Шарнир Гука: решаем задачу из Мещерского / Хабр

(Здесь предполагается, что $\alpha\in(0,\pi/2)$ )

Карданная передача, она же — шарнир Гука. По-английски этот агрегат называется universal joint.

В этой классической задаче интересна не только кинематика. Удивительно, но при постоянных значениях моментов и система может иметь до четырех различных положений равновесия.

То есть «очевидное» соображение в духе «если первый момент больше второго, то валы крутятся в одну сторону, а если наоборот — то в другую» здесь не работает.

Через обозначим центр крестовины и введем две системы координат $O\xi\eta\zeta$ и . Первая система связана с валом , а вторая -- с валом . Оси и $O\zeta$ проходят через перекладины крестовины и перпендикулярны друг другу:

$(\boldsymbol e_\zeta,\boldsymbol e_x)=0.\qquad(1)$

Через $\boldsymbol e_\zeta$ и далее обозначены орты соответствующих осей.
Оси и $O\eta$ проходят вдоль валов и соответственно.

Обозначим через $\varphi$ и $\psi$ углы поворота валов и соответственно.

Валы вращаются вокруг своих неподвижных осей. Поэтому плоскости, перпендикулярные валам, неподвижны. Оси $\xi$ и $\zeta$ лежат в плоскости, перпендикулярной валу. Проекция оси валана эту плоскость не зависит от времени, поэтому от этой проекции можно отсчитывать угол $\psi$ поворота оси $\xi$ или, что тоже самое, угол поворота вала.

Тогда

$\boldsymbol e_y=-\cos\alpha\boldsymbol e_\eta+\sin\alpha\big(\sin\psi\boldsymbol e_\zeta+\cos\psi\boldsymbol e_\xi\big).\qquad(2)$

Используя теорему о сложении угловых скоростей, представим угловую скорость крестовины в базисах обеих систем координат:

$\boldsymbol\omega=\dot\varphi\boldsymbol e_y+\omega_x\boldsymbol e_x=\dot\psi\boldsymbol e_\eta+\omega_\zeta\boldsymbol e_\zeta.\qquad(3)$

Здесь $\omega_x$ -- угловая скорость крестовины относительно системы ; $\omega_\zeta$ -- угловая скорость крестовины относительно $O\xi\eta\zeta$ .

Домножим скалярно формулу (3) на $\boldsymbol e_y$ и воспользуемся соотношением (2):

$\dot\varphi=\dot\psi(\boldsymbol e_\eta,\boldsymbol e_y)+\omega_\zeta(\boldsymbol e_\zeta,\boldsymbol e_y)=-\cos\alpha\dot\psi+\omega_\zeta\sin\alpha\sin\psi.\qquad (4)$

Домножим скалярно формулу (3) на $\boldsymbol e_\zeta$ и используем (1), (2):

$\dot\varphi(\boldsymbol e_y,\boldsymbol e_\zeta)=\omega_\zeta,\quad (\boldsymbol e_y,\boldsymbol e_\zeta)=\sin\alpha\sin\psi.\qquad(5)$

Из формул (4), (5) находим:

$\dot\varphi=-\frac{\dot\psi\cos\alpha}{1-\sin^2\alpha\sin^2\psi}.\qquad(6)$

Теперь для решения поставленной задачи удобнее всего использовать принцип Даламбера--Лагранжа:

$(J_1\ddot\varphi-M_1)\delta\varphi+(J_2\ddot\psi-M_2)\delta\psi=0.$

с виртуальными перемещениями, найденными из формулы (6):

$\delta\varphi=-\frac{\delta\psi\cos\alpha}{1-\sin^2\alpha\sin^2\psi}.$

В частности, уравнение для положений равновесия системы имеет вид:

$M_1\delta\varphi+M_2\delta\psi=0.$

Откуда при $M_2\ne 0$ находим

$\sin^2\psi=\frac{1-\mu\cos\alpha}{\sin^2\alpha},\quad \mu=\frac{M_1}{M_2}.$

Если правая часть этого уравнения находится в интервале , то оно имеет четыре решения относительно $\psi$ на интервале $[0,2\pi)$ . Эти решения соответствуют положениям равновесия.

Интегрируя равенство (6), получим:

$\varphi=-\cos\alpha\int\frac{d\psi}{1-\sin^2\alpha\sin^2\psi}=-\arctan\big(\cos\alpha\tan\psi\big)+c.$

Это позволяет посчитать потенциальную энергию:

$V=-M_1\varphi-M_2\psi,$

и исследовать вопрос об устойчивости положений равновесия.