Задача о шаре, падающем на клин / Хабр

Эта задача в упрощенных постановках встречается как в школьных задачниках, так и на олимпиадах.В общем виде её можно сформулировать так.

Маленький шар массы ударяется о наклонную поверхность клина массы и отскакивает от него. Клин может скользить без трения по горизонтальному столу (на рисунке — вдоль оси ). Известны скорости клина и шара непосредственно перед ударом; требуется найти их скорости сразу после него. Удар считается абсолютно упругим, угол наклона клина $\alpha$ известен. Векторы скоростей лежат в плоскости рисунка.

Наиболее интересно здесь условие абсолютной упругости удара. А что это, собственно, такое? Как определить данное понятие для задач подобного типа?

В теоретической механике используется понятие «идеальной связи при ударе», которое является обобщением понятия об абсолютно упругом ударе. Теоретические основы этого подхода изложены в учебнике Болотина, Карапетяна, Кугушева и Трещёва «Теоретическая механика», а мы приведём лишь основные факты и посмотрим, как эта теория работает в данной задаче.

Предположим, что у нас есть механическая система с обобщёнными координатами $q = (q^1, \dots, q^m)$ . Пространство обобщённых координат называется конфигурационным пространством.

Движение этой системы можно рассматривать как движение точки в конфигурационном пространстве. Скорость этой точки $\dot{q}$ называется обобщённой скоростью. Система также обладает кинетической энергией $T = \frac{1}{2}g_{ij}(q)\dot q^i\dot q^j$ . (По повторяющимся индексам ведется суммирование.)

Мы будем считать, что удар заключается в том, что точка наталкивается в конфигурационном пространстве на поверхность, заданную уравнением

и отскакивает от неё. Здесь — это гладкая скалярная функция, определённая на конфигурационном пространстве, такая, что $df \neq 0$ .

Идеальность связи при ударе по определению означает, что отскок происходит по закону "угол падения равен углу отражения", при этом норма обобщенной скорости сохраняется. Норма вектора и углы здесь понимаются в смысле римановой метрики $g_{ij}$ , которую задаёт кинетическая энергия.

Перейдём к решению задачи. В нашей задаче конфигурационное пространство — это пространство координат $q = (\xi, \eta, x)$ , где $(\xi, \eta)$ — координаты шара в неподвижной декартовой системе, а — координата, характеризующая положение клина.

Ударная связь (это когда шар оказывается на наклонной поверхности клина) задается уравнением

$f(\xi, \eta, x)=\eta-\xi\tan\alpha +x=0.$

Кинетическая энергия системы имеет вид:

$T=\frac{m}{2}\big(\dot\xi^2+\dot\eta^2\big)+\frac{M}{2}\dot x^2.$

В общем случае мы должны записать два уравнения. Первое из них:

$T_+ = T_-\qquad (1)$

— это закон сохранения энергии.

Индексом «» мы обозначаем значения величин сразу после удара, а индексом «» — до него.

Второе уравнение имеет вид:

$\left( \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}^i} \right)_+ - \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}^i} \right)_- \right) \delta q^i = 0,\qquad (2)$

где $\delta q^i$ — это виртуальные перемещения в момент удара:

$\frac{\partial f}{\partial q^i} \delta q^i = 0.\qquad (3)$

Уравнение (2) означает, что проекции обобщённого импульса на касательную к поверхностиплоскость до и после удара равны.

В нашем случае уравнение (1) имеет вид:

$\frac{m}{2}\big(\dot\xi^2_++\dot\eta^2_+\big)+\frac{M}{2}\dot x^2_+=\frac{m}{2}\big(\dot\xi^2_-+\dot\eta^2_-\big)+\frac{M}{2}\dot x^2_-.\qquad(4)$

Уравнение (2) имеет вид:

$(\dot\xi_+-\dot\xi_-)\delta\xi+(\dot\eta_+-\dot\eta_-)\delta\eta+\frac{M}{m}(\dot x_+-\dot x_-)\delta x=0,\qquad(5)$

а уравнение (3) -- вид:

$\delta\eta=\delta\xi\cdot\tan\alpha-\delta x.$

Подставляя это выражение в (5) и учитывая произвольность величин $\delta \xi$ и $\delta x$ , получаем систему из двух уравнений:

$\dot\xi_+-\dot\xi_-+(\dot\eta_+-\dot\eta_-)\tan\alpha=0;$ $-(\dot\eta_+-\dot\eta_-)+\frac{M}{m}(\dot x_+-\dot x_-)=0.$

Эти два уравнения вместе с уравнением (4) дают полную систему алгебраических уравнений на скорости системы сразу после удара: $(\dot \xi_+,\dot\eta_+,\dot x_+)$ . Скорости до удара: $(\dot\xi_-,\dot\eta_-,\dot x_-)$ считаются известными.