Про Бурали-Форти, Пуанкаре и то самое определение единицы

Если вы, уважаемый мой читатель, имеете обыкновение проводить много времени в интернете, вы наверняка уже видели эту картинку с цитатой:



Наверняка также вы задавались вопросом: что, чёрт подери, здесь написано? Формула из этой цитаты интересна тем, что у человека, имеющего высшее математическое образование, этот вопрос возникает столь же неумолимо, как и у любознательного семиклассника. У нелюбознательных семиклассников несколько иной круг интересов, выходящий за рамки данной статьи; однако даже они не откажут себе в удовольствии похихикать над «этими чокнутыми ботаниками», или как оно там формулируется на современном молодёжном сленге.

В нижеследующем тексте я раскрою перед вами тайну этого загадочного сочетания символов. Пожалуйте под кат, однако помните поучительную историю о любопытной Варваре, которой на базаре рассказали про парадокс Банаха-Тарского, отчего она сошла с ума, разрезала себе нос на конечное количество частей и склеила из них рогатую сферу Александера.

Кто все эти люди?

Если вас не интересует историческая справка, смело переходите к следующему разделу.

Итак, перед нами цитата из текста безымянного автора, который цитирует Пуанкаре, цитирующего, в свою очередь, некоего Бурали-Форти. Чтобы разобраться во всём этом постмодернизме, начнём, пожалуй, с автора цитаты верхнего уровня. Зовут его Виктор Филиппович Журавлёв, он доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН, а также автор книги под неизбитым названием «Основы теоретической механики». Именно в ней, на странице номер восемь (если смотреть по изданию 2008 года) и встречается вышеупомянутая формула. Приведу здесь немного контекста, чтобы стало понятно, к чему он это.

Заметим, что изложение любой формальной аксиоматизации классической механики в курсе механики неуместно, поскольку составляет фактически главу математической логики, а не собственно механики.

Точно так же аксиоматизация арифметики не является предметом самой арифметики. <далее идёт та самая цитата, её я перепечатывать не буду>

Так и в механике, имеет смысл предполагать наличие у читателей достаточной физической интуиции, чтобы не перегружать изложение основ избыточным формализмом.

Кто такой Пуанкаре, я полагаю, объяснять не нужно. В свете недавних событий даже махровые гуманитарии должны помнить эту фамилию в сочетании со словом «гипотеза» и ещё одной фамилией «Перельман». Если совсем кратенько (для тех, кто с середины девятнадцатого века до текущего момента просидел в каменном мешке), Жюль Анри Пуанкаре — один из величайших математиков всех времён, учёный-энциклопедист, создатель топологии, математических основ теории относительности и ещё всяких забавных и полезных штук. Приведённая цитата-в-цитате позаимствована из его труда «Наука и метод» 1910 года издания. Данный труд представляет собой сборник эссе на различные математические, научные, философские и дидактические темы. Очень любопытная, лёгкая для прочтения и до сих пор актуальная вещь, которую можно растащить на цитаты чуть менее чем полностью.

Вот, например:

Чем объяснить, что многие умы отказываются понимать математику? Не парадоксально ли это? В самом деле, вот наука, которая апеллирует только к основным принципам логики, например к принципу противоречия, апеллирует к тому, что составляет, так сказать, скелет нашего разумения, к тому, от чего нельзя отказаться, не отказываясь вместе с тем от самого мышления, и все же встречаются люди, которые находят эту науку темной! И этих людей большинство! Пусть бы они оказались неспособными изобретать — это еще допустимо. Но они не понимают доказательств, которые им предлагают, они остаются слепыми, когда им подносят свет, который для нас горит чистым и ярким пламенем, — вот что чрезвычайно странно.

Или с другой стороны:

Вот в четвертом классе. Преподаватель диктует: «окружность — это геометрическое место точек на плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной внутренней точки, именуемой центром». Хороший ученик вписывает эту фразу в свою тетрадь; плохой ученик рисует в ней «человечков», но ни тот, ни другой ничего не поняли. Тогда преподаватель берет мел и рисует круг на доске. «Ага, — думают ученики, — почему он не сказал сразу: окружность — это кружок, и мы бы сразу поняли».

Однако нас интересует одна конкретная цитата. Она расположена в главе «Математика и логика», которая начинается так:

Можно ли математику свести к логике, не обращаясь предварительно к тем принципам, которые ей, математике, свойственны? Существует школа математиков, которая со всей страстью и верой в дело стремится доказать это. Она выработала специальный язык, в котором нет больше слов, а имеются одни только знаки. Этот язык понятен только немногим посвященным, так что профаны склонны преклоняться перед категорическими утверждениями горячих адептов.

Я полагаю, читатель уже понял, о чём пойдёт речь дальше. Пуанкаре с некоторой горячностью нападает на математиков «новой школы» с их непонятными обозначениями и пересмотром основ. Как показали дальнейшие события, в этом вопросе он оказался ретроградом — впрочем, у него были для этого веские причины. То, что происходило в математике в суровые 1890-е, способно было ошеломить и более безразличного человека, чем этот восторженный француз.

Вот мы и добрались до конца цепочки, до цитаты, не содержащей внутренних цитат. Её автор — Чезаре Бурали-Форти, математик не то чтобы великий, но сумевший вписать своё имя в историю благодаря некоему парадоксу, к которому мы вернёмся позднее. Информация о нём довольно скудна, я не смог даже найти, как стоят ударения в его фамилии. Формула, сподвигнувшая меня на написание этой статьи, содержалась в его статье «Вопрос о трансфинитных числах». Я нашёл эту статью в книге Жана ван Хейенорта — кстати, известного троцкиста, — под названием «From Frege To Gödel: A Source Book in Mathematical Logic» (здесь и далее я не рискую переводить названия, поскольку май инглиш из нот вери велл). Это была большая удача, поскольку вместе с ней в книге содержалась статья Пеано «The principles of arithmetic, presented by a new method». Именно в этой статье были введены те самые «обозначения, понятные только немногим посвящённым», без которых статья Бурали-Форте была бы для меня всё равно что на китайском.

Кстати,

краткий пересказ содержания той самой статьи Пеано есть в одном из моих хабрапостов

Лирическое отступление

Если вы не хотите посмотреть на забавные крякозябры, можете сразу переходить к следующему разделу

Перед статьями Пеано и Бурали-Форти в книге-сборнике ван Хейенорта шла статья Фреге «Исчисление понятий, или подражающий арифметике формальный язык чистого мышления». Фридрих Людвиг Готлоб Фреге, математик и философ, может, в принципе, считаться создателем исчисления предикатов. К теме данного хабрапоста он имеет отношение довольно опосредованное (Пуанкаре даже не упомянул его в своей книге, хотя именно Фреге, по сути, заварил всю эту кашу со сведением математики к логике). Однако я просто не мог не поделиться его моднейшими обозначениями. К счастью (или к сожалению), они не прижились в современной матлогике из-за своей сложности. Фреге заявлял, конечно, что «удобство наборщика в типографии определённо не есть высшее благо», однако, как мы можем видеть, определённую роль сыграл и этот фактор. Впрочем, довольно предисловий.

Узрите!

«Из А следует В»


«Из А следует В, и из этого следует Г»


«Неверно, что из того, что из отрицания А следует В, следует Г»


«Мгла ада, делённая на хтонический ужас»


«Пх’нглуи мглв’нафх Ктулху Р’лайх вгах’нагл фхтагн! Айя Ктулху, айя Дагон!»

Конечно, нужно признать, что для человека, далёкого от «вот этого всего», современная запись формул логики предикатов выглядит немногим более понятно.

Теоретические сведения

Если вы знаете, что такое порядковые числа и в чём состоит парадокс Бурали-Форти, можете немедленно перейти к заключительному разделу.

Немецкий математик Георг Кантор — один из первых, кто стал разбираться в сортах бесконечностей. До него этих сортов было только два — потенциальная бесконечность и актуальная бесконечность. Можно пояснить эти понятия следующим образом:

• Потенциальная бесконечность. Пусть у нас есть кучка яблок, и каждый день мы кладём туда ещё одно яблоко. Рано или поздно количество яблок в кучке станет больше любого наперёд заданного числа.
• Актуальная бесконечность. Пусть у нас есть кучка, в которой бесконечное число яблок.

До некоторого момента в математике встречалась лишь потенциальная бесконечность, а актуальной бесконечностью оперировали лишь теологи для описания различных категорий божественного. Кантор, грубо введя актуальную бесконечность в математику, вызвал волну возмущения как среди религиозных деятелей, так и среди математиков-современников, включая вышеупомянутого Пуанкаре. Причём при внимательном рассмотрении оказалось, что актуальные бесконечности бывают разные. Количество натуральных чисел — это одна бесконечность, количество действительных — другая, и вторая бесконечность больше первой. А количество функций действительного аргумента — это третья бесконечность, превосходящая первые две вместе взятые!

Натуральные числа применяются для обозначения конечных количеств, но что делать с бесконечными количествами? Для этого натуральный ряд расширили до множества так называемых кардинальных чисел. Кардинальное число — это количество (в широком смысле этого слова) элементов некоторого множества. Единица — количество элементов во множестве из одного элемента. Двойка — количество элементов во множестве из двух элементов. Дальше, за натуральными числами, маячит число N₀, равное количеству натуральных чисел. Вообще, вместо буквы N должна быть еврейская буква «алеф», но при попытке вставить соответствующий символ юникода у меня из ушей полезла маца направление текста изменилось на «справа налево», и я, не разобравшись, как вернуть его в исходное состояние, плюнул.

Так вот, за N₀ следует некое N₁, однако вопрос о том, какое ему соответствует множество, оказался нетривиальным (см. Континуум-гипотеза). С понятием «следующего числа» при переходе от конечного к бесконечному возникла заминка.

Существуют, однако, и другие «бесконечные числа» — так называемые порядковые числа, они же ординалы, также придуманные Кантором. Их определение довольно сложно, но я постараюсь в двух словах его обрисовать. Если кардинальные числа соответствуют простым множествам, то ординалы — множествам упорядоченным, т.е. таким, что для любых их двух элементов указано. какой из них больше, а какой меньше. Отношение порядка должно соответствовать некоторым очевидным критериям, о которых мы скромно умолчим. Кроме того, для построения ординалов на упорядоченное множество накладываются дополнительные условия, при которых оно называется вполне упорядоченным. Если между двумя вполне упорядоченными множествами можно установить однозначное соответствие, сохраняющее отношение порядка, то эти множества обладают одним и тем же ординалом.

Конечные ординалы можно поставить в соответствие натуральным числам. Например, ординал множества {1, 2, 3} можно поставить в соответствие натуральному числу 3. Ординалы можно складывать между собой, и в случае конечных ординалов сложение будет согласовано со сложением натуральных чисел (например, Ord{1, 2} + Ord{1, 2, 3} = Ord{1, 2, 3, 4, 5} ). Чтобы сложить два ординала, нужно взять соответствующие им множества, а затем объединить их в одно множество и задать на нём следующее отношение порядка:

• Если мы сравниваем два элемента из одного и того же исходного множества, то используем отношение порядка, которое было в том множестве
• Если мы сравниваем два элемента из разных исходных множеств, то элемент из второго множества всегда больше

Ординал такого множества и будет суммой ординалов. Таким образом, с определением следующего ординала не возникает никаких проблем: нужно просто взять предыдущий ординал и прибавить к нему ординал 1.

Ординал множества натуральных чисел обозначается буквой ω. За ним следует ординал ω + 1. Он соответствует множеству натуральных чисел, к которому добавили «последнее» число, большее любого другого. Потом идёт ординал ω + 2 — ему соответствует натуральный ряд с «последним» и «предпоследним» числом. Есть также такие ординалы, как 2ω (натуральный ряд, за которым следует ещё один натуральный ряд), 3ω, 4ω, ω², ω^ω…

Как видите, Кантор был большой затейник. По иронии, именно порядковые числа стали началом конца его теории, которую впоследствии назовут «наивной теорией множеств». Используя порядковые числа, Бурали-Форти пришёл к парадоксу. Ход его рассуждений были примерно таким: возьмём множество ординалов и докажем, что оно является вполне упорядоченным. Значит, ему самому соответствует некоторый ординал. Докажем, что этот ординал больше или равен любому другому ординалу. Теперь прибавим к нему единицу. Сделаем удивлённые глаза.

Теперь, вооружённые знаниями и энтузиазмом, мы готовы перейти к сути и разобраться, что же всё-таки означает та формула в самом начале хабрапоста, далеко-далеко вверху.

Суть

Разобраться в обозначениях Бурали-Форти было нелегко. К нотации, введённой Пеано, он добавил некоторое количество собственных обозначений. В отличие от Пеано, он не стал в начале статьи подробно описывать свои нововведения. Возможно, эти описания содержатся где-то ещё, но, к сожалению (или к счастью), я не смог найти в интернете полное собрание сочинений Бурали-Форти. Поэтому в паре мест мне пришлось додумывать смысл исходя из контекста. Этот процесс напоминал решение известной головоломки от АНБ.

Начнём с того, что у Пуанкаре (и следом у Журавлёва) приведена не вполне верная формула. В оригинале она выглядит так:

Обратите внимания на два надчёркивания, их наличие принципиально.

