viktorpanasiuk 2 апр 2015 в 09:22

Задача про четыре стакана

3 мин

47K

В комментариях к моему посту, одним из пользователей был задан интересный вопрос. Суть его такова: Имеем 4 стакана, с одинаковым объемом воды. 2 из них с горячей, 2 — с холодной. Смешиваем стаканы с горячей и холодной водой. Ждем 10 мин и смешиваем оставшиеся. Вопрос: в какой смеси вода будет горячее?

Нагрев и остывание

Нагрев и остывание подчиняются закону Ньютона-Рихмана, решение уравнений которого имеет вид:

$T(t)=T_{out}+e^{-kt}(T_{0}-T_{out})$

$T_{out}$ — температура окружающей среды;
$T_{0}$ — начальная температура;

— время;

— коэффициент, описанный ниже;

Давайте детально исследуем эту формулу:

в момент времени , температура равна начальной $T_{0}$ .
Подробнее
$T(0) = T_{out}+e^{-k\cdot 0}(T_{0}-T_{out})=T_{out} + e^{0}(T_{0}-T_{out}) = T_{out} + T_{0}-T_{out}=T_{0}$
с течением времени, она стремится к окружающей (в не зависимости, была начальная выше или ниже неё) по экспоненциальному закону, со скоростью, пропорциональной коэффициенту .
Побробнее
Так как $\lim_{t\rightarrow \infty }\left e^{-kt}\rightarrow 0$ , то $T(t\rightarrow \infty )\rightarrow T_{out}+0\cdot (T_{0}-T_{out}) = T_{out}$

Теперь несколько слов о коэффициенте

$k=\frac{\alpha S}{mc}$

$\alpha$ — коэффициент теплоотдачи, зависящий от многих факторов, получаемый экспериментально.

— площадь границы раздела;

— масса;

— удельная теплоемкость тела;

Если с

(площадь соприкосновения воды и стенок сосуда), удельной теплоемкостью

и массой

все понятно, то с коэффициентом теплоотдачи $\alpha$ все не так очевидно. Он показывает, сколько джоулей за секунду уйдет через метр квадратный границы раздела, при разности температур в 1 Кельвин. К счастью, в нашем случае, не важно знание абсолютного значения этого коэффициента.

Смешивание

Какой станет итоговая температура воды после смешивания? Как бы банально это не звучало, но для нашего случая (смешиваем равное количество воды):

$T_{H+C}=\frac{T_{H}+T_{C}}{2}$

$T_{H}$ — температура горячей (Hot) воды;
$T_{C}$ — температура холодной (Cold) воды;
$T_{H+C}$ — температура смеси;

Доказательство

Количество выделенной или поглощенной энергии системы, c изменением ее температуры, связаны простым отношением:

$\Delta Q=cm\Delta T$

Горячая вода, охлаждаясь до $T_{H+C}$ отдаст такое же количество энергии, сколько заберет холодная, нагреваясь до той же температуры. Поэтому можем записать:

$\Delta Q_{H}=cm(T_{H}-T_{H+C})=cm(T_{H+C}-T_{C})=\Delta Q_{C}$

$T_{H}-T_{H+C}=T_{H+C}-T_{C}$

$2T_{H+C}=T_{H}+T_{C}\Rightarrow T_{H+C}=\frac{T_{H}+T_{C}}{2}$

Стаканы 2 и 4

Температура этих стаканов изменяется по экспоненциальному закону и через время $\Delta t$ станет:

$T_{2}(\Delta t) = T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{H}-T_{out})$

$T_{4}(\Delta t) = T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{C}-T_{out})$

Далее смешиваем и получаем:

$T_{2+4}(\Delta t) = \frac{T_{2}(\Delta t)+T_{4}(\Delta t)}{2}=\frac{T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{H}-T_{out})+T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{C}-T_{out})}{2}=$

$=\frac{2T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{H}-T_{out}+T_{C}-T_{out})}{2}=\frac{2T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{H}+T_{C}-2T_{out})}{2}=$

$=T_{out}+e^{-k\Delta t}\left (\frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )$

Стаканы 1 и 3

Смешиваем:

$T_{1+3}=\frac{T_{H}+T_{C}}{2}$

И через $\Delta t$ получаем:

$T_{1+3}(\Delta t)=T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{1+3}-T_{out})=T_{out}+e^{-k\Delta t}\left (\frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )$

Казалось бы разницы нет, но…

Подвох или еще раз о коэффициенте k

Наш цилиндрический стакан с точки зрения потерь тепла, можно разбить на три зоны: дно (bottom), верхняя часть (top) и боковые стенки (sidewall). Поэтому и коэффициент

можно записать как сумму:

$k=k_{b}+k_{s}+k_{t}$

, где

$k_{b} = \frac{\alpha _{b}S_{b}}{cm}$ , $k_{s} = \frac{\alpha _{s}S_{s}}{cm}$ , $k_{t} = \frac{\alpha _{t}S_{t}}{cm}$

Если стакан рассматривать как цилиндр с радиусом

и высотой

, то:

$S_{b} = S_{t}=\pi R^{2}=S$

, а

$S_{s} = 2\pi Rh = 2\frac{S}{R}h$

Можем записать:

$k=\frac{S}{cm}\left ( \alpha _{b}+\frac{2h}{R}\alpha _{s}+\alpha _{t} \right )$

Так вот, для случая 1 и 3, при смешивании, масса и высота столба воды удваиваются:

$k_{1+3}=\frac{S}{c\cdot 2m}\left ( \alpha _{b}+\frac{2\cdot 2h}{R}\alpha _{s}+\alpha _{t} \right ) = \frac{S}{cm}\left ( \frac{\alpha _{b}}{2}+\frac{2h}{R}\alpha _{s}+\frac{\alpha _{t}}{2} \right )$

А вот к случаю 2 и 4 это не имеет никакого отношения, так как остывают (нагреваются) они по-одиночке, и после смешивания, дальнейшее изменение температуры нас абсолютно не волнует.

Выводы и еще один подвох

Если рассматривать

$k_{1+3}=\frac{S}{cm}\left ( \frac{\alpha _{b}}{2}+\frac{2h}{R}\alpha _{s}+\frac{\alpha _{t}}{2} \right )$

$k_{2+4}=\frac{S}{cm}\left ( \alpha _{b}+\frac{2h}{R}\alpha _{s}+ \alpha _{t} \right )$

можно сделать вывод что $k_{1+3}$ всегда будет меньше чем $k_{2+4}$ , а поэтому, если вспомнить что коэффициент определяет скорость изменения температуры, она, в случае 1 и 3 будет меньше.

Подвох состоит в значении $\frac{T_{H}+T_{C}}{2}$ относительно температуры окружающей среды. Если это значение будет выше, то остывание смеси 1+3 будет медленее чем 2+4 и, как итог, температура первой — выше. Однако, если подстроить эксперимент таким образом, что среднее температур будет ниже окружающей — «горячее» будет смесь 2+4, так как она нагревается быстрее.

Интересненькое

Если внимательно рассмотреть коэфициенты, можно сделать еще один интересный вывод.

Если цилиндр выбрать таким образом, что отношение $\frac{2h}{R}$ будет достаточно большим (тонкий, но длинный), так чтобы $\left (\frac{2h}{R}\alpha _{s}\gg \alpha _{b}+\alpha _{t} \right )$ , то $k_{1+3}\approx k_{2+4}$ и их итоговые температуры будут практически одинаковы.
Напротив, если отношение $\frac{2h}{R}$ сделать достаточно малым (широкий но короткий) так, чтобы $\left (\frac{2h}{R}\alpha _{s}\ll \alpha _{b}+\alpha _{t} \right )$ , то $k_{1+3} \approx \frac{1}{2}k_{2+4}$ .

Подробнее
$k_{2+4}\approx \frac{S}{cm}\left ( \alpha _{b}+\alpha _{t} \right )$

$k_{1+3}\approx \frac{S}{cm}\left ( \frac{\alpha _{b}}{2}+\frac{\alpha _{t}}{2} \right )=\frac{1}{2}\frac{S}{cm}\left ( \alpha _{b}+\alpha _{t} \right )=\frac{1}{2}k_{2+4}$

Если подставить это значение в формулу итоговой температуры для 1+3, получим:

$T_{1+3}(\Delta t)=T_{out}+e^{-\frac{1}{2}k\Delta t}\left ( \frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )=T_{out}+\sqrt{e}\cdot e^{-k\Delta t}\left ( \frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )$

Напомним что

$T_{2+4}(\Delta t)=T_{out}+e^{-k\Delta t}\left ( \frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )$

Если обозначить:

$T_{2+4}(\Delta t)-T_{out}=\Delta T_{2+4}=e^{-k\Delta t}\left ( \frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )$

, и

$T_{1+3}(\Delta t)-T_{out}=\Delta T_{1+3}=\sqrt{e}\cdot e^{-k\Delta t}\left ( \frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )=\sqrt{e}\cdot \Delta T_{2+4}$

Таким образом, для произвольного цилиндрического стакана и $\Delta t$ , $\left |\Delta T_{1+3} \right |$ будет лежать между $\left |\Delta T_{2+4} \right |$ и $\sqrt{e}\cdot \left |\Delta T_{2+4} \right |$ :

$\left |\Delta T_{2+4} \right |< \left |\Delta T_{1+3} \right |< \sqrt{e}\cdot \left |\Delta T_{2+4} \right |$

А на самом деле..?

На самом деле, данная статья очень наглядный пример того, что к практике без теории подходить нельзя. И этот абзац содержит выводы куда важнее приведенных выше. Не знание того факта, что результат зависит, помимо прочего, и от температуры окружающей среды, приведет к неправильной интерпретации последних. Вы только представьте, два друга ставят эксперимент, холодная вода 5 градусов, горячая 60. Но у одного из них дома 25, а у другого 40. Результаты будут противоречивыми. А если у них еще и стаканы разные или действия не синхронны… Но гораздо хуже, ложно утверждать о единственно верном исходе эксперимента, в случае, если результаты одинаковы (ввиду того что горячая вода чаще всего «горячее» чем холодная «холоднее» относительно комнатной температуры). Также, всегда следует хотя бы приблизительно оценить выходные величины. Если, к примеру, разница в температурах, количественно составит 0.5 градуса, то глупо мерить ее комнатным термометром, с погрешностью в 2 градуса. Стоит упомянуть о том, что закон Ньютона-Рихмана справедлив лишь в том случае, если в воде тепло распространяется гораздо легче, чем через стенки стакана. Вдобавок коэффициент теплопроводности, как и удельная теплоемкость, может зависеть от температуры. Ну и выводы наши для цилиндрического стакана, и другая геометрия внесет свои коррективы.

Теги:

Хабы: