В комментариях к моему посту, одним из пользователей был задан интересный вопрос. Суть его такова: Имеем 4 стакана, с одинаковым объемом воды. 2 из них с горячей, 2 — с холодной. Смешиваем стаканы с горячей и холодной водой. Ждем 10 мин и смешиваем оставшиеся. Вопрос: в какой смеси вода будет горячее?
![](https://habrastorage.org/r/w1560/files/2ed/70b/9cc/2ed70b9cc2a943308aabb5ecba4a36e2.png)
Нагрев и остывание подчиняются закону Ньютона-Рихмана, решение уравнений которого имеет вид:
![T(t)=T_{out}+e^{-kt}(T_{0}-T_{out})](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/cf5/096/7f8/cf50967f8188b6cb314b1031e4acdeee.gif)
— температура окружающей среды;
— начальная температура;
— время;
— коэффициент, описанный ниже;
Давайте детально исследуем эту формулу:
Теперь несколько слов о коэффициенте
:
![k=\frac{\alpha S}{mc}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/3b7/7ca/79b/3b77ca79b0e09914f4e9688b6a8939aa.gif)
— коэффициент теплоотдачи, зависящий от многих факторов, получаемый экспериментально.
— площадь границы раздела;
— масса;
— удельная теплоемкость тела;
Если с
(площадь соприкосновения воды и стенок сосуда), удельной теплоемкостью
и массой
все понятно, то с коэффициентом теплоотдачи
все не так очевидно. Он показывает, сколько джоулей за секунду уйдет через метр квадратный границы раздела, при разности температур в 1 Кельвин. К счастью, в нашем случае, не важно знание абсолютного значения этого коэффициента.
Какой станет итоговая температура воды после смешивания? Как бы банально это не звучало, но для нашего случая (смешиваем равное количество воды):
![T_{H+C}=\frac{T_{H}+T_{C}}{2}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/5a1/70b/e32/5a170be32fffda4e3aaafe95b44cb8e7.gif)
— температура горячей (Hot) воды;
— температура холодной (Cold) воды;
— температура смеси;
Температура этих стаканов изменяется по экспоненциальному закону и через время
станет:
![T_{2}(\Delta t) = T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{H}-T_{out})](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/85c/ace/0fa/85cace0fa6cb84f8e780f8fb06ed845b.gif)
![T_{4}(\Delta t) = T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{C}-T_{out})](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/dd0/bff/693/dd0bff69379fad74302c450ba68ae54e.gif)
Далее смешиваем и получаем:
![T_{2+4}(\Delta t) = \frac{T_{2}(\Delta t)+T_{4}(\Delta t)}{2}=\frac{T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{H}-T_{out})+T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{C}-T_{out})}{2}=](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/442/3d9/74f/4423d974f7f015814cac78b0b26e8011.gif)
![=\frac{2T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{H}-T_{out}+T_{C}-T_{out})}{2}=\frac{2T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{H}+T_{C}-2T_{out})}{2}=](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/30c/2b5/64b/30c2b564b13a4fc31fe405805acf3b95.gif)
![=T_{out}+e^{-k\Delta t}\left (\frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/2cd/5b9/0dc/2cd5b90dc190d82151c432e7f4684e0f.gif)
Смешиваем:
![T_{1+3}=\frac{T_{H}+T_{C}}{2}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/db4/fc0/060/db4fc00607e29afb6a6b678f4e1f6b8f.gif)
И через
получаем:
![T_{1+3}(\Delta t)=T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{1+3}-T_{out})=T_{out}+e^{-k\Delta t}\left (\frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/8f5/80c/5b7/8f580c5b741b3905ffc533d62b6a4b4a.gif)
Казалось бы разницы нет, но…
Наш цилиндрический стакан с точки зрения потерь тепла, можно разбить на три зоны: дно (bottom), верхняя часть (top) и боковые стенки (sidewall). Поэтому и коэффициент
можно записать как сумму:
, где
,
, ![k_{t} = \frac{\alpha _{t}S_{t}}{cm}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/244/fab/19c/244fab19c591ce888e6d98b4af8a8af0.gif)
Если стакан рассматривать как цилиндр с радиусом
и высотой
, то:
, а
![S_{s} = 2\pi Rh = 2\frac{S}{R}h](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/826/ea9/237/826ea9237a2bf2920afb51029dc30516.gif)
Можем записать:
![k=\frac{S}{cm}\left ( \alpha _{b}+\frac{2h}{R}\alpha _{s}+\alpha _{t} \right )](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/311/d07/ae6/311d07ae653374428dd58d0539ad758e.gif)
Так вот, для случая 1 и 3, при смешивании, масса и высота столба воды удваиваются:
![k_{1+3}=\frac{S}{c\cdot 2m}\left ( \alpha _{b}+\frac{2\cdot 2h}{R}\alpha _{s}+\alpha _{t} \right ) = \frac{S}{cm}\left ( \frac{\alpha _{b}}{2}+\frac{2h}{R}\alpha _{s}+\frac{\alpha _{t}}{2} \right )](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/792/0c4/60c/7920c460c2ee086e9350131fc79cc7eb.gif)
А вот к случаю 2 и 4 это не имеет никакого отношения, так как остывают (нагреваются) они по-одиночке, и после смешивания, дальнейшее изменение температуры нас абсолютно не волнует.