Буква «эпсилон» здесь означает принадлежность, именно от неё произошёл современный знак "∈". Un — это множество всех множеств, содержащих ровно один элемент. Соответственно, запись «u ε Un» означает всего-навсего, что u — это множество с одним элементом. Такая нетривиальная запись, судя по всему, вызвана тем, что ещё не было принято «конструирование» множества из отдельных элементов с помощью записи u = {a, b, c ...}.

Надчёркиванием Бурали-Форти заменяет квадратные скобки, введённые Пеано как «знак инверсии». Пеано использовал его в довольно широком спектре случаев. Например, b[+a] у него означало b-a, выражение [sin](x) символизировало arcsin(x). Запись же [x ε](некое условие) означала множество иксов, удовлетворяющих этому условию. Таким образом, запись [(u, v) ε] (u ε Un) означает «множество таких пар (u, v), что u — множество из одного элемента». Я, пожалуй, буду использовать обозначения Пеано, поскольку не вижу удобного способа сделать надчёркивание в хабраредакторе.

Ko — это множество упорядоченных множеств. Упорядоченные множества у Бурали-Форти определяются как пары (множество, отношение порядка). Следовательно, запись {Ko ⋂ [(u, v) ε] (u ε Un)} означает просто «множество упорядоченных одноэлементных множеств».

С помощью сочетания символов «T'» Бурали-Форте обозначает операцию взятия ординала. Более строго: выражение T'(u, v) означает ординал множества u, на котором задано отношение порядка v. Тут, однако, есть некоторая нестыковка: в рассматриваемой формуле функция T' применяется не к паре (множество, отношение порядка), а к множеству таких пар. Исходя из контекста, могу лишь предположить, что существует некое соглашение, по которому в таких случаях функция применяется к каждому элементу, а на выходе получается множество, состоящее из её значений для всех элементов. При таком прочтении T'{Ko ⋂ [(u, v) ε] (u ε Un)} — это множество ординалов всех одноэлементных упорядоченных множеств. Поскольку все одноэлементные упорядоченные множества эквивалентны, данное множество ординалов будет содержать только один элемент — ординальную единицу.

Что касается закорючечки с чёрточкой, с её пониманием у меня возникло больше всего проблем. Пришлось поискать другие работы Бурали-Форти. В одной из них, «Logica Matematica» (судя по всему, некий учебник, но я до конца не уверен, поскольку написан он был на итальянском) я нашёл функцию L (там была строчная «l», но она слишком похожа на палочку, потому для ясности я буду использовать заглавную). Работает она следующим образом: берёт свой аргумент и преобразует его во множество, единственный элемент которого — этот самый аргумент. В современной нотации: L(x) = {x}.

Если идентифицировать закорючечку как L, а чёрточку — как инверсию, то получается, что [L] — обратное преобразование, извлекающее из множества его единственный элемент. В таком случае [L]T'{Ko ⋂ [(u, v) ε] (u ε Un)} — это действительно единица. Ординальная единица, но это уже мелочи.

В следующий раз, когда кто-нибудь покажет вам картинку с этой формулой (а это случится обязательно, таков интернет), вы сможете рассказать ему, что эта формула означает. Точнее, сможете начать рассказывать. Вряд ли он дослушает до конца. И будет, в принципе, прав: это совершенно обыкновенная, ничем не примечательная формула. В рассуждениях Бурали-Форти она не занимала какого-то центрального места, а была лишь проходным моментом в формулировке парадокса. Вся её вина заключается в том, что она попалась на глаза Пуанкаре, который увидел в ней некий нежелательный философский смысл, «разгибание скреп». Что касается её инфернального вида — тут обозначения Фреге дадут сто очков форы.

Список литературы

Здесь я хотел бы разместить ссылки на упомянутые книги, однако благодаря стараниям правообглодателей качать мне их пришлось из всяких непонятных мест, с подозрительных файлообменников, из сети ed2k… Если вам интересно, найдите аналогичным образом и почитайте «Науку и метод» Пуанкаре, это действительно лёгкое и интересное чтиво. «От Фреге до Гёделя» ван Хейенорта также весьма любопытна, но тяжела для восприятия и на русском языке, кажется, не существует.

Пост скриптум

В свете последних событий (перенос «железных» хабов на гиктаймс) хочу провести небольшой опрос, напрямую не связанный с темой хабрапоста. Надеюсь, вы простите мне эту вольность.