Штыревая антенна в КВ диапазоне: расчет, согласование, шумы / Хабр

Неоднократно приходилось возвращаться к подбору, сравнению, расчёту приемных антенн КВ диапазона и ниже. Т.к. это не является основной моей специализацией, то каждый раз приходилось мучительно вспомнить откуда это все там берётся.
Будет уточняться и дополняться по мере необходимости.

Оглавление:

Введение
Что будем делать
Основные формулы
Оптимальное сопротивление нагрузки для пассивной антенны
Внешний шум
Шум антенны
Чувствительность по полю
Резистивное согласование антенны
Согласующий усилитель
Литература

Введение

Штыревая антенна является самой простой антенной, которую только можно представить. Это одна из немногих антенн которые рассчитываются аналитически. Но как только надо надо углубиться в вопрос, то оказывается нет под руками подходящего справочника, где была бы собрана вся необходимая информация для расчета антенны.

Данная статья была вдохновлена широко известным в узких кругах отчетом «A High Performance Active Antenna for the High Frequency Band» [1]. В нем очень подробно рассчитывается и исследуется активная штыревая антенна КВ диапазона. Хотелось сделать подобный расчет, но избежать использования инженерных формул.

Так же не маловажным стимулом было и то, что производители активных КВ антенн любят оценивать свои антенны параметрами обычно не используемыми на более высоких частотах. Надо было научиться приводить их к одинаковым значениям и самое главное научиться отвечать на вопрос «А что же лучше?».

Так же эта статья может быть полезна просто как справочник по основным формулам.

Что будем делать

Имеется штыревая антенна высотой h и радиусом a используемая для приема сигналов в диапазоне 1–30 МГц. При использовании широкополосных приемников с цифровой обработкой всего диапазона сразу использование резонансного согласования не целесообразно. Рассмотрим два варианта согласование такой антенны:

резистивное согласование последовательной RL цепочкой;
согласование с помощью высокоомного (согласующего) усилителя.

В качестве базового варианта будем рассматривать антенну из отчета [1] с h = 1,2 м, a = 1 мм и изготовленную из нержавеющей стали. Для сравнения так же будем использовать антенну R&S HE010E и другие.

Основные формулы

Действующая высота антенны

Формально действующая высота штыревой антенны для $h \le \lambda/2$ может быть рассчитана как:

$h_a=\frac{\lambda}{2\pi} \operatorname{tg}\left(\frac{2\pi}{\lambda} \frac{h}{2} \right)$

Но для наших вычислений ограничим ее $h \le \lambda/4$ , так как иначе мы будем получать завешенные значения КНД антенны.

Для короткого вибратора ( $h<<\lambda$ ) формула превращается в выражение

Входное сопротивление диполя

Будем использовать приближение для тонкого вибратора () расположенного на бесконечной идеальной проводящей землей. В таком случае можно воспользоваться известными формулами для диполя.

Для очень короткого диполя ( $h <\lambda/5$ ) c известны следующие формулы [2] для реальной и мнимой части входного импеданса:

$R_{sd}=Z_0 \frac{2\pi}{3} \left(\frac{h}{\lambda}\right)^2 \approx 80\pi^2 \left(\frac{h}{\lambda}\right)^2=20(k_0h)^2$ $X_{sd}=\frac{120}{k_0h} \left(\ln\left(\frac{h}{a}\right)-1\right)$

где $Z_0 = \sqrt{ \tfrac {\mu_0}{\epsilon_0}} \approx 120\pi$ Ом — импеданс свободного пространства, $\lambda$ — длина волны, $k_0 = 2\pi/\lambda$ — постоянная распространения, — электрическая длина антенны.

Примечание: короткий диполь и диполь Герца

Необходимо не путать два варианта коротких диполей:

диполь Герца — постоянное распределение плотности тока в вибраторах;
короткий диполь — плотность тока линейно уменьшается до нуля от источника к концам проводника.

Диполь Герца имеет в 4 раза большее сопротивление излучения чем короткий диполь.

