Комментарии 27
Но ведь можно просто поделить в столбик исходный многочлен на многочлен (x-x0).
Об этом сказано в статье. И «понижение степени» лишь один из вариантов использования :)
В общеизвестных кругах есть метод деления уголком, которые позволяет также понизить степень. Но он работает только при целочисленных коэффициентах (т.е. рациональные придется приводить к целым, а комплексные вообще не возможно).
А вы не могли бы пояснить? В моем мире можно делить друг на друга многочлены с любыми коэффициентами.
Поделите на иррациональное (pi/etc) в общем случае, либо на комплексное число. Если получится — значит я ошибся, спорить не буду.
В любом случае я не утверждаю что алгоритм вышеописанный есть панацея.
Спасибо вам за внимание!
В любом случае я не утверждаю что алгоритм вышеописанный есть панацея.
Спасибо вам за внимание!
Рассмотрим для простоты квадратный многочлен
(x-a)*(x-b)*(x-c)*...*(x-v)*(x-w)
где буквы от a до w — произвольные числа, можно иррациональные. Раскрыть этот многочлен (т.е. преобразовать его в привычную форму) я предоставляю желающим.
Теперь разделим в столбик этот многочлен на (x-w) — совершенно очевидно, что получится
(x-a)*(x-b)*(x-c)*...*(x-v)
только в раскрытом виде.
Причём не важно, делим мы в столбик или каким-то другим способом — главное, что мы знаем, что способ делить многочлены есть.
Почему Вы решили, будто делить можно только многочлены с целыми коэффициентами — я не понимаю. Вероятно, Вы перепутали деление многочленов с методом угадыванием корня, который действительно требует целочисленных коэффициентов, ибо сказано: «целочисленный корень есть делитель последнего члена полинома, прочие же корни — иррациональные».
(x-a)*(x-b)*(x-c)*...*(x-v)*(x-w)
где буквы от a до w — произвольные числа, можно иррациональные. Раскрыть этот многочлен (т.е. преобразовать его в привычную форму) я предоставляю желающим.
Теперь разделим в столбик этот многочлен на (x-w) — совершенно очевидно, что получится
(x-a)*(x-b)*(x-c)*...*(x-v)
только в раскрытом виде.
Причём не важно, делим мы в столбик или каким-то другим способом — главное, что мы знаем, что способ делить многочлены есть.
Почему Вы решили, будто делить можно только многочлены с целыми коэффициентами — я не понимаю. Вероятно, Вы перепутали деление многочленов с методом угадыванием корня, который действительно требует целочисленных коэффициентов, ибо сказано: «целочисленный корень есть делитель последнего члена полинома, прочие же корни — иррациональные».
«главное мы знаем, что способ делить многочлены есть» — осталось его найти :)
А до того момента можно использовать вышеприведенный алгоритм.
А до того момента можно использовать вышеприведенный алгоритм.
Да «в столбик» многочлены делятся, в любых полях.
Позиционная запись числа это тоже многочлен. И вообще непонятно, откуда столько шума изза теоремы Безу, про которую рассказывают еще в школе.
Позиционная запись числа это тоже многочлен. И вообще непонятно, откуда столько шума изза теоремы Безу, про которую рассказывают еще в школе.
Я думаю, Вы легко нагуглите этот метод. Изложу его тут как я понимаю:
Разделим
3*x^4 + 4*x^3 + 7*x^2 + 2*x + 9
на
x+2
Для этого разделим первый член делителя (3*x^4) на первый член делимого (x) — получим 3*x^3.
Умножим 3*x^3 на весь делитель — получим
3*x^4 + 6*x^3
Вычтем это из делимого — получим
(3*x^4 + 4*x^3 + 7*x^2 + 2*x + 9) — (3*x^4 + 6*x^3) =
-2*x^3 + 7*x^2 + 2*x + 9
Повторим эту операцию. При делении получим -2*x^2
Вот так у нас и вырисовывается
3*x^3 — 2*x^2…
Там всё просто. Ну очень просто.
Разделим
3*x^4 + 4*x^3 + 7*x^2 + 2*x + 9
на
x+2
Для этого разделим первый член делителя (3*x^4) на первый член делимого (x) — получим 3*x^3.
Умножим 3*x^3 на весь делитель — получим
3*x^4 + 6*x^3
Вычтем это из делимого — получим
(3*x^4 + 4*x^3 + 7*x^2 + 2*x + 9) — (3*x^4 + 6*x^3) =
-2*x^3 + 7*x^2 + 2*x + 9
Повторим эту операцию. При делении получим -2*x^2
Вот так у нас и вырисовывается
3*x^3 — 2*x^2…
Там всё просто. Ну очень просто.
В поле у любого элемента кроме 0 есть обратный по умножению. И у по и у е и и даже у pi+i*e. Из написанного непонятно, что вам мешает делить комплексные числа.
Лишь один из вариантов использования чего?
Лишь один из вариантов использования алгоритма. Он может использоваться для выявления некоторых свойств(монотонность, экстремальные точки и т.д.). Да и его преимущество в том, что можно в общем случае выявить формулы «эквивалентности» заранее, и затем лишь подставить коэффициенты. Спасибо за комментарий!
На момент написания этого комментария пост лайкнули 17 человек. Именем Зевса я призываю кого-нибудь из них сюда, чтобы он дал мне ответ: за что? о_О Это же очевидный велосипед на костылях.
Вы мою статью про решение квадратных уравнений видели? Костыли — мой конек! Всегда все делается эстетики ради, если даже на ваш взгляд это не рационально (о чем я честно предупредил в начале статьи).
Костыли чаще всего антиэстетичны, и этот случай не исключение.
Что на счет условия не монотонности?
Я смогу высказаться насчёт «условия не монотонности», ежели вы изволите сформулировать его человеческим языком. Что такое «обнаружение в многочлене x0 чётного радикала», современной науке неизвестно.
Это означает, что в формуле «эквивалентности» обнаружен корень(радикал) с целочисленной четной степенью. Например — квадратный корень (как в случае с функцией — полиномом третьей степени). Теперь проанализируйте его подкоренное выражение и вы заметите свойства, описанные в статье. Буду дома — смогу рассказать более подробно, будет желание — поговорим в лс.
Если возникает необходимость объяснять что-то в ЛС, значит, наблюдается недостаток объяснений в посте.
В текущей формулировке утверждение очевидно неверно. В любую формулу можно добавить что-нибудь типа + (-1)1/2-(-1)1/2, что никак не изменит её значение, но сделает её формально соответствующей вашему «условию». Собственно, комплексные числа появились отчасти благодаря тому, что решая кубические уравнения по формуле Кардано, математики сталкивались с квадратными корнями из отрицательных чисел, которые потом, однако, сокращались, оставляя вполне вещественное выражение для единственного вещественного корня. Соответственно, отсюда возник вопрос: а может, корень из отрицательного числа — это не так страшно?
В текущей формулировке утверждение очевидно неверно. В любую формулу можно добавить что-нибудь типа + (-1)1/2-(-1)1/2, что никак не изменит её значение, но сделает её формально соответствующей вашему «условию». Собственно, комплексные числа появились отчасти благодаря тому, что решая кубические уравнения по формуле Кардано, математики сталкивались с квадратными корнями из отрицательных чисел, которые потом, однако, сокращались, оставляя вполне вещественное выражение для единственного вещественного корня. Соответственно, отсюда возник вопрос: а может, корень из отрицательного числа — это не так страшно?
В любую формулу можно добавить что-нибудь типа + (-1)1/2-(-1)1/2, что никак не изменит её значение, но сделает её формально соответствующей вашему «условию».
Искомое «условие» верно лишь для вышеописанного алгоритма.
Это вытекающее отсюда следствие, которое можно доказать.
Например, зная, что формула «эквивалентности» для кубической функции общего вида есть:
Становится совершенно очевидно, что чтобы нашлись эквивалентные точки во множестве чисел
— подкоренное выражение должно быть меньше либо равно нулю. Иными словами, условие немонотонности следующее:
Подобную операцию мы можем проделать и в общем случае алгоритма.
«В общем случае» не указано, как именно должна находиться формула эквивалентности. Там присутствует этап «решая относительно х0», но конкретный метод решения не указывается. Соответственно, я могу начать вычислять её таким способом, что получатся лишние корни из отрицательных выражений.
Соответственно, я могу начать вычислять её таким способом, что получатся лишние корни из отрицательных выражений.
Так это будет ошибкой, лишние корни нужно иссечь. Или будете меня упрекать в том, что я не указал этого в статье? Ну, извините. Принцип от этого не меняется.
То есть ваш велосипед полагается на то, что использующие его не станут использовать своих велосипедов?
Короче, мне надоела эта эвристическая беседа, и я её немного подсокращу. Через несколько комментариев мы придём к выводу, что в ваше «условие не монотонности» нужно добавить «и от этого радикала никакими преобразованиями не избавиться». Потом я замечу, что это такой очень сложный способ сказать «многочлен не принимает вещественных значений». Потом внезапно окажется, что всё ваше «условие» сводится к утверждению «если для всякого x0 уравнение f(x) — x0 имеет не более одного вещественного решения, то f(x) монотонна». А это утверждение тривиально, как и всё, что написано в этом посте, кроме, разумеется, того, что в нём неверно.
В общеизвестных кругах есть метод деления уголком
Помню, очень удивился, когда учительница по матану разделила многочлены столбиком) А потом удивился тому, что это и правда простой способ, и как же я сам до него не додумался.
Насчёт корней sigma функции 
есть гипотеза, что они все действительные, как и корни её производной (приз = $1 млн.!). Мысли есть?
есть гипотеза, что они все действительные, как и корни её производной (приз = $1 млн.!). Мысли есть?Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Алгоритм нахождения эквивалентных точек оси абсцисс функции многочлена