Если рассматривать
и
![k_{2+4}=\frac{S}{cm}\left ( \alpha _{b}+\frac{2h}{R}\alpha _{s}+ \alpha _{t} \right )](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/329/b1a/974/329b1a9741c72e09f436c54b8cf63ab2.gif)
можно сделать вывод что
всегда будет меньше чем
, а поэтому, если вспомнить что коэффициент определяет скорость изменения температуры, она, в случае 1 и 3 будет меньше.
Подвох состоит в значении
относительно температуры окружающей среды. Если это значение будет выше, то остывание смеси 1+3 будет медленее чем 2+4 и, как итог, температура первой — выше. Однако, если подстроить эксперимент таким образом, что среднее температур будет ниже окружающей — «горячее» будет смесь 2+4, так как она нагревается быстрее.
На самом деле, данная статья очень наглядный пример того, что к практике без теории подходить нельзя. И этот абзац содержит выводы куда важнее приведенных выше. Не знание того факта, что результат зависит, помимо прочего, и от температуры окружающей среды, приведет к неправильной интерпретации последних. Вы только представьте, два друга ставят эксперимент, холодная вода 5 градусов, горячая 60. Но у одного из них дома 25, а у другого 40. Результаты будут противоречивыми. А если у них еще и стаканы разные или действия не синхронны… Но гораздо хуже, ложно утверждать о единственно верном исходе эксперимента, в случае, если результаты одинаковы (ввиду того что горячая вода чаще всего «горячее» чем холодная «холоднее» относительно комнатной температуры). Также, всегда следует хотя бы приблизительно оценить выходные величины. Если, к примеру, разница в температурах, количественно составит 0.5 градуса, то глупо мерить ее комнатным термометром, с погрешностью в 2 градуса. Стоит упомянуть о том, что закон Ньютона-Рихмана справедлив лишь в том случае, если в воде тепло распространяется гораздо легче, чем через стенки стакана. Вдобавок коэффициент теплопроводности, как и удельная теплоемкость, может зависеть от температуры. Ну и выводы наши для цилиндрического стакана, и другая геометрия внесет свои коррективы.
![](https://habrastorage.org/files/2ed/70b/9cc/2ed70b9cc2a943308aabb5ecba4a36e2.png)
Нагрев и остывание
Нагрев и остывание подчиняются закону Ньютона-Рихмана, решение уравнений которого имеет вид:
![T(t)=T_{out}+e^{-kt}(T_{0}-T_{out})](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/cf5/096/7f8/cf50967f8188b6cb314b1031e4acdeee.gif)
![T_{out}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/4dc/068/605/4dc0686054699ce716b69818f9b78e75.gif)
![T_{0}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/0ab/b49/079/0abb4907912e9553143d5955e510c0c5.gif)
![t](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/a36/4bf/32e/a364bf32ef6d3fe2a978cb535c93d00b.gif)
![k](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/803/ddd/a6c/803ddda6c20185bcf1621ae51dc30a7f.gif)
Давайте детально исследуем эту формулу:
- в момент времени
, температура равна начальной
.
Подробнее - с течением времени, она стремится к окружающей (в не зависимости, была начальная выше или ниже неё) по экспоненциальному закону, со скоростью, пропорциональной коэффициенту
.
ПобробнееТак как, то
Теперь несколько слов о коэффициенте
![k](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/803/ddd/a6c/803ddda6c20185bcf1621ae51dc30a7f.gif)
![k=\frac{\alpha S}{mc}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/3b7/7ca/79b/3b77ca79b0e09914f4e9688b6a8939aa.gif)
![\alpha](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/af5/cd3/092/af5cd3092242839aa3f0a38aa5dca39a.gif)
![S](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/960/581/d21/960581d2147fb9a77d5d6d9b9e69e816.gif)
![m](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/601/5f7/e7e/6015f7e7e19971bf1372e01171eaadcb.gif)
![c](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/003/231/11f/00323111f64e021536a52ead03b59eb8.gif)
Если с
![S](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/960/581/d21/960581d2147fb9a77d5d6d9b9e69e816.gif)
![c](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/003/231/11f/00323111f64e021536a52ead03b59eb8.gif)
![m](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/601/5f7/e7e/6015f7e7e19971bf1372e01171eaadcb.gif)
![\alpha](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/af5/cd3/092/af5cd3092242839aa3f0a38aa5dca39a.gif)
Смешивание
Какой станет итоговая температура воды после смешивания? Как бы банально это не звучало, но для нашего случая (смешиваем равное количество воды):
![T_{H+C}=\frac{T_{H}+T_{C}}{2}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/5a1/70b/e32/5a170be32fffda4e3aaafe95b44cb8e7.gif)
![T_{H}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/9db/5ba/241/9db5ba2412275a5088c7daf978b1cc34.gif)
![T_{C}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/05a/f64/db7/05af64db7ebbee7aa3223e8d22aa2bd3.gif)
![T_{H+C}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/564/274/116/5642741168affd1368cb492539357073.gif)
Доказательство
Количество выделенной или поглощенной энергии системы, c изменением ее температуры, связаны простым отношением:
![\Delta Q=cm\Delta T](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/d20/330/922/d20330922e214ae96a769eb891389261.gif)
Горячая вода, охлаждаясь до
отдаст такое же количество энергии, сколько заберет холодная, нагреваясь до той же температуры. Поэтому можем записать:
![\Delta Q_{H}=cm(T_{H}-T_{H+C})=cm(T_{H+C}-T_{C})=\Delta Q_{C}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/693/884/847/693884847573507304f0191a797b7f32.gif)
![T_{H}-T_{H+C}=T_{H+C}-T_{C}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/8f5/cae/04f/8f5cae04f43e65554696e807a9985fff.gif)
![2T_{H+C}=T_{H}+T_{C}\Rightarrow T_{H+C}=\frac{T_{H}+T_{C}}{2}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/888/5f9/f54/8885f9f548788d33bf37db910001efa3.gif)
![\Delta Q=cm\Delta T](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/d20/330/922/d20330922e214ae96a769eb891389261.gif)
Горячая вода, охлаждаясь до
![T_{H+C}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/564/274/116/5642741168affd1368cb492539357073.gif)
![\Delta Q_{H}=cm(T_{H}-T_{H+C})=cm(T_{H+C}-T_{C})=\Delta Q_{C}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/693/884/847/693884847573507304f0191a797b7f32.gif)
![T_{H}-T_{H+C}=T_{H+C}-T_{C}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/8f5/cae/04f/8f5cae04f43e65554696e807a9985fff.gif)
![2T_{H+C}=T_{H}+T_{C}\Rightarrow T_{H+C}=\frac{T_{H}+T_{C}}{2}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/888/5f9/f54/8885f9f548788d33bf37db910001efa3.gif)
Стаканы 2 и 4
Температура этих стаканов изменяется по экспоненциальному закону и через время
![\Delta t](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/cf5/396/526/cf5396526a97d10f822a98714e051f5b.gif)
![T_{2}(\Delta t) = T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{H}-T_{out})](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/85c/ace/0fa/85cace0fa6cb84f8e780f8fb06ed845b.gif)
![T_{4}(\Delta t) = T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{C}-T_{out})](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/dd0/bff/693/dd0bff69379fad74302c450ba68ae54e.gif)
Далее смешиваем и получаем:
![T_{2+4}(\Delta t) = \frac{T_{2}(\Delta t)+T_{4}(\Delta t)}{2}=\frac{T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{H}-T_{out})+T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{C}-T_{out})}{2}=](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/442/3d9/74f/4423d974f7f015814cac78b0b26e8011.gif)
![=\frac{2T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{H}-T_{out}+T_{C}-T_{out})}{2}=\frac{2T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{H}+T_{C}-2T_{out})}{2}=](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/30c/2b5/64b/30c2b564b13a4fc31fe405805acf3b95.gif)
![=T_{out}+e^{-k\Delta t}\left (\frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/2cd/5b9/0dc/2cd5b90dc190d82151c432e7f4684e0f.gif)
Стаканы 1 и 3
Смешиваем:
![T_{1+3}=\frac{T_{H}+T_{C}}{2}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/db4/fc0/060/db4fc00607e29afb6a6b678f4e1f6b8f.gif)
И через
![\Delta t](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/cf5/396/526/cf5396526a97d10f822a98714e051f5b.gif)
![T_{1+3}(\Delta t)=T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{1+3}-T_{out})=T_{out}+e^{-k\Delta t}\left (\frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/8f5/80c/5b7/8f580c5b741b3905ffc533d62b6a4b4a.gif)
Казалось бы разницы нет, но…
Подвох или еще раз о коэффициенте k
Наш цилиндрический стакан с точки зрения потерь тепла, можно разбить на три зоны: дно (bottom), верхняя часть (top) и боковые стенки (sidewall). Поэтому и коэффициент
![k](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/803/ddd/a6c/803ddda6c20185bcf1621ae51dc30a7f.gif)
![k=k_{b}+k_{s}+k_{t}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/193/ae8/1be/193ae81be622b3f68990917562418d0b.gif)
![k_{b} = \frac{\alpha _{b}S_{b}}{cm}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/a63/73a/89a/a6373a89aa4258fcfcaf662cf70de2f0.gif)
![k_{s} = \frac{\alpha _{s}S_{s}}{cm}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/ab5/1a8/468/ab51a8468ca9ac8b50aab5ec6e694841.gif)
![k_{t} = \frac{\alpha _{t}S_{t}}{cm}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/244/fab/19c/244fab19c591ce888e6d98b4af8a8af0.gif)
Если стакан рассматривать как цилиндр с радиусом
![R](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/438/317/215/438317215407a9f93936733f5e46e595.gif)
![h](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/2ba/fd1/5b3/2bafd15b3d8478241eac9c7666181d8c.gif)
![S_{b} = S_{t}=\pi R^{2}=S](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/2ce/d40/725/2ced40725631bf029f27f70b6296f4e6.gif)
![S_{s} = 2\pi Rh = 2\frac{S}{R}h](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/826/ea9/237/826ea9237a2bf2920afb51029dc30516.gif)
Можем записать:
![k=\frac{S}{cm}\left ( \alpha _{b}+\frac{2h}{R}\alpha _{s}+\alpha _{t} \right )](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/311/d07/ae6/311d07ae653374428dd58d0539ad758e.gif)
Так вот, для случая 1 и 3, при смешивании, масса и высота столба воды удваиваются:
![k_{1+3}=\frac{S}{c\cdot 2m}\left ( \alpha _{b}+\frac{2\cdot 2h}{R}\alpha _{s}+\alpha _{t} \right ) = \frac{S}{cm}\left ( \frac{\alpha _{b}}{2}+\frac{2h}{R}\alpha _{s}+\frac{\alpha _{t}}{2} \right )](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/792/0c4/60c/7920c460c2ee086e9350131fc79cc7eb.gif)
А вот к случаю 2 и 4 это не имеет никакого отношения, так как остывают (нагреваются) они по-одиночке, и после смешивания, дальнейшее изменение температуры нас абсолютно не волнует.
Выводы и еще один подвох
Если рассматривать
![k_{1+3}=\frac{S}{cm}\left ( \frac{\alpha _{b}}{2}+\frac{2h}{R}\alpha _{s}+\frac{\alpha _{t}}{2} \right )](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/3e2/dfb/d36/3e2dfbd367336e6fffee77dd25122503.gif)
![k_{2+4}=\frac{S}{cm}\left ( \alpha _{b}+\frac{2h}{R}\alpha _{s}+ \alpha _{t} \right )](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/329/b1a/974/329b1a9741c72e09f436c54b8cf63ab2.gif)
можно сделать вывод что
![k_{1+3}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/6cb/768/e8b/6cb768e8b0e3f9ce705242c1a1a973a1.gif)
![k_{2+4}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/f5d/871/471/f5d8714719212f888196d2620e57aadb.gif)
Подвох состоит в значении
![\frac{T_{H}+T_{C}}{2}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/da5/9db/373/da59db37351bb8f0e82b33e70b3e844d.gif)
Интересненькое
Если внимательно рассмотреть коэфициенты, можно сделать еще один интересный вывод.
Если подставить это значение в формулу итоговой температуры для 1+3, получим:
![T_{1+3}(\Delta t)=T_{out}+e^{-\frac{1}{2}k\Delta t}\left ( \frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )=T_{out}+\sqrt{e}\cdot e^{-k\Delta t}\left ( \frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/935/700/54d/93570054d83d523be6db31a9b54f2650.gif)
Напомним что
![T_{2+4}(\Delta t)=T_{out}+e^{-k\Delta t}\left ( \frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/a02/45c/997/a0245c9971d2002b87c19046a5550f81.gif)
Если обозначить:
![T_{2+4}(\Delta t)-T_{out}=\Delta T_{2+4}=e^{-k\Delta t}\left ( \frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/d0c/f85/0be/d0cf850bea10dd43c987fd53d5b625d9.gif)
, и
![T_{1+3}(\Delta t)-T_{out}=\Delta T_{1+3}=\sqrt{e}\cdot e^{-k\Delta t}\left ( \frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )=\sqrt{e}\cdot \Delta T_{2+4}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/348/846/851/3488468519223a1964fafa4d69f46f8f.gif)
Таким образом, для произвольного цилиндрического стакана и
,
будет лежать между
и
:
![\left |\Delta T_{2+4} \right |< \left |\Delta T_{1+3} \right |< \sqrt{e}\cdot \left |\Delta T_{2+4} \right |](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/82f/7c7/898/82f7c789816cf25393a884470e6bb08d.gif)
- Если цилиндр выбрать таким образом, что отношение
будет достаточно большим (тонкий, но длинный), так чтобы
, то
и их итоговые температуры будут практически одинаковы.
- Напротив, если отношение
сделать достаточно малым (широкий но короткий) так, чтобы
, то
.
Подробнее
Если подставить это значение в формулу итоговой температуры для 1+3, получим:
![T_{1+3}(\Delta t)=T_{out}+e^{-\frac{1}{2}k\Delta t}\left ( \frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )=T_{out}+\sqrt{e}\cdot e^{-k\Delta t}\left ( \frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/935/700/54d/93570054d83d523be6db31a9b54f2650.gif)
Напомним что
![T_{2+4}(\Delta t)=T_{out}+e^{-k\Delta t}\left ( \frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/a02/45c/997/a0245c9971d2002b87c19046a5550f81.gif)
Если обозначить:
![T_{2+4}(\Delta t)-T_{out}=\Delta T_{2+4}=e^{-k\Delta t}\left ( \frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/d0c/f85/0be/d0cf850bea10dd43c987fd53d5b625d9.gif)
, и
![T_{1+3}(\Delta t)-T_{out}=\Delta T_{1+3}=\sqrt{e}\cdot e^{-k\Delta t}\left ( \frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )=\sqrt{e}\cdot \Delta T_{2+4}](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/348/846/851/3488468519223a1964fafa4d69f46f8f.gif)
Таким образом, для произвольного цилиндрического стакана и
![\Delta t](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/cf5/396/526/cf5396526a97d10f822a98714e051f5b.gif)
![\left |\Delta T_{1+3} \right |](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/6ff/ea9/8ad/6ffea98ad2710fe354392aca9f21ed9d.gif)
![\left |\Delta T_{2+4} \right |](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/c7b/4ea/f2a/c7b4eaf2a9be550fcd490d8108bb8e0b.gif)
![\sqrt{e}\cdot \left |\Delta T_{2+4} \right |](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/305/4f1/d4c/3054f1d4c032f80e705ad87383e38a3d.gif)
![\left |\Delta T_{2+4} \right |< \left |\Delta T_{1+3} \right |< \sqrt{e}\cdot \left |\Delta T_{2+4} \right |](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/post_images/82f/7c7/898/82f7c789816cf25393a884470e6bb08d.gif)
А на самом деле..?
На самом деле, данная статья очень наглядный пример того, что к практике без теории подходить нельзя. И этот абзац содержит выводы куда важнее приведенных выше. Не знание того факта, что результат зависит, помимо прочего, и от температуры окружающей среды, приведет к неправильной интерпретации последних. Вы только представьте, два друга ставят эксперимент, холодная вода 5 градусов, горячая 60. Но у одного из них дома 25, а у другого 40. Результаты будут противоречивыми. А если у них еще и стаканы разные или действия не синхронны… Но гораздо хуже, ложно утверждать о единственно верном исходе эксперимента, в случае, если результаты одинаковы (ввиду того что горячая вода чаще всего «горячее» чем холодная «холоднее» относительно комнатной температуры). Также, всегда следует хотя бы приблизительно оценить выходные величины. Если, к примеру, разница в температурах, количественно составит 0.5 градуса, то глупо мерить ее комнатным термометром, с погрешностью в 2 градуса. Стоит упомянуть о том, что закон Ньютона-Рихмана справедлив лишь в том случае, если в воде тепло распространяется гораздо легче, чем через стенки стакана. Вдобавок коэффициент теплопроводности, как и удельная теплоемкость, может зависеть от температуры. Ну и выводы наши для цилиндрического стакана, и другая геометрия внесет свои коррективы.