Для «длинного» диполя входное сопротивление выражается через интегральные синусы и косинусы, что не очень удобно для практических вычислений. Поэтому воспользуемся следующим выражением для комплексного входного сопротивления [3]:

$Z_d = R(k_0h)-j\left[120 \left(\ln\left(\frac{h}{a}\right)-1\right)\operatorname{ctg}(k_0h)-X(k_0h) \right]$

где функции и считаются по табулированным значениям для $k_0h \le \pi/2$ .

Таблица значений функций R(kh) и X(kh)

k₀h	R(k₀h)	X(k₀h)
0	0	0
0,02	0,008	-
0,05	0,05	-
0,1	~~0,1506~~ 0,2	1,01
0,2	0,798	2.302
0,3	1,821	3.818
0,4	3,264	5.584
0,5	5,171	7.141
0,6	7,563	8.829
0,7	10,48	10.68
0,8	13,99	12.73
0,9	18,16	15.01
1	23,07	17.59
1,1	28,83	20.54
1,2	35,6	23.93
1,3	43,55	27.88
1,4	52,92	32.2
1,5	64,01	38
$\pi/2$	73,12	42.46

Цифры выделенные курсивом были добавлены или заменены для лучшей аппроксимации и рассчитаны по формуле для короткого диполя

Для малых значений для реальной части лучше использовать выражение для $R_{sd}$ .

Сопротивление потерь в антенне

Для штыревой антенны сопротивление потерь в металле вибратора можно записать как:

$R_l=\frac{h_a}{2\pi a}\sqrt{\frac{\pi f \mu_0}{\sigma}}$

где $\sigma$ — проводимость материала вибратора.

Итоговая формула для входного сопротивления антенны

Таким образом полное входное сопротивление штыревой антенны может быть найдено как

где , .

Рисунок 1 - Сопротивление потерь и сопротивление излучения штыревой антенны — Рисунок 1 — Сопротивление потерь и сопротивление излучения штыревой антенны

На рисунке 1 показана зависимость от частоты R_a и R_l для нашей базовой антенны. На частоте около 8 МГц эти величины становятся равны.

Часто спрашивают: «А в каком диапазоне принимает антенна?». Вот пока R_a не обратиться в ноль, а сделает это она только на нулевой частоте, антенна что‑то да примет. Поэтому пока не определены параметры качества антенны сказать ее рабочий диапазон невозможно.

КУ, КНД и КПД антенны

Под КУ и КНД антенны будем понимать их максимальные значения, то есть в данном случае значения «в горизонт». КУ антенны для активной нагрузки R₀:

$G_{0} = \frac{16\pi Z_0 R_0 h_a^2}{\lambda^2 |R_0+Z_a|^2}$

А если антенна без потерь и нагрузка согласована с антенной, то можно проверить, что получается корректное значение КНД антенны:

$D = \frac{4\pi Z_0 h_a^2}{\lambda^2 R_a}$

Если подставить сопротивление для короткого вибратора $R_a = R_{sd}/2$ и , то D = 3 = 4.77 дБи.

Тогда можно найти КПД антенны, куда включены и потери на рассогласование:

$\eta_0 = \frac{4R_a R_0}{|Z_a+R_0|^2}$

На рисунке 1 показана зависимость от частоты КУ для различного сопротивления нагрузки. Видно что при росте сопротивления нагрузки КУ антенны в среднем увеличивается.

Рисунок 2 - Зависимость КУ антенны от частоты для различных сопротивлений нагрузки — Рисунок 2 — Зависимость КУ антенны от частоты для различных сопротивлений нагрузки

Часто подобные графики приводят заказчика в ужас. Не раз слышал что «всем же известно, что должно быть 3 дБи, а у вас антенна вообще работать не будет». Но для определения качества приема сигнала в первую очень надо знать уровень шумов. Об этом будет в следующем разделе

Оптимальное сопротивление нагрузки для пассивной антенны

Более наглядно влияние сопротивления нагрузки на КУ антенны показано на рисунке 2.

Рисунок 3 - Прирост КУ антенны относительно КУ антенны нагруженной на 50 Ом — Рисунок 3 — Прирост КУ антенны относительно КУ антенны нагруженной на 50 Ом

Рассчитан прирост КУ ( $\Delta G$ ) относительно КУ антенны нагруженной на 50 Ом. Видно что переход к 800 Ом хоть и приводит к заметному росту КУ в нижней части диапазона, но в верхней части уже есть небольшой проигрыш сопротивлению 450 Ом. Особенно ярко это проявляется у более длинных антенн. Таким образом к максиме «чем больше трансформатор тем лучше» надо относиться аккуратно. В дальнейших расчетах будем использовать сопротивление нагрузки 450 Ом.

Внешний шум

Ожидаемые уровни шума на выходе антенны приводятся в рекомендации МСЭ‑R P.372 [4]. На рисунке 4 показана зависимость ожидаемого уровня шума F_a для ненаправленных антенн в диапазоне частот от 10 кГц до 100 МГц.

Рисунок 4 - Уровни шума от различных источников в диапазоне частот от 10 кГц до 100 МГц [4] — Рисунок 4 — Уровни шума от различных источников в диапазоне частот от 10 кГц до 100 МГц [4]

Минимальное значение F_a получим путем аппроксимации фрагментов графиков B, C и D обозначенных сплошной линией (частота в Гц):

$F_a [\text{дБ}] = \begin{cases} 446-74.5\lg(f), & f<70 \text{ кГц} \\ 218-27.5\lg(f), & 70 \text{ кГц} \le f<3 \text{ М Гц} \\ 169-20\lg(f), & 3 \text{ М Гц} \le f<100 \text{ М Гц} \end{cases}$

Для промышленного шума в [4] указаны медианные значения F_a для трех типовых случаев в диапазоне частот от 0,3 МГц до 250 МГц (показан исходный вариант для частоты в МГц и в Гц):

деловая зона (city): $F_{a,A} [\text{дБ}] = 76.8-27.7\lg(f \text{ [М Гц]}) = 243-27.7\lg(f)$
жилые районы (residential): $F_{a, B} [\text{дБ}] = 72.5-27.7\lg(f \text{ [М Гц]}) = 238.7-27.7\lg(f)$
сельская местность (rural): $F_{a, C} [\text{дБ}] = 67.2-27.7\lg(f \text{ [М Гц]}) = 223.4-27.7\lg(f)$

Эти значения приведены для короткой вертикальной заземленной несимметричной антенны без потерь.

Полезно рассчитать какой напряженности поля соответствует шум принимаемый согласованной антенной. Как указано в [4]

для коротких вертикальных несимметричных вибраторов над идеально проводящей плоской земной поверхностью вертикальная составляющая среднеквадратичного значения напряженности поля определяется как:

$E_n = F_a+20\lg f_{MHz} +B - 95.5 \text{ [дБ(мкВ/м)]}$

где $B = 10log(\Delta f)$

А как получилась формула для E_n?

Рассматривается антенна без потерь.

Напряжение холостого хода на выходе антенны: $V_{oc} = E_n h_a$

Мощность на выходе согласованной антенны с учетом того что это среднеквадратичное значение:

$P_a = \frac{V_{oc}^2}{4R_a} = \frac{(E_n h_a)^2}{4R_a}$

Мощность шума на выходе антенны через эквивалентную температуру: $P_n = \Delta f k_B T_0 F_a$ , где k_B — постоянная Больцмана.

F_a просто коэффициент показывающий на сколько шум на выходе антенны больше стандартного теплового шума для T₀. Если бы внешний шум был распределен равномерно, то эта величина не зависела бы от КНД антенны.

Приравнивая получаем выражение:

$E_n^2 = \Delta f k_B T_0 F_a \frac{4 R_a}{h_a^2}$

Подставим значения и для короткого вибратора и упростим выражение:

$E_n^2 = \frac{16}{3}\pi Z_0 \Delta f k_B T_0 F_a \left(\frac{f}{c} \right)^2$

В логарифмическом виде для Е_n (мкВ/м), f (МГц), $\Delta f$ (Гц) получаем

$E_n = F_a + 20 \log(f) + 10 \log(\Delta f) +K$

Где коэффициент К равен

$К = 10\log(10^{24} \frac{16 \pi Z_0 k_B T_0}{3c^2})= -95.5 \text{ дБ(мкВ/м)}$

Наличие сильных естественных и искусственных шумов на частотах ниже 100 МГц приводит к тому что чувствительность радиосистемы ограничивается этим шумом. Для успешного приема радиосигнала c требуемым ОСШ напряжённость поля в точке приема должна быть $E_{RX}^2 \geq E_n^2 SNR$ .

Шум антенны

В общем виде шумовую температуру радиосистемы (T_S) состоящей из антенны и радиоприемника c КШ F_RX рассчитывается на их стыке следующим образом:

$T_S = F_aT_0\eta + T (1-\eta)+T_0(F_{RX}-1)$

где T — температура окружающей среды, T₀ = 290 К — стандартная шумовая температура.

Когда T = T₀ формулу можно упростить (и далее будем использовать это условие):

$T_S = T_0 [ (F_a - 1) \eta +F_{RX} ]$

Распространенным критерием качества приемной антенны является сравнение уровней внешнего шума и шума антенны (и приемника) приведенного к выходу идеальной антенны, то есть слагаемых в этом выражении:

$\frac{T_S}{T_0 \eta} = F_a + \frac{F_{RX}-\eta}{\eta} \approx F_a + \frac{F_{RX}}{\eta}$

Для приближенного выражения использовано условие $F_{RX} >> \eta$ , что справедливо в нашем случае, да и для большинства практических ситуаций. Таким образом для качественной антенны $F_a \geq F_{RX}/\eta$ , где значение F_a выбирается исходя из ожидаемых условий приема.

Рисунок 5 - График шумов антенны R&S HE016 — Рисунок 5 — График шумов антенны R&S HE016

Для примера на рисунке 5 показан график коэффициента шума из описания антенны R&S HE016 согласующим усилителем (то есть активной антенны). При установке на высоте 6 м от земли ее шумы меньше атмосферных шумов. Таким образом по собственным шумам это очень хорошая антенна.

Теперь у нас есть все необходимые формулы что бы построить аналогичный график для нашей антенны.

Рисунок 6 - График шумов тестовой антенны — Рисунок 6 — График шумов тестовой антенны

На рисунке 6 показан график шумов Собственные шумы тестовой антенны почти во всем диапазоне превосходят уровень минимальных шумов F_a, но сравнимы или ниже уровня шумов в жилой зоне F_a,B.

Однако если учесть коэффициент шума приемника, то при F_RX = 21 дБ график шумов лежит выше шумов деловой зоны. Для антенн с низким КПД шумы приемника прямо влияют на шум системы в целом, так как внешние шумы сильно ослабляются антенной. Таким образом КШ приемника должен быть как можно меньше. Это сильно отличается от распространенного мнения что КШ приемника в КВ особо и не важен. Следует отметить что в отчете [1] для измерений шумов антенны используется дополнительный усилитель с КУ 30 дБ и КШ 1,5 дБ.

Чувствительность по полю

Общие соображения

Зная шумовую температуру радиосистемы можно найти мощность сигнала принятой изотропной антенной с заданным ОСШ (SNR) на входе приемника и полосой пропускания $\Delta f$ (предполагается что это величина достаточно мала что бы в этой полосе T_S изменялся линейно):

$P_{RX} = \frac{k_B \Delta f T_S SNR}{G_a}$

Тогда можно найти требуемую напряженность поля в месте установки антенны:

$E_{RX} = \frac{1}{\lambda}\sqrt{4\pi Z_0 P_{RX}}$

Зачастую эту величину приводят для SNR = 1 = 0 дБ (т.е. P_RX это уровень шумов от которых и будут отсчитывать уровень сигнала) и используют спектральную плотность мощности шумов (иногда пишут, что величина дана для $\Delta f$ = 1 Гц). Тогда E_RX имеет размерность $\left[ \tfrac{В}{м\sqrt{Гц}} \right]$ . Т.к. в выражении для P_RX величины SNR и $\Delta f$ входят как множители, то в логарифмическом масштабе можно сделать пересчет к чувствительности по полю просто добавив требуемую ширину полосы пропускания и ОСШ.

Чувствительность по полю по документации R&S

В руководстве R&S Active Antennas for Radiomonitoring (8GE02) чувствительность активной антенны определяется следующим образом (переписано с использованием наших обозначений):

$E_{min} = \frac{1}{\lambda}\sqrt{\frac{4\pi Z_0 k_B T_0 \Delta f F_{ant}}{D}}$

где F_ant — собственный шум антенны (в руководстве F_a это собственные шумы антенны, а F_ext внешние шумы, что вносит путаницу с обозначениями в реккомендациях ITU).

А в логарифмическом виде это формула имеет вид:

$E_{min} = F_{ant} +20\lg(f \text{ [М Гц]}) + 10 \lg(\Delta f \text{ [Гц]})-D-96.8 \text{ дБ(мкВ/м)}$

Это формула аналогична формуле для эталонной изотропной антенны (формула 7 из [4]) с поправкой на КНД антенны.

Рисунок 7 - Чувствительность по полю антенны R&S HE010E — Рисунок 7 — Чувствительность по полю антенны R&S HE010E

На рисунке 7 показана чувствительность по спектральной плотности поля активной антенны R&S HE010E при SNR = 1. Так же приведен уровень шумов для сельской местности (ITU‑R P.372–8 rural). Судя по цифрам этот уровень шумов дан по формуле выше, но с использованием F_a,C, вместо коэффициента шума антенны (что‑то тут не так...).

Рассчитаем пассивный вариант антенны НЕ010Е с параметрами: h = 1 м, а = 2 мм, R₀ = 450 Ом. Так же как в расчете у R&S пренебрежем частотной зависимостью КНД антенны. Для наглядности приведем значения чувствительности по полю для трех вариантов:

F_a = 0, F_RX = 1 — (собственная) чувствительность антенны по полю;
F_a = F_a,C, F_RX = 1 — чувствительность антенны по полю с учетом шумов в сельской местности и с идеальным приемником;
F_a = F_a,C, F_RX = 21 дБ — чувствительность антенны по полю с учетом шумов в сельской местности и реальным приемником.

Рисунок 8 - Чувствительность по полю пассивного аналога антенны НЕ010Е — Рисунок 8 — Чувствительность по полю пассивного аналога антенны НЕ010Е

На рисунке 8 изображены результаты расчетов и уровень шумового поля для сельской местности E_n,C. Любопытно отметить, что выше 4 МГц пассивная антенна в некоторых диапазонах выигрывает у активной антенны по чувствительности.

При F_a = F_a,C, F_RX = 1 видно как внешние шумы ограничивают чувствительность антенны.

Резистивное согласование антенны

Для согласования такой короткой антенны как рассматриваемая наверное лучше всего просто подключить к ее выходу аттенюатор на 5 дБ что бы получить КСВ<2. Но тут проверим другой популярный способ — подключим параллельно к входу антенны последовательную RL цепочку. Да, это тоже варварский способ согласовать антенну, но зачастую это единственный вариант. Запишем следующие выражения:

сопротивление согласующей цепочки: $Z_{RL} = R + j2\pi f L$
сопротивление со стороны антенны: $Z_l = \tfrac{R_0 Z_{RL}}{R_0 + Z_{RL}}$
сопротивление со стороны нагрузки: $Z_А = \tfrac{Z_a Z_{RL}}{Z_a + Z_{RL}}$

КУ антенны теперь может быть найдено как

$G_{RL} = \frac{16\pi Z_0 h_a^2}{\lambda^2 R_0} \left| \frac{Z_l}{Z_a + Z_l} \right|^2$

КПД и потери на согласование:

$\eta = \frac{4 R_a}{R_0} \left| \frac{Z_l}{Z_a + Z_l} \right|^2$

Коэффициент отражения находится по формуле

$S_{11} = \frac{Z_A-R_0}{Z_A+R_0}$

По хорошему надо бы сделать поиск оптимальных значений R₀, R_L и L_L, но пока просто подберем нужные значения, что бы обеспечивалось условие КСВ<2.

Рисунок 9 - Отношение чувствительностей по полю согласованной антенны и не согласованной — Рисунок 9 — Отношение чувствительностей по полю согласованной антенны и не согласованной

На рисунке 9 показано отношение чувствительностей по полю ( $\Delta E_{min}$ ) для не согласованной антенны (E_m) и согласованной (E_m, R_L и L_L). А так же сами чувствительности. Проигрыш по чувствительности составляет около 9 дБ почти во всем диапазоне частот.

Согласующий усилитель

КУ антенны с согласующим МШУ

Для согласующего усилителя обычно известны следующие параметры:

входное сопротивление R_LNA;
входная емкость C_LNA;
коэффициент усиления по напряжению A_LNA;
коэффициент шума F_LNA.

Входное сопротивление усилителя:

$Z_{LNA} = \frac{R_{LNA}}{j2\pi f C_{LNA} R_{LNA}+1}$

Коэффициент усиления антенны с МШУ:

$G_{LM} = \frac{4\pi Z_0 h_a^2 A_{LNA}^2}{\lambda^2 R_0} \left| \frac{Z_{LNA}}{Z_a + Z_{LNA}} \right|^2$

Описание коэффициента шума через шумовой ток и напряжение

Поскольку коэффициент шума зависит от сопротивления источника и нагрузки, то корректно его описывать спектральными плотностями среднеквадратичного шумового тока i_n и напряжения v_n.

Попробуем определить эти параметры для антенны R&S HE010E по известному графику для КШ антенны (см. рисунок 10). Путь КШ МШУ в тракте R₀ = 50 Ом так же равен F_LNA= 6 дБ. Дополнительно предположим, что $\overline{v_n i_n^*} = 0$ .

Тогда можно найти шумовой ток по шумовому напряжению и КШ:

$i^2_n = \frac{4k_B T_0 R_0 (F_{LNA}-1)-v_n^2}{R_0^2}$

Тогда КШ антенны F_S можно вычислить как

$F_S = 1 + \frac{v_n^2 + |Z_a|^2 i_n^2}{4k_BT_0 Re(Z_a)}$

Рисунок 10 - Коэффициент шума антенны R&S HE010E [5]

Подберем такое значение v_n что бы график F_S как можно ближе к графику на рисунке 10. Выберем v_n = 1,544 нВ/√Гц и тогда получается i_n = 1,295 пА/√Гц.

Рисунок 10 - Рассчитанный коэффициент шума антенны R&S HE010E [5]

Не смотря на допущенные предположения о том что шумовой ток и напряжение не зависят от частоты зависимость F_S получилась достаточно близкой к данным R&S. Поскольку в расчетах использовался полный импеданс то наблюдаются резонансные пики. Не смотря на то что выше 75 МГц формула для импеданса вышла за пределы рабочего диапазона, но результат получается еще разумным по величине.

Рисунок 11 - Сравнение рассчитанной чувствительности антенны R&S HE010E и пассивного аналога нагруженного на 450 Ом

Чувствительность по полю для HE010E получилось заметно лучше чем для реальной антенны (см. рисунок 7). Можно считать что мы получили оптимистичную оценку E_min. Для сравнения так же показан график для пассивного варианта антенны (Е_min (R₀ = 450 Ом)). Виден значительный выигрыш по чувствительности при использовании согласующего МШУ.

Литература

W. Martinsen, A High Performance Active Antenna for the High Frequency Band [https://www.dst.defence.gov.au/sites/default/files/publications/documents/DST‑Group‑TR-3522.pdf]
C. A. Balanis, Antenna Theory: Analysis and Design, 3rd ed., 2005 [https://jontalle.web.engr.illinois.edu/Public/BOOKS/Balanis-AntennaTheoryAnalysis_Design3rdEd.05.pdf]
J.Volakis, Antenna Engineering Handbook, 4th ed. 2007
Рек. МСЭ‑R P.372–16 Радиошум. [https://www.itu.int/dms_pubrec/itu-r/rec/p/R-REC-P.372-16-202208-S!!PDF-R.pdf]
Active Antennas for Radiomonitoring. Application Note (8GE02_0e) [http:\\www.rohde-schwarz.com/appnote/8GE02]

Штыревая антенна в КВ диапазоне: расчет, согласование, шумы