos\alpha).

ЧерезSобозначим центр масс плиты. Его скорость равна скорости точкиD, поэтому для радиус-вектора центра масс мы можем написать

\boldsymbol r_S(t)=\int_0^t\boldsymbol v_Dd\tau+\boldsymbol r_S(0).

Откуда

\boldsymbol r_S(t)=(\varphi(t)-\varphi(0)) R\Big(\sin\alpha \boldsymbol e_y-(1+\cos\alpha)\boldsymbol e_x\Big)+\boldsymbol r_S(0).

Потенциальная энергия определена с точностью до добавления произвольной константы, поэтому из написанной выше формулы найдём:

V=mgy_S=mg\varphi R\sin\alpha.

Предположим, что связи идеальны. Далее можно написать уравнение Лагранжа c лагранжианомL(\varphi,\dot\varphi)=T-V, но мы завершим решение методом, который ближе к школьному курсу физики.

Продифференцируем по времени закон сохранения энергии

T+V=\mathrm{const}

после сокращений получаем:

g\sin\alpha+2\ddot\varphi R(1+\cos\alpha)=0.

Отсюда находим

\ddot \varphi R=-\frac{g\sin\alpha}{2(1+\cos\alpha)}.

При этом ускорение любой точки плиты равно

\boldsymbol a=\boldsymbol a_D=\boldsymbol{\dot v}_D=\ddot\varphi R\Big(\sin\alpha\boldsymbol e_y-(1+\cos\alpha)\boldsymbol e_x\Big)

Это, вместе с предыдущей формулой, и даёт ответ задачи.

Отметим, что наиболее популярное в сети решение этой задачи содержит два пробела. Во-первых, отсутствует строгое доказательство поступательного движения плиты. Во-вторых, не обосновано исключение сил реакции катков из итоговой формулы. Данный шаг является корректным именно в силу гипотезы идеальности связей.