Для передачи аналоговых сигналов по цифровым каналам связи необходимо провести их дискретизацию, для чего необходимо выбрать частоту дискретизации. В большинстве случаев стоит задача минимизации потерь информации при дискретизации и для достижения этого используется теорема Котельникова (теорема отсчетов, теорема Найквиста-Шеннона). Наличие нескольких названий у теоремы объясняется тем, что Котельников в 1933 году опубликовал статью с доказательством теоремы в сборнике трудов конференции, посвященной 15-летию РККА (Рабоче-Крестьянской Красной Армии). Естественно, что этот сборник не был издан за границей и теорема Найквиста-Шеннона появилась через несколько лет совершенно независимо.
В общем случае дискретизация состоит в замене непрерывного сигнала набором дискретных значений, которые могут быть представлены как результат свертки сигнала x(t) с весовой функцией φ(t). В идеальном случае, когда в качестве функции φ(t) используется δ-функция, результатом дискретизации являются мгновенные значения входного сигнала, используемые в теореме Котельникова. Дискретизация изменяющихся во времени сигналов при φ(t) ≠ δ(t) приводит к появлению динамической погрешности.
Грубую оценку характера зависимости динамической погрешности от вида весовой функции и параметров сигнала можно получить следующим образом. Длительность весовой функции φ(t) τφ связана с таким параметром устройства дискретизации, как апертурный сдвиг, или систематическая составляющая времени задержки отсчета, а неопределенность этой длительности Δτφ – с апертурным временем ta. Характер измене��ия сигнала во времени удобно оценивать с помощью корреляционной функции B(t), определяемой, в свою очередь, по амплитудному спектру и не зависящей от формы сигнала. Воспользуемся для сопоставления с длительностью весовой функции τφ интервалом корреляции τк:
Динамическая погрешность дискретизации в этом случае может быть оценена отношением апертурного времени к времени корреляции. Действительно, при φ(t) = δ(t) апертурное время и апертурный сдвиг устройства дискретизации равны нулю и динамическая погрешность отсутствует при любой скорости изменения входного сигнала. Для реальных весовых функций, когда τφ ≠ 0, динамическая погрешность отсутствует только при дискретизации постоянных сигналов.
В 1933 году при опубликовании теоремы Котельникова уровень доступных скоростей обработки и передачи информации не предъявлял серьезных требований к аппаратуре дискретизации при получении мгновенных значений сигнала. К настоящему времени спектр частот обрабатываемых сигналов сместился в гигагерцовый диапазон, но для получения мгновенных значений сигнала в подавляющем большинстве случаев продолжает использоваться классическая схема устройства выборки и хранения с ключом и емкостью. Для дискретизации сигналов этого диапазона частот ужесточились требования к быстродействию схемных решений: появилась необходимость в обеспечении времени замыкания и размыкания ключа не более долей наносекунды и в использовании конденсаторов с емкостью меньшей, чем паразитная емкость окружающих элементов схемы. Сложность обеспечения этих требований послужила стимулом для разработки других методов дискретизации. Для этого был использован механизм возникновения динамической погрешности, который позволяет рассмотреть методы повышения точности процесса дискретизации путем учета формы и длительности весовой функции φ(t) при получении отсчетов сигнала. В этом случае процесс дискретизации рассматривается как прохождение входного сигнала через звено с импульсной переходной функцией φ(t). Для получения точного отсчета входного сигнала необходим цифровой фильтр, реализующий обратное преобразование. В работе [Михотин В.Д., Шахов Э.К. Дискретизация и восстановление сигналов в информационно-измерительных системах. – Пенза: Пенз. политехн. институт, 1982] описан метод дискретизации с прямоугольной весовой функцией, в работе [Тимофеев А.Л. Аналог теоремы Котельникова для синусоидальной весовой функции. – В кн.: Исследования по математике, физике и их приложениям.: Тез. докл. Респ. конф. Уфа, 1981] – с косинусоидальной весовой функцией. В этих работах доказаны аналоги теоремы Котельникова для прямоугольной и косинусоидальной весовых функций соответственно. В обоих случаях для точного восстановления сигнала по дискретным интегральным значениям необходима достаточно сложная цифровая обработка. В настоящее время такая обработка становится всё более доступной, и эти методы могут получить практическое применение.
Другая проблема дискретизации связана с выполнением условий теоремы Котельникова. Как известно, теорема Котельникова в точном виде физически не реализуема в связи с тем, что реальные сигналы не могут иметь ограниченный спектр. Главным фактором, определяющим выбор частоты дискретизации, является ширина пространственного спектра сигнала. При дискретизации сигналов со спектром, не имеющим четко выраженной граничной частоты, выбор частоты дискретизации часто сводится к максимальному значению, которое доступно в данной ситуации с точки зрения аппаратных возможностей, так как действует однозначное правило – чем больше частота дискретизации, тем меньше погрешность дискретизации, вызванная потерей части спектра сигнала выше половины частоты дискретизации.
Рассмотрим погрешность дискретизации сигнала конечной длительности, имеющего следующую форму:
Бесконечный спектр этого сигнала выглядит следующим образом:
При дискретизации реальных сигналов во избежание эффекта наложения спектров применяют антиалиасинговый фильтр, обнуляющий спектр выше половины частоты дискретизации:
Это приводит к искажениям сигнала, восстановленного по дискретным значениям:
Зависимость погрешности дискретизации этого сигнала от частоты дискретизации имеет вид:
Кроме физической нереализуемости сигналов с ограниченным спектром в условие теоремы Котельникова входит и другая нереализуемая идеализация, которая обычно в этой связи не упоминается, – отсутствие шума. Повышение частоты дискретизации увеличивает диапазон частот регистрируемого шума, что приводит к снижению отношения сигнал/шум дискретного сигнала. Таким образом, изменение частоты дискретизации оказывает противоположное влияние на погрешность дискретизации и погрешность, вызванную шумом. На рисунке приведены графики, показывающие зависимости этих погрешностей от частоты дискретизации при отношении сигнал/шум 40 дБ:
Зависимость среднеквадратического значения полной погрешности (дискретизации и шумовой составляющей) от частоты дискретизации имеет вид:
Из графика видно, что полная погрешность дискретизации имеет выраженный минимум при некоторой частоте дискретизации, зависящей от сигнала и, соответственно, скорости убывания его спектра, и интенсивности шума. Отсюда следует, что при выборе частоты дискретизации следует учитывать не только характеристики сигнала, но и уровень шума. Таким образом, можно сформулировать теорему о верхней границе теоремы Котельникова для функций ограниченной длительности при наличии шума: при дискретизации функции конечной длительности при наличии шума существует конечное минимальное значение погрешности дискретизации, определяемое формой спектра функции и уровнем шума.
Обычно частота дискретизации не превышает оптимального значения, но существуют примеры ее неоправданного завышения:
• аудиоформат DSD с частотой дискретизации звука 5,6 МГц
• смартфоны Xiaomi с камерой 200 Мп (пространственная частота дискретизации выше оптимальной).
