Привет, Хабр.
Я работаю учителем математики и информатики в солнечном Таиланде. Во время школьных каникул, вместо регулярных путешествий по Азии я решил развлечь себя изучением синтаксиса JavaScript.
Когда-то, мы с моей замечательной (но ныне бывшей) женой фанатели от нестандартных судоку со знаками «больше-меньше», мы сами печатали себе уникальные сетки, а иногда, я даже рисовал их руками на основе готовых шаблонов из интернета.
В этой статье я хочу рассказать об эволюции моего математического движка генерации сеток судоку: от наивного перетаскивания массивов к строгой комбинаторике и факториальной системе счисления.
Версия 1. Наивное перемешивание
Идея первой версии была до банального проста. Зачем генерировать сетку с нуля, решая NP-полную задачу с бэктрекингом, если можно взять одну готовую, 100% валидную сетку и хорошенько её «перемешать»?
Правила классического судоку позволяют нам делать несколько геометрических преобразований, которые не ломают логику решения:
1. Менять местами любые две строки внутри одного горизонтального блока 3х3.
2. Менять местами любые два столбца внутри вертикального блока 3х3.
3. Менять местами сами крупные блоки строк (3х9) и столбцов (9х3) целиком.
С самого начала элегантным решением казалось работать с сидом вида: 3 блока по 6 шестнадцатеричных символов. Такой можно было бы легко распаковать в бинарный ряд флагов для операций перемешивания.
Я написал простенький хэш, который брал 18-значный сид, превращал его в массив битов, и на основе этих нулей и единиц применял (или пропускал) функции перемешивания к базовой матрице.
// Базовая сетка для перемешивания const BASE_GRID = [ [5,3,4, 6,7,8, 9,1,2], [6,7,2, 1,9,5, 3,4,8], [1,9,8, 3,4,2, 5,6,7], [8,5,9, 7,6,1, 4,2,3], [4,2,6, 8,5,3, 7,9,1], [7,1,3, 9,2,4, 8,5,6], [9,6,1, 5,3,7, 2,8,4], [2,8,7, 4,1,9, 6,3,5], [3,4,5, 2,8,6, 1,7,9] ]; // МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДВИЖОК И ЛОГИКА ГЕНЕРАЦИИ СЕТКИ v1 const Utils = { // Генератор псевдослучайных чисел (алгоритм Mulberry32) seededRandom: (seed) => { return () => { let t = seed += 0x6D2B79F5; t = Math.imul(t ^ t >>> 15, t | 1); t ^= t + Math.imul(t ^ t >>> 7, t | 61); return ((t ^ t >>> 14) >>> 0) / 4294967296; }; }, // Конвертирует шестнадцатеричную строку в массив битов hexToBits: (hex) => { return [...hex].flatMap(char => { const v = parseInt(char, 16); return [(v >> 3) & 1, (v >> 2) & 1, (v >> 1) & 1, v & 1]; }); }, // Набор функций для валидного перемешивания сетки судоку transforms: { swapRows: (g, r1, r2) => { [g[r1], g[r2]] = [g[r2], g[r1]]; }, swapCols: (g, c1, c2) => { for (let r = 0; r < 9; r++) [g[r][c1], g[r][c2]] = [g[r][c2], g[r][c1]]; }, swapRowBlocks: (g, b1, b2) => { for (let i = 0; i < 3; i++) Utils.transforms.swapRows(g, b1 * 3 + i, b2 * 3 + i); }, swapColBlocks: (g, b1, b2) => { for (let i = 0; i < 3; i++) Utils.transforms.swapCols(g, b1 * 3 + i, b2 * 3 + i); } } }; // Массив доступных трансформаций, вызываются на основе битов сгенерированных из сида const PROCEDURES = [ g => Utils.transforms.swapColBlocks(g, 0, 1), g => Utils.transforms.swapCols(g, 0, 1), g => Utils.transforms.swapRows(g, 0, 1), g => Utils.transforms.swapCols(g, 0, 2), g => Utils.transforms.swapRowBlocks(g, 0, 1), g => Utils.transforms.swapRows(g, 0, 2), g => Utils.transforms.swapCols(g, 1, 2), g => Utils.transforms.swapRows(g, 1, 2), g => Utils.transforms.swapColBlocks(g, 0, 2), g => Utils.transforms.swapCols(g, 3, 4), g => Utils.transforms.swapRows(g, 3, 4), g => Utils.transforms.swapCols(g, 3, 5), g => Utils.transforms.swapRowBlocks(g, 0, 2), g => Utils.transforms.swapRows(g, 3, 5), g => Utils.transforms.swapCols(g, 4, 5), g => Utils.transforms.swapRows(g, 4, 5), g => Utils.transforms.swapColBlocks(g, 1, 2), g => Utils.transforms.swapCols(g, 6, 7), g => Utils.transforms.swapRows(g, 6, 7), g => Utils.transforms.swapCols(g, 6, 8), g => Utils.transforms.swapRowBlocks(g, 1, 2), g => Utils.transforms.swapRows(g, 6, 8), g => Utils.transforms.swapCols(g, 7, 8), g => Utils.transforms.swapRows(g, 7, 8) ]; async function generate(seedStr) { // ... валидация сида и инициализация ... const grid = BASE_GRID.map(row => [...row]); // Первый прогон применяем базовые математические трансформации для создания решения for (let i = 0; i < 3; i++) { const bits = Utils.hexToBits(clean.slice(i * 6, i * 6 + 6)); bits.forEach((bit, idx) => { if (bit && PROCEDURES[idx]) PROCEDURES[idx](grid); }); } // Второй прогон для усиления влияния конца сида со смещением for (let i = 0; i < 3; i++) { const bits = Utils.hexToBits(clean.slice(i * 6, i * 6 + 6)); bits.forEach((bit, idx) => { const newIdx = (idx + 5) % PROCEDURES.length; if (bit && PROCEDURES[newIdx]) PROCEDURES[newIdx](grid); }); } GameState.solutionGrid = grid; // ... рендер }
Версия 2. Борьба с паттернами
Очень быстро я обнаружил существенный изъян генерации в первой версии. Дело в том, что из-за ограниченного набора свопов (только строки и столбцы) состав групп цифр оставался неизменным. Появлялся паттерн, который легко замечал человеческий глаз: в каждом блоке 3х3 всегда находилась строка, в которой в разном порядке повторялись первые три цифры самого первого верхнего левого блока 3х3. Геометрия сетки менялась, но математическое нижнее бельё торчало наружу.
Чтобы решить эту проблему, я добавил глобальную подмену самих цифр. Если мы во всей сетке заменим все единицы на девятки, а девятки на единицы, судоку от этого не перестанет быть правильным. Я добавил в массив PROCEDURES ещё восемь свопов, которые глобально меняли цифры местами (например, тройки с пятерками).
JavaScript // МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДВИЖОК И ЛОГИКА ГЕНЕРАЦИИ СЕТКИ v2 const Utils = { // ... старые утилиты ... transforms: { // ... старые свопы строк и колонок ... // Глобальная замена двух цифр местами swapDigits: (g, d1, d2) => { for (let r = 0; r < 9; r++) { for (let c = 0; c < 9; c++) { if (g[r][c] === d1) g[r][c] = d2; else if (g[r][c] === d2) g[r][c] = d1; } } } } }; // Массив доступных трансформаций (с математической некоммутативностью) const PROCEDURES = [ g => Utils.transforms.swapColBlocks(g, 0, 1), g => Utils.transforms.swapCols(g, 0, 1), g => Utils.transforms.swapRows(g, 0, 1), g => Utils.transforms.swapDigits(g, 1, 9), // НОВАЯ ТРАНСФОРМАЦИЯ // ... g => Utils.transforms.swapDigits(g, 2, 8), // ... g => Utils.transforms.swapDigits(g, 3, 7), // ... g => Utils.transforms.swapDigits(g, 4, 6), // ... ]; async function generate(seedStr) { // ... const grid = BASE_GRID.map(row => [...row]); const allBits = Utils.hexToBits(clean); // Три прогона с разными смещениями для максимальной хаотичности allBits.forEach((bit, idx) => { if (bit) PROCEDURES[idx % PROCEDURES.length](grid); }); allBits.forEach((bit, idx) => { if (bit) PROCEDURES[(idx + 13) % PROCEDURES.length](grid); }); allBits.forEach((bit, idx) => { if (bit) PROCEDURES[(idx + 29) % PROCEDURES.length](grid); }); GameState.solutionGrid = grid; // ... }
Версия 3. Биекция и факториалы
Движок работал, паттерны исчезли. Но затем, я серьезно задумался об уникальности сида. При последовательном применении трансформаций (тем более с битовыми масками и случайными смещениями) мы неизбежно сталкиваемся с коллизиями. Два разных сида могли сгенерировать одинаковую сетку, а некоторые трансформации всё ещё могли отменять друг друга. Мне нужна была жесткая связь: 1 сид = 1 уникальная сетка.
Я решил отказаться от физического перетаскивания элементов массива в памяти и посчитать всё математически. Сколько вообще уникальных сеток можно получить из одного базового шаблона с помощью этих операций?
Перестановка 9 цифр: 9! вариантов.
Перестановка 3 крупных блоков строк: 3!
