Об одной задаче, которую больше не предлагают на собеседовании

В одной компании кандидатам на вакансию программиста какое-то время предлагалась следующая задача. Найти значение дроби:

Для решения данной задачи не требуется знания природы таких дробей и области, в которой эти дроби применяются. Нужно только заметить, что предложенное выражение самоподобно и может быть представлено в виде:

А это, в свою очередь, приводит к обычному квадратному уравнению:

Теперь скажем, что данные дроби имеют особое название, это цепные дроби, и они используются, как одна из форм записи вещественных чисел. В рассмотренном примере бесконечная цепная дробь имеет самое простое представление. В ее записи используются только единицы, и длина её периода тоже равна единице. Любопытно, что выражаемое ею число очень широко представлено, и не только в математическом мире, и даже имеет собственное название — обратная величина для «золотого сечения». Получим несколько приближений для данного числа, используя его представление через цепную дробь. На первом шаге отбросим второе слагаемое в знаменателе. Получим , теперь запишем следующее приближения, используя полученный результат, как второе слагаемое в сумме под знаком дроби Повторим эту операцию ещё раз В результате мы получим следующий ряд:

Обратимся теперь к такому понятию, как последовательность Фибоначчи. Так называются члены числового ряда, составленного по следующему правилу. Первый и второй член ряда равны единице, а каждый последующий равен сумме двух предыдущих.

Составим ряд образованный отношениями двух соседних членов последовательности Фибоначчи

Не правда ли, знакомая запись? Действительно, предел отношения двух чисел Фибоначчи выражается обратной величиной «золотого сечения». Получим этот результат.
Из определения следует, что

Введем следующее обозначение

Тогда предыдующее равенство запишется как

В пределе

Введем обозначение . Тогда мы получим уравнение, которое уже приводили в начале статьи.

Теперь рассмотрим последовательность, у которой три первых члена равны единицы, а каждый последующий равен сумме трех предыдущих.

Найдем предел, к которому стремится отношение двух соседних членов последовательности. По определению

Разделим левую и правую часть на . Тогда в используемых ранее обозначениях мы можем записать:

Теперь разделим левую и правую часть на . Получим следующее cоотношение:

Обозначим

В новых обозначениях система уравнений будет выглядеть так:

Данная система приводится к следующему уравнению:

Оно имеет одно вещественное решение

Если рассмотреть ряд для последовательности, у которой каждый член равен сумме уже четырех предыдущих,

то мы придем к системе из трех уравнений:

А эта система приводится к следующему нелинейному уравнению:

Это уравнение имеет два вещественных корня. Решением нашей задачи будет:

Вот такие наблюдения произошли, благодаря одной задаче на собеседовании.