Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Хабр доступен 24/7 благодаря поддержке друзей
Комментарии 20
Вопрос, можно ли ввести аксиомы так, чтобы мы описали наши привычные натуральные числа, и только их (т.е. существует ли формула, подставив в которую естественное натуральное число она выдаст True, а любое другое число False)? Ответ — нет. Идея доказательства в том, что все формулы можно закодировать натуральными числами. А далее, написав хитрую формулу, и подставив ее код в Ф (формула, которая по предположению умеет определять естественную натуральность), мы получим противоречие.А само доказательств можно посмотреть?
lpcs.math.msu.su/vml2012/slides10.pdf до страницы 10. В принципе, хотел привести доказательство тут, но понял, что статья и так громоздкая и это лишь отпугнет читателей.
Интересная лекция, но вы её неправильно интерпретировали. Сейчас немного разгребусь с работой и объясню, почему.
Я прекрасно понимаю в чем заключается суть написанного, ибо сдал по этому предмету экзамен. Просто, мне кажется, что из той теоремы несложно следует утверждение о неопределимости натуральных чисел.
«Оригинальное исследование», как говорят в загнивающей Википедии. Причём настолько оригинальное, что вы даже не сочли нужным его строго сформулировать. Нехорошо.
Как вы могли заметить, я ничего строго не формулировал в этой статье. Я просто дал почву для размышлений хабралюдям, что математика интересная наука.
На мой взгляд, рассказывать о математике с таким числом нестрогостей и неточностей — нельзя. Таким образом, вы скорее дадите почву считать, что математика — полная чушь, чем увлечете кого-то.
Например, ваша формулировка аксиомы выбора никуда не годится и ни к каким парадоксам не приводит. Теорема о «неопределимости натуральных чисел» вообще не сформулирована, но названа в качестве парадокса.
Мне вот прямо как-то обидно за математику стало.
Например, ваша формулировка аксиомы выбора никуда не годится и ни к каким парадоксам не приводит. Теорема о «неопределимости натуральных чисел» вообще не сформулирована, но названа в качестве парадокса.
Мне вот прямо как-то обидно за математику стало.
1. Аксиома выбора звучит так. Для любого непустого множества существует функция выбора. Если своими словами, то функция работает так, мы даем непустое подмножество, оно выдает нам элемент этого подмнжества. Вообще говоря, есть очень много эквивалентных формулировок. Прежде чем обвинять, прошу разобраться.
2. Если я назвал неопределимость натуральных чисел парадоксом, то прошу прощения, это просто интересный факт.
2. Если я назвал неопределимость натуральных чисел парадоксом, то прошу прощения, это просто интересный факт.
Функция выбора — это когда для множества непересекающихся непустых множеств A_i мы строим множество, состоящее из элементов a_i, такое, что каждый a_i принадлежит своему A_i (здесь индекс i — не обязательно число, мощность исходного множества множеств может быть произвольной). Альтернативная (эквивалентная) формулировка — декартово произведение любого семейства непустых множеств непусто.
Например, если у нас есть бесконечно много пар ботинок, то функция выбора существует: возьмем левый ботинок из каждой пары. Если же нам дали бесконечно много пар носков (носки в каждой паре неразличимы), то без аксиомы выбора мы не сможем выбрать по носку из каждой пары, здесь существование функции выбора можно получить только как следствие из аксиомы.
А выбрать элемент из одного отдельно взятого непустого множества можно всегда…
Например, если у нас есть бесконечно много пар ботинок, то функция выбора существует: возьмем левый ботинок из каждой пары. Если же нам дали бесконечно много пар носков (носки в каждой паре неразличимы), то без аксиомы выбора мы не сможем выбрать по носку из каждой пары, здесь существование функции выбора можно получить только как следствие из аксиомы.
А выбрать элемент из одного отдельно взятого непустого множества можно всегда…
А, да, если сказать, что «функция выбора» определена на всех непустых подмножествах данного множества, то всё правильно. Но догадаться до этого из вашей формулировки не очень просто.
1. Насчет аксиомы выбора Mrrl уже ответил. Отмечу, что существенным является именно наличие не одного множества, а некоторого (и что самое главное бесконечного) семейства множеств.
2. Чтобы «неопредилимость» стала фактом надо сначала определиться с тем, что вы называете «неопределимостью». А потом это доказать. У вас этого нет.
2. Чтобы «неопредилимость» стала фактом надо сначала определиться с тем, что вы называете «неопределимостью». А потом это доказать. У вас этого нет.
А почему высказывания Кантора и Кронекера приведены в английском переводе? Если уж приводить иностранную надпись, то в первоисточнике. Кантор писал Дедекинду по французски: «Je le vois, mais je ne le crois pas!». Ну а Кронекер пользовался родным немецким: «Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk»
Оказывается, что если мы добавим новое натуральное число с к нашим привычным натуральным числам и скажем, что оно больше всех наших привычных, то мы не придем ни к какому противоречию. Т.е. у нас есть не только наша модель N, но и, к примеру, N + Z. Где в N и Z (целые числа) обычное сравнение чисел, а также любое число из N меньше любого числа из Z.
В этой модели не выполняется аксиома индуктивности. Утверждение, которое удовлетворяет условиям индукции, но верно не для всех чисел этой модели — «x принадлежит N».
Вы используете логику второго порядка. Она куда сложнее и там куда больше дебрей.
В логике же первого порядка нет таких слов, как принадлежность множеству.
В логике же первого порядка нет таких слов, как принадлежность множеству.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Так ли точна математика, как кажется?