Перестановка 3 крупных блоков столбцов: 3!
Перестановка линий внутри каждого из 3 блоков строк: (3!)^3
Перестановка линий внутри каждого из 3 блоков столбцов: (3!)^3
Перемножив это, мы получаем 609,492,049,920 уникальных комбинаций из одной базовой сетки.
Вместо того чтобы «двигать» массивы, мы можем превратить 18-значный hex-сид в огромное число BigInt. Берем остаток от деления этого числа на 609,492,049,920, чтобы безопасно закольцевать диапазон. А затем просто распаковываем полученное число N через остатки от деления на индексы для алгоритма факториальной системы счисления.
Теперь мы не перемешиваем массив. Мы за один проход O(N) вычисляем, какая цифра должна стоять в конкретной ячейке для данной перестановки.
JavaScript // МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДВИЖОК И ЛОГИКА ГЕНЕРАЦИИ СЕТКИ v3 /* алгоритм генерирует 609 492 049 920 уникальных комбинаций из одного базового шаблона, эффективно используя математические свойства симметрии судоку. Общий объем вариантов складывается из перемножения всех независимых трансформаций: перестановки 9 цифр (9!), перемешивания 3 крупных блоков (3! * 3!) и ротации линий внутри каждого из них ((3!)^3 * (3!)^3). Благодаря такой каскадной системе, 18-значный сид обеспечивает огромное разнообразие сеток, гарантируя, что игрок практически никогда не встретит две одинаковые сетки, несмотря на использование всего одной исходной матрицы */ const Utils = { // Возвращает k-тую перестановку элементов массива (Алгоритм факториальной системы счисления) getPermutation: (arr, k) => { let available = [...arr]; let result = []; let fact = 1; for (let i = 2; i < available.length; i++) fact *= i; for (let i = available.length - 1; i > 0; i--) { const idx = Math.floor(k / fact); result.push(available[idx]); available.splice(idx, 1); k %= fact; fact /= i; } result.push(available[0]); return result; } }; async function generate(seedStr) { // ... очистка и подготовка сида ... // МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИЕКЦИЯ (1 сид = 1 уникальная сетка) const MAX_PERMUTATIONS = 609492049920n; const seedBigInt = BigInt("0x" + clean); let N = Number(seedBigInt % MAX_PERMUTATIONS); // Распаковываем число N на составляющие остатки от деления для каждой группы перестановок const pDigits = Utils.getPermutation([1,2,3,4,5,6,7,8,9], N % 362880); N = Math.floor(N / 362880); const pRowBlocks = Utils.getPermutation([0,1,2], N % 6); N = Math.floor(N / 6); const pColBlocks = Utils.getPermutation([0,1,2], N % 6); N = Math.floor(N / 6); const pR0 = Utils.getPermutation([0,1,2], N % 6); N = Math.floor(N / 6); const pR1 = Utils.getPermutation([0,1,2], N % 6); N = Math.floor(N / 6); const pR2 = Utils.getPermutation([0,1,2], N % 6); N = Math.floor(N / 6); const pC0 = Utils.getPermutation([0,1,2], N % 6); N = Math.floor(N / 6); const pC1 = Utils.getPermutation([0,1,2], N % 6); N = Math.floor(N / 6); const pC2 = Utils.getPermutation([0,1,2], N % 6); const pRows = [pR0, pR1, pR2]; const pCols = [pC0, pC1, pC2]; // Собираем итоговую сетку напрямую из BASE_GRID без "физических" свопов const grid = []; for (let r = 0; r < 9; r++) { const rowArr = []; for (let c = 0; c < 9; c++) { // Находим координаты оригинальной ячейки с учетом перестановки блоков и линий внутри них const oldR = pRowBlocks[Math.floor(r / 3)] * 3 + pRows[Math.floor(r / 3)][r % 3]; const oldC = pColBlocks[Math.floor(c / 3)] * 3 + pCols[Math.floor(c / 3)][c % 3]; // Получаем старое значение ячейки и применяем к нему глобальную перестановку цифр const oldVal = BASE_GRID[oldR][oldC]; rowArr.push(pDigits[oldVal - 1]); } grid.push(rowArr); } GameState.solutionGrid = grid; // ... рендер }
Итоги
Этот путь наглядно показал мне, как важно иногда оторваться от редактора кода и посмотреть на задачу через призму математики. Итоговый алгоритм не просто избавился от коллизий и паттернов, но и стал работать элегантнее.
Вместо послесловия
Магия биекции настолько меня вдохновила, что я довел код до состояния готового продукта «для одного пользователя». Приложение работает прямо из одного HTML-файла без лишних библиотек, то чего мне не хватало во всех магазинах приложений. Вот так это выглядит на экране:
