Maple: составление уравнений Лагранжа 2 рода и метод избыточных координат

[loginsin]

Прошу прощения, но условие действительно туманно (хотя, возможно, только мне это сложно представить):

Груз, висящий на нити длины L = 1,1 м, привязанной к гвоздю, толкнули так, что он поднялся, а затем ударился в гвоздь. Какова его скорость в момент удара о гвоздь? Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

Могу себе только представить, что груз толкнули вверх (строго по направлению нити), чтобы тот ударился о гвоздь. Если его толкнуть в бок, то в идеальном случае он опишет окружность вокруг гвоздя. Не в идеальном — нить намотается на гвоздь.
Как все-таки толкнули груз, что он ударился в гвоздь? По какой траектории?

[loginsin]

Дополню: Если все-таки толкнули вверх, то могли толкнуть так, что в точке соприкосновения с гвоздем скорость может иметь значения от нуля (при минимальной силе, достаточной для того, чтобы груз достиг гвоздя) и выше. В этом случае, условие неполно.

[maisvendoo]

нуля (при минимальной силе, достаточной для того, чтобы груз достиг гвоздя)

Не хочу показаться занудой, но я бы поправил Вас, сказав о минимальной начальной скорости направленной вертикально ().

Сила которая сообщила грузу такую скорость перестала дейсвовать в момент начала полета и в рассмотрении не участвует. Хотя, опосредованно, о минимальной силе, разумеется можно говорить :)

P.S.: Почувствовал себя Споком и Шелдоном одновременно…

[loginsin]

Да, в данном случае о скорости говорить разумнее, т.к. от масса, которая в задаче не сообщается, нас интересовать не будет.

[PapaBubaDiop]

Последний рисунок в статье- траектория решения. Гвоздь- в центре координат.

[loginsin]

Как говорил Док Браун: С пространственным воображением у тебя проблемы, Марти!
Спасибо, все встало на места

[maisvendoo]

Могу себе только представить, что груз толкнули вверх (строго по направлению нити), чтобы тот ударился о гвоздь.

Согласен с Вами — условие не просто туманно, оно сформулировано так, что допускает разное толкование процесса. Я бы сформулировал задачу по другому.

Мы с ученицей посчитали предложенный Вами вариант тривиальным и сразу его отмели :)

Почему-то такие формулировки заданий весьма характерны для школьных олимпиад — видимо авторы хотят тем самым дополнительно запутать участников. А на деле тут и путать нечего — задача сама по себе хороша, и по задумке в целом и с методической точки зрения. Её можно дать даже на студенческой олимпиаде по теормеху. По пути решения приходится пройти через довольно крепенькую для школьника математику с тригонометрией и корнями — получение ответа в общем виде требует аккуратности при выполнении выкладок.

P.S.: В статью надо вставить свой вариант условия.

[fingoldo]

Да не то что хотят запутать — это прямой признак неграмотности составителей задачи.
С озвученными условиями задача имеет бесконечное множество решений — ведь неизвестно, с какой силой изначально толкнули груз. Вдруг он развил первую космическую и подбил американский спутник-шпион??!

[maisvendoo]

ведь неизвестно, с какой силой изначально толкнули груз

Дело в том, что попадание в гвозь возможно только при вполне определенной горизонтальной начальной скорости , а положение нити при котором она провисает вообще от её длины не зависит

Единственное что авторам надо было указать — что груз толкают горизонтально

[degs]

При том что задача решается арифметически в несколько строк (и в этом ее соль) может не стоило городить такое громоздкое численное решение?

[maisvendoo]

Суть статьи не в том, что решается школьная задача. Её решение лишь илюстрация предлагаемой методики — метод избыточных координат для систем с освобождающими связями и сухим трением (статья о сухом трении скоро будет). Речь идет о применимости формализма Лагранжа к задачам подобного рода и более сложным. Пример выбран так, чтобы любой читатель мог при желании быстро проверить его не вдаваясь в громоздкие выкладки.

Ведь как учили нас в университете — если есть трение или нить, или поверность, с которой произойдет отрыв, то уравнения Лагранжа неприменимы. А на деле это не так — они очень даже применимы и трудоемкость процесса окупается возможностью его автоматизации.

Методика изложена в литературе (А. И. Огурцов. Аналитическая механика), но внимания к ней довольно мало

[maisvendoo]

Что интересно, в системе Wolfram Mathematica 10 получение уравнений Лагранжа выглядит гораздо компактнее

LagrangeEQs[T_, q_, r_, F_]:= Module[{ret=Range[Length[q]]},
	For[i = 1, i <= Length[q], i++,
		ret[[i]] = D[D[T, D[q[[i]], t]], t] - D[T, q[[i]]] == Sum[F[[k]].D[r[[k]], q[[i]]], {k, 1, Length[F]}]
	];
	ret
]

[maisvendoo]

А всё потому что вольфрам умеет брать производную по функции и по производной от функции, а Maple до сих пор не понимает конструкций вида

diff(T, diff(q(t), t))

и проиходится вводить подстановки