Что такое квантовое состояние и как работает квантовый ластик / Хабр

В прошлой статье я рассказал о правиле сложения амплитуд и постарался объяснить как это правило объясняет некоторые квантовые явления. В этом продолжении я расскажу о понятии квантового состояния и применю теорию к эксперименту под названием «квантовый ластик с отложенным выбором».

Онтологическое и эпистемологическое состояния

Рассмотрим какую-нибудь классическую систему, например, материальную точку в трёхмерном пространстве. Механика учит, что состояние такой точки полностью задаётся шестью числами: тремя координатами её положения в пространстве и тремя проекциями её скорости. Этот набор чисел называется состоянием системы. В философии такое состояние называется онтологическим: оно описывает реальное положение дел.

Возьмём систему попроще: бит. У бита всего два онтологических состояния: значение 0 и значение 1. Пусть наш бит меняет своё состояние раз в секунду. И пусть это происходит по правилу «с вероятностью 0,9 значение сохраняется и с вероятностью 0,1 меняется на противоположное». Тогда если первоначально бит имел значение 0, то через секунду он будет иметь с вероятностью 0,9 значение 0 и с вероятностью 0,1 значение 1. Выделенное курсивом — это тоже некоторое положение дел, иначе говоря состояние. Но это не реальное положение дел, так как реально бит имеет либо значение 0, либо значение 1. Такое состояние называется философами эпистемологическим, оно описывает наше (или ещё чьё-то) знание.

Но как мы знаем, реальные физические системы — не классические, а квантовые, и для них, как мы выяснили в предыдущей статье, правильно говорить не о вероятностях перехода, а об амплитудах перехода. Поэтому для квантового аналога бита, кубита, соответствующее правило звучит, например, так: «с амплитудой $\sqrt{0{,}9}$ значение бита остаётся тем же, с амплитудой $\sqrt{0{,}1}$ меняется с 0 на 1 и с амплитудой $-\sqrt{0{,}1}$ меняется с 1 на 0».

На первый взгляд может показаться, что разницы с классическим случаем никакой: ведь вероятности — это квадраты модулей амплитуд, и они совпадают с вероятностями для бита, рассмотренного выше. Но соль в сложении. Рассмотрим бит изначально в состоянии 1. Если складываются вероятности, то вероятность, что за 2 секунды бит останется 1 есть (складываем вероятности для двух альтернативных историй $1 \to 0 \to 1$ и $1 \to 1 \to 1$ )

$0{,}1 \cdot 0{,}1 + 0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}82,$

а вероятность что бит сменится на 0 есть (складываем $1 \to 0 \to 0$ и $1 \to 1 \to 0$ )

$0{,}9 \cdot 0{,}1 + 0{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}18.$

Если же складываются амплитуды, то для тех же вероятностей имеем

$\left| \sqrt{0{,}1} \cdot \left(-\sqrt{0{,}1}\right) + \sqrt{0{,}9} \cdot \sqrt{0{,}9} \right|^2 = 0{,}64$

$\left|\sqrt{0{,}9} \cdot \left(-\sqrt{0{,}1}\right) + \left(-\sqrt{0{,}1}\right) \cdot \sqrt{0{,}9} \right|^2= 0{,}36,$

то есть совсем другие числа. (Кстати, обратите внимание, что сумма вероятностей как и положено равна единице. Если бы для амплитуд мы выбрали другие знаки, так бы не получилось.)

Аналогично тому как мы говорили о состоянии значение 0 с вероятностью 0,9 и значение 1 с вероятностью 0,1 в классическом случае, в квантовом мы говорим о состоянии значение 0 с амплитудой $\sqrt{0{,}9}$ и значение 1 с амплитудой $\sqrt{0{,}1}$ .

Но вот вопрос — это квантовое состояние — оно онтологическое или эпистемологическое? В настоящее время ответ такой: мы не знаем. Есть аргументы и в ту и в другую сторону. Так, есть теорема о том, что квантовое состояние обязано иметь онтологическую природу. Казалось бы, вот он ответ. Но есть проблема: предположения теоремы о том, каким условиям должна удовлетворять физическая теория реальности, слишком сильные и потому их можно обойти, хотя бы и нетривиальным путём. Так что весьма возможно, что природа квантового состояния всё-таки именно эпистемологическая.

Коллапс

Вернёмся к опыту с двумя щелями, а именно к варианту с детектором, определяющим, через какую щель прошла частица. В момент когда частица долетела до экрана со щелями квантовое состояние будет такое: с амплитудой $\sqrt{0{,}5}$ частица у щели 1, а детектор показывает 1 и с амплитудой $\sqrt{0{,}5}$ частица у щели 2, а детектор показывает 2.

В этом месте у интерпретаций, считающих квантовое состояние онтологическим, возникает серьёзная трудность: как совместить наблюдение, что детектор показывает определённое значение с теоретическим результатом, который предсказывает странное, смешанное состояние детектора, не содержащее ни намёка на определённость результата?

Чтобы как-то разрешить эту трудность приходится, например, предполагать существование особого процесса — коллапса квантового состояния. Было состояние выписанное выше, а стало просто частица у щели 1, а детектор показывает 1 или просто частица у щели 2, а детектор показывает 2. Этот процесс не описывается базовыми уравнениями квантовой механики, поэтому он такой загадочный. Можно сформулировать коллапс и иначе: было состояние квантовое, с амплитудами, а стало эпистемологическое с вероятностью 0,5 частица у щели 1, а детектор показывает 1 и с вероятностью 0,5 частица у щели 2, а детектор показывает 2. Как могло онтологическое состояние (реальное положение дел) превратиться в эпистемологическое (чьё-то знание)? И чьё это знание? Загадка та ещё. Но выход из такого трудного положения есть, но весьма нетривиальный и влекущий новые трудности. Но здесь, в этой статье я хочу сосредоточиться на другой возможности.

У интерпретаций, приписывающих квантовому состоянию эпистемологическую природу, трудности с коллапсом не возникает. Естественно, что детектор показывает определённое значение, на то он и детектор. Квантовое состояние всего лишь отражает тот факт, что мы не знаем что именно он покажет и содержит в себе вероятности различных значений. Описание ипользующее амплитуды и описание, использующее вероятности — просто два разных описания одного и того же положения дел: математика чуть другая, а физическая природа та же. Всегда, когда альтернативы настолько различны, что не могут уже в будущем привести к одному состоянию, мы имеем право заменить амплитуды вероятностями — можно показать, что именно в такой ситуации это правомерная замена и она не влечёт потери информации или изменения каких-то вероятностей.

Корреляции

Квантовое состояние на самом деле содержит в себе гораздо больше информации чем просто вероятности. Так, оно содежит информацию о корреляциях. Например, в состоянии из опыта с двумя щелями ненулевая амплитуда того, что частица находится у щели 1 и при этом детектор показывает 1. Но амплитуда того, что частица находится у щели 1 и при этом детектор показывает 2, равна нулю. Это значит, что положение частицы и показания детектора скоррелированы: и то и другое случайно, как бросок монеты, но при этом результаты не могут противоречить друг другу.

Квантовые корреляции не ограничены пространством и даже временем. В опыте ЭПР состояние имеет вид с амплитудой $\sqrt{0{,}5}$ прибор 1 показал нолик, а прибор 2 — единичку, и с амплитудой $\sqrt{0{,}5}$ прибор 1 показал единичку, а прибор 2 — нолик, и хотя расстояние между приборами в момент «принятия решения», что показывать, может быть сколь угодно большим, корреляция выполняется неукоснительно.

Мы привыкли, что для существования корреляции, для согласованности чего-либо с чем-нибудь нужен канал связи, нужна передача информации. В квантах это не так. Квантовое состояние — принципиально иной способ обеспечения корреляций. Неверно говорить, что прибор 1 как-то повлиял на прибор 2 или наоборот — расстояние между ними не позволяет это делать. Показания каждого прибора случайны, но при этом скоррелированы друг с другом благодаря свойствам квантового состояния.

Упрощение опыта с двумя щелями

Наша цель — разобраться в любопытном эксперименте под названием «квантовый ластик с отложенным выбором». Есть разные вариации этого опыта. Мы воспользуемся максимально простым, который, однако, полностью эквивалентен более сложным альтернативам в смысле вызова здравому смыслу и классическим представлениям об устройстве природы.

Для начала рассмотрим эксперимента с интерференцией, который является упрощённой версией эксперимента с двумя щелями. Вместо двух путей через левую и правую щель мы теперь имеем путь через левое зеркало и путь через правое зеркало . Если один из путей перекрыт, фотоны равновероятно попадают в два датчика , , что легко объяснимо: долетая единственным открытым путём до второго полупрозрачного зеркала, фотоны то отражаются на нём, то проходят сквозь.

Простой эксперимент с интерференцией. Фотоны вылетают из источника S, проходят через первое полупрозрачное зеркало, отражаются от промежуточных зеркал L, R, попадают на второе полупрозрачное зеркало, и, наконец, в один из двух детекторов T, U.

Но если открыты оба пути, появляется на первый взгляд странное, неклассическое поведение. Именно, все фотоны попадают в , а не регистрирует ничего. Почему оно странное? Потому что обычный человек, не знакомый с квантовой механикой рассуждает так: фотон из равновероятно переходит либо в , либо в , а из (а равно из ) равновероятно либо в либо в . Поэтому вероятность попадания в равна

$P(S \to T) =$ $= P(S \to L) P(L \to T) + P(S \to R) P(R \to T) = \frac 1 2 \cdot \frac 1 2 + \frac 1 2 \cdot \frac 1 2 =$ $= \frac 1 2.$

Но мы-то с вами уже знаем, что это просто неверный закон природы, и на самом деле складываются амплитуды, а не вероятности. Но на этот раз сделаем расчёт немножко иначе. Во-первых, заметим, что на каждом участке фотон находится в одном из двух альтернативных состояний. На конечном участке фотон либо летит в , либо в . На предыдущем участке он либо летит по пути через , либо по пути через . Наконец, в начале он всегда в , но для единообразия представим что он так же может налетать на зеркало справа, из воображаемого симметрично расположенного источника . Поэтому квантовое состояние фотона — это пара комплексных чисел: первое задаёт амплитуду нахождения в первом состоянии (это , , в зависимости от рассматриваемого этапа), а второе — соответственно во втором (, , ). Так, начальное состояние в этой нотации — это , поскольку источник расположен в , а в источника нет.

Теперь разберёмся с полупрозрачным зеркалом (например, первым, второе в точности такое же). Оно должно как-то связывать амплитуды входного состояния с амплитудами выходного. Если учесть все ограничения: что полная вероятность перейти хоть куда-то должна быть единица, что вероятности перейти из в и из в должны быть равны, и то же справедливо для переходов из , что выходные амплитуды должны линейно зависеть от входных, то остаётся не так много вариантов. Окончательно это определяется конкретной конструкцией зеркала, а для мысленного эксперимента можно просто выбрать что попроще. В итоге получаем такие амплитуды:

$\begin{matrix}A(S \to L) = A(L \to T) = -\frac 1 {\sqrt 2}, & A(S \to R) = A(L \to U) = \frac 1 {\sqrt 2}, \\A(S' \to L) = A(R \to T) = \frac 1 {\sqrt 2}, & A(S' \to R) = A(R \to U) = \frac 1 {\sqrt 2}.\end{matrix}$

Посмотрим что получается. Вначале у нас состояние . Значит, после прохождения первого полупрозрачного зеркала амплитуда будет $A(L) = A(S \to L) \cdot 1 = -\frac 1 {\sqrt 2}$ , а амплитуда — $A(R) = A(S \to R) \cdot 1 = \frac 1 {\sqrt 2}$ . Итого имеем состояние $(-\frac 1 {\sqrt 2}, \frac 1 {\sqrt 2})$ . Вероятности равны квадратам модулей амплитуд, то есть такое состояние означает, что с вероятностью $\frac 1 2$ частица летит левым путём и с вероятностью $\frac 1 2$ — правым. Но квантовое состояние содержит больше информации. Так, в нём на самом деле записана информация откуда фотон прилетел: из или . Действительно, если бы фотон летел из состояние после полупрозрачного зеркала было бы $(\frac 1 {\sqrt 2}, \frac 1 {\sqrt 2})$ , что даёт те же вероятности, но отличается (знаком первой амплитуды) от состояния $(-\frac 1 {\sqrt 2}, \frac 1 {\sqrt 2})$ .

Когда мы выше делали неверный расчёт, используя вероятности, мы фактически мысленно прерывали весь процесс в этой точке и перезапускали с неё, потеряв информацию о знаках амплитуд и забыв тем самым предысторию, фактически неявно предполагая, что будущее системы полностью определяется тем, где она находится сейчас, но не её прошлым. То, что для квантовых систем это предположение неверно, что квантовые системы не обладают т. н. свойством делимости, было осознано совсем недавно.

Теперь второе зеркало. Если бы входная амплитуда была $(-\frac 1 { \sqrt 2}, 0)$ (фотон налетает из ), мы бы получили

$A_1(T) = A(L \to T) \cdot \left(-\frac 1 { \sqrt 2}\right) =\left(-\frac 1 { \sqrt 2}\right) \cdot \left(-\frac 1 { \sqrt 2}\right) = \frac 1 2,$ $A_1(U) = A(L \to U) \cdot \left(-\frac 1 { \sqrt 2}\right) =\frac 1 { \sqrt 2} \cdot \left(-\frac 1 { \sqrt 2}\right) = -\frac 1 2,$

а если бы амплитуда была $(0, \frac 1 { \sqrt 2})$ (фотон летит из ), то получилось бы

$A_2(T) = A(R \to T) \cdot \frac 1 { \sqrt 2} =\frac 1 { \sqrt 2} \cdot \frac 1 { \sqrt 2} = \frac 1 2,$ $A_2(U) = A(R \to U) \cdot \frac 1 { \sqrt 2} =\frac 1 { \sqrt 2} \cdot \frac 1 { \sqrt 2} = \frac 1 2.$

А на самом деле входное состояние $(-\frac 1 {\sqrt 2}, \frac 1 {\sqrt 2})$ , поэтому результаты выше надо сложить:

$A(T) = A_1(T) + A_2(T) = \frac 1 2 + \frac 1 2 = 1,$ $A(U) = A_1(U) + A_2(U) = -\frac 1 2 + \frac 1 2 = 0.$

Амплитуда попадания в получилась нулевая! А это значит, что фотон туда просто не попадает.

А что если поставить датчик, определяющий каким путём прошёл фотон? Получится следующее. Вместо простых состояний , и так далее мы будем иметь дполнительную информацию о показаниях датчика. Обозначим её индексами , . Так, в конце вместо двух возможных состояний , мы будем иметь четыре: — фотон в , датчик показывает путь , — фотон в , датчик показывает путь , — фотон в , датчик показывает путь , — фотон в , датчик показывает путь .

И вместо $A(T) = A(L \to T) A(L) + A(R \to T) A(R)$ получим например

$A(T_R) = A(T \to R) A(L_R) + A(R \to T) A(R_R).$

Но если только датчик работает правильно, то — это означает ситуацию, что фотон пролетел через , а датчик зафиксировал пролёт через , поэтому остаётся только одно слагаемое:

$A(T_R) = A(R \to T) A(R_R) = \frac 1 {\sqrt 2} \cdot \frac 1 {\sqrt 2} = \frac 1 2.$

И аналогично три других конечных амплитуды:

$A(T_L) = A(L \to T) A(L_L) =\left(-\frac 1 { \sqrt 2}\right) \cdot \left(-\frac 1 { \sqrt 2}\right) = \frac 1 2,$ $A(U_R) = A(R \to U) A(R_R) =\frac 1 { \sqrt 2} \cdot \frac 1 { \sqrt 2} = \frac 1 2,$ $A(U_L) = A(L \to U) A(L_L) =\frac 1 { \sqrt 2} \cdot \left(-\frac 1 { \sqrt 2}\right) = -\frac 1 2.$

Для получения вероятностей как всегда находим модуль и возводим в квадрат, получаем:

$P(T_R) = P(T_L) = P(U_R) = P(U_L) = \frac 1 4.$

Если нас не интересуют показания датчика, то по правилам теории вероятностей (которую квантовая механика никоим образом не отменяет и не заменяет)

$P(T) = P(T_R) + P(T_L) = \frac 1 4 + \frac 1 4 = \frac 1 2,$ $P(U) = P(U_R) + P(U_L) = \frac 1 4 + \frac 1 4 = \frac 1 2.$

То есть в этом случае фотоны будут равновероятно попадать в два датчика!

Итак, мы разобрали функционирование базовой установки и нашли, что аналогично опыту с двумя щелями мы имеем две ситуации: в тех случаях где с двумя щелями наблюдаются интерференционные полосы, в данном опыте мы наблюдаем попадание фотона строго в один конечный датчик, а в случае перекрытия одного из путей или фиксации пролёта фотона мы получаем аналог отсутствия полос — равновероятное попадание в два конечных датчика.

Квантовый ластик

Возьмём установку, рассмотренную выше и добавим в неё устройство, известное под названием «controlled-NOT gate» или сокращённо CNOT. Это устройство, которое содержит в себе кубит, и управляется цифровым входом. Если на входе нет сигнала, оно ничего не делает. А если на входе появляется сигнал, устройство «переворачивает» кубит, то есть переводит в и наоборот.

Соединим CNOT с датчиком пролёта фотона по правому пути так, чтобы если фотон пролетел через , кубит не переворачивался, а если пролетел через , то переворачивался. В начале опыта установим кубит в значение . Запустим фотон, дождёмся срабатывания или и затем измерим значение кубита. Тогда как и в случае с обычным датчиком пролёта мы получим четыре возможных итога (нижний индекс — значение кубита):

Найдём амплитуды этих состояний.

$A(T_0) = A_(L \to T) A(L_0) + A_(R \to T) A(R_0),$

но , ведь при пролёте через бит переворачивается и становится . Поэтому картина получается в точности аналогична ситуации с простам датчиком пролёта: все четыре конечных ситуации равноверятны, никакой интерференции не наблюдается.

А теперь вместо простого измерения применим сначала к кубиту преобразование, похожее на то, что для фотона делает полупрозрачное зеркало. Именно, пусть амплитуды перехода будут следующие:

$\begin{matrix}A(0 \to 0) = - \frac 1 {\sqrt 2}, & A(0 \to 1) = \frac 1 {\sqrt 2},A(1 \to 0) = \frac 1 {\sqrt 2}, A(1 \to 1) = \frac 1 {\sqrt 2}.\end{matrix}$

Так же как зеркало одинаково пропускает фотон в двух направлениях, такое преобразование кубита равновероятно оставляет состояние прежним или переворачивает, поэтому измерив результат невозможно сказать, какое состояние было до преобразование — или . Мы как бы стираем информацию полученную от датчика пролёта. Вот почему эксперимент называется «квантовый ластик».

Тогда будет состоять из следующих ненулевых слагаемых

$= A(L \to T) A(0 \to 0) A(L_0) + A(R \to T) A(1 \to 0) A(R_1) =$ $=- \frac 1 {\sqrt 2} \cdot \left( - \frac 1 {\sqrt 2} \right) \cdot \left( -\frac 1 {\sqrt 2} \right)+ \frac 1 {\sqrt 2} \cdot \frac 1 {\sqrt 2} \cdot \frac 1 {\sqrt 2} =$

и аналогично

$= A(L \to T) A(0 \to 1) A(L_0) + A(R \to T) A(1 \to 1) A(R_1) =$ $=- \frac 1 {\sqrt 2} \cdot \frac 1 {\sqrt 2} \cdot \left( -\frac 1 {\sqrt 2} \right)+ \frac 1 {\sqrt 2} \cdot \frac 1 {\sqrt 2} \cdot \frac 1 {\sqrt 2} =$ $= \frac 1 {\sqrt 2},$

$= A(L \to U) A(0 \to 0) A(L_0) + A(R \to U) A(1 \to 0) A(R_1) =$ $=\frac 1 {\sqrt 2} \cdot \left( - \frac 1 {\sqrt 2} \right) \cdot \left( -\frac 1 {\sqrt 2} \right)+ \frac 1 {\sqrt 2} \cdot \frac 1 {\sqrt 2} \cdot \frac 1 {\sqrt 2} =$ $= \frac 1 {\sqrt 2},$ $A(U_1) = \\ = A(L \to U) A(0 \to 1) A(L_0) + A(R \to U) A(1 \to 1) A(R_1) =$ $=\frac 1 {\sqrt 2} \cdot \frac 1 {\sqrt 2} \cdot \left( -\frac 1 {\sqrt 2} \right)+ \frac 1 {\sqrt 2} \cdot \frac 1 {\sqrt 2} \cdot \frac 1 {\sqrt 2} =$

Пока мы не измерили кубит, мы не знаем его значение и получаем такую картину:

$P(T) = |A(T_0)|^2 + |A(T_1)|^2 = \frac 1 2,$ $P(U) = |A(U_0)|^2 + |A(U_1)|^2 = \frac 1 2,$

то есть по-прежнему никакой интерференции. Но когда мы измеряем кубит, мы получаем возможность отфильтровать результаты, например, для состояния кубита , и тут картина совсем другая:

$P(U_0) = |A(U_0)|^2 = \frac 1 2,$ $P(0) = P(T_0) + P(U_0) = \frac 1 2,$

Мы видим интерференцию как если бы никакого датчика пролёта не было!

И обратите внимание: то, обнаружится ли в итоге интерференция фотонов, зависит от того, что мы делаем с кубитом уже после того как все фотоны попали в датчики: если мы просто измеряем кубит, то интерференции не будет. Если же сначала делаем «стирание», то будет.

Вот этот результат и считается тем удивительным результатом, который якобы трудно объяснить.

Вот только это совсем не трудно, как мы видим. Простой прямолинейный расчёт приводит именно к такому результату.

Неправильное объяснение

Чтобы вы всё-таки поняли, почему рассчитанный нами результат считается чем-то странным, я попробую воспроизвести соответствующее рассуждение.

Квантовые частицы могут вести себя как волны, а могут как частицы.
Для интерференции необходимо, чтобы фотон с самого начала и конца эксперимента вёл себя как волна.
Для отсутствия интерференции необходимо, чтобы фотон хотя бы в какой-то момент в процессе эксперимента повёл себя как частица.
Будет или не будет наблюдаться интерференция, зависит от действий экспериментатора уже после фиксации попадания фотона в датчики.
Следовательно, будет или не будет себя вести фотон как частица также зависит от событий в будущем.
Следовательно, для объяснения результатов необходимо прибегнуть к ретрокаузальности, то есть допущению что будущее может влиять на прошлое.

Такое рассуждение неверное, потому что интерференция не обязательно связана с волнами. В квантовой механике интерференция связана с тем, что поведение системы определяется её квантовым состоянием, амплитудами. Амплитуды действительно имеют кое-что общее с волнами, но и только, они не превращают частицу в волну. (Как и у волны, у амплитуды есть понятие фазы — помните минусы у амплитуд, которые исчезают при вычислении вероятностей, но хранят информацию о прошлом состоянии. Это и есть фаза.)

Вывод

Мы смогли предсказать «странный» результат известного квантомеханического эксперимента, используя школьную математику и

не прибегая к концепции множественности миров;
не считая фотон то частицей то волной (т. н. корпускулярно-волновой дуализм);
не предполагая, что фотон каким-то образом одновременно идёт двумя путями: да, амплитуды и обе ненулевые, но это это компоненты квантового состояния, а вовсе не онтологического;
не прибегая к ретрокаузальности.

Поэтому можно смело повторить: в квантовой механике нет никакой магии.