Комментарии 52
Упомянутая путаница владеет умом множества исследователей, которые так или иначе основывают свои рассуждения на мысли, что математическая «красота» связана с благозвучием. И хотя октава, например, звучит благозвучно, это происходит не от того, что частоты различаются вдвое, а от того, что подобное соотношение нам привычно (хотя бы по спектру человеческого голоса).
Попытка же рассматривать какие-то более сложные теории, ставящие в соответствие математическую и слуховую красоту (например, «генетические музыкальные строи») разбивается о достаточно низкую чувствительность человеческого слуха. Отличить чистую квинту (3:2) от равномерно темперированной (2^7/12 ≈ 1,4983) можно исключительно по биенями, а в составе более сложного аккорда это практически невозможно.
А к вопросу о «неблагозвучии» хочется привести интервал на четвертьтона больше тритона (2^13/24), с которого начинается третья прелюдия И. Вышнеградского.
Для непривычного уха это, пожалуй, куда более неблагозвучнее тритона, но после некоторой тренировки уха «хроматическая диатоника» Вышнеградского — прекрасна.
А касательно диссонансов тут вообще больше поле психологии, т.к. были исследования (ссылочку не сохранил, к сожалению), которые показали, что диссонанс по сути — это просто непривычный звук. Если давать слушать человеку музыку с диссонансами, то через некоторое время они станут восприниматься вполне мелодичными.
Название вводит в заблуждение, так как это — не обоснование, а происхождение.
Почему? Именно обоснование — пифагорейцы восхищались натуральными числами и отношениями между ними, и положили их в основу музыкального строя. По их мнению это правильней с «высшей» точки зрения.
То, что это деление пережило тысячелетия и сотни попыток «улучшения» свидетельствует об их правоте (в выборе наиболее благозвучного и удобного ряда).
То, что это деление пережило тысячелетия и сотни попыток «улучшения» свидетельствует об их правоте (в выборе наиболее благозвучного и удобного ряда).А разве не равномерная темперация сейчас является стандартом?
Однако новая система Мерсенна была принята в штыки. Даже приятель Мерсенна по иезуитскому коллежу математик Декарт был возмущен надругательством над чистотой консонансов, а музыкантов, которые рискнут воспользоваться новой темперацией, назвал невеждами, не имеющими никакого представления о законах музыкальной науки. «Что касается Ваших музыкантов,- писал Мерсенну Декарт,- то какими умелыми Вы бы их ни делали, я должен сказать, что они или издеваются, или насмехаются, или никогда ничего не понимали в теории музыки». Чистота звучания и простота целочисленных отношений для консонансов, идущие от родоначальника европейской науки Пифагора, представлялись Декарту нерушимыми.
m03r выше указал на субъективность «благозвучия». Есть более объективные критерии — чистота звука. При чистой квинте имеем конечное число гармоник. При равномерно-темперированной — иррационально бесконечное. Звук «грязный».
Следующие несколько глав книги исследуют красоту звука математически. Рекомендую.
Впрочем, восприятие 24-тоновой темперации в данные Гарбузова ложится вполне нормально: согласно его экспериментам, путём тренировок ширину зоны можно уменьшить в среднем до 50 центов и совершенно дифференцировано воспринимать 24 различных тона в октаве (с. 15).
Означает ли это, что в салат можно класть лежалый помидор вместо свежего?
Я бы взглянул на вопрос «чистоты звука» с другой стороны. Пифагорейцы были идеалистами. В хорошем смысле, не утопичном. Та же Библия, к примеру, также требует от христиан абсолютного отказа от зла. Очевидно, что это невозможно, ни сейчас ни в каком-то будущем. Но тем не менее эти вещи почему-то существуют.
Может и чистый строй тоже для этой цели? Как ориентир.
Ну и, разумеется, звук колокола не вызывает сомнений в своей приятности уху (если не слишком громко), а у любителей всяческой эзотерики вообще считается чуть ли не чудом каким-то. А между тем спектр его весьма далёк от гармонического (и содержит иррациональные соотношения частот).
Что же касается идеализма, то тут я воздержусь от комментариев, поскольку не вижу никакого смысла в наличии подобного «идеала» (хотя для других людей он вполне может и быть). Ясно одно — психоакустические закономерности иногда более или менее соответствуют ему, а иногда нет. Ситуация, на мой взгляд, аналогичная соотношению золотого сечения в живой природе.
Вы так говорите, как будто иррациональное соотношение частот — это что-то плохое.
Пифагорейцы в этом были абсолютно убеждены.
Математика состоит из теорий, которые прилагаются к реальной жизни с помощью своих моделей.
В математической теории музыки пифагорейцев благозвучность созвучий постулируется отношением натуральных чисел. Это аксиома. Она не доказывается, но берется догадкой из эмпирических исследований.
На основании этой аксиомы строится математическая модель строя — натурального.
Математическая модель с равномерно-темперированным строем к пифагорейской теории музыки с ее аксиомой не принадлежит — это близкое приближение, но отдельная теория и модель. В этой теории аксиома такая — соотношения должны быть по возможности близки к соотношениям натурального строя.
Она появилась из утилитарных соображений — потому что использовать модель натурального строя значительно сложней для производства музыкальных инструментов и написания музыки.
Теперь выкидываем из вышесказанного слово «благозвучность», и остается голая математика, без человеческого субъективизма. Просто две модели. Какая из них дает большее благозвучие — на усмотрение человека.
Я не музыкант и различий особо не слышу, мне интересна математическая сторона. И в ней я за пифагорейцев. Потому что в математике истинно обычно то, что красиво. И наоборот.
В книге еще несколько глав посвящены изучению консонансных соотношений с разных позиций. Посмотрите, если интересно.
Волошин
Колокол — совсем другое. Это как сравнивать борщ и картошку.
В математической теории музыки пифагорейцев благозвучность созвучий постулируется отношением натуральных чисел. Это аксиома. Она не доказывается, но берется догадкой из эмпирических исследований.
Вот это и было их ошибкой: на основании того, что 1:2, 2:3, 3:4 и т. п. звучат «благозвучно», делается вывод, что благозвучие «аксиоматически» связано с простыми соотношениями частот. Напоминает известный анекдот:
— Физик верит, — сказал математик, — что 60 делится на все числа. Он замечает, что 60 делится на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Он проверяет несколько других чисел, например, 10, 20 и 30, взятых, как он говорит, наугад. Так как 60 делится и на них, то он считает экспериментальные данные достаточными.
— Да, но взгляни на инженера, — возразил физик. — Инженер подозревает, что все нечетные числа простые. Во всяком случае, 1 можно рассматривать как простое число, доказывает он. Затем идут 3, 5 и 7, все несомненно, простые. Затем идет 9 — досадный случай; по-видимому, 9 не является простым числом, но 11 и 13, конечно, простые. «Возвратимся к 9, — говорит он, — я заключаю, что 9 должно быть ошибкой эксперимента».
Далее.
Она [математическая модель с равномерно-темперированным строем] появилась из утилитарных соображений — потому что использовать модель натурального строя значительно сложней для производства музыкальных инструментов и написания музыки.
Причина использования равномерно-темперированного строя — действительно утилитарная. Но она состоит не в сложности создания инструментов, а в его инвариантности относительно транспозиции. Настроить клавир в пифагоровом строе для опытного настройщика не составляет труда. Но натуральный строй звучит хорошо только в одной тональности и более или менее прилично ещё в нескольких. Остальные же дают заметную слухом фальшь. В мезотонике ситуация лучше: хорошо звучат около половины тональностей, но зато все имеют своё темперационное «лицо». В равномерно темперированном строе, соответственно, всё звучит хорошо, но и всё одинаково.
А если мы говорим про струнные и духовые, то, как известно, исполнитель может спокойно регулировать высоты издаваемых тонов, и, разумеется, ни один (хороший) скрипач или флейтист не играет в равномерно-темперированном строе (см. об этом, опять же, у Гарбузова). Завышение и занижение звуков обычно более или менее подчиняется гармонической логике, усиливая тональные тяготения.
Математическая модель — красива, не спорю. Но к музыкальной практике она имеет примерно такое же отношение, как «Гармония сфер» Кеплера к реальному устройству Солнечной системы. Да и восходит она, опять-таки, к пифагореизму.
Со временем, однако, становится понятно, что в применении к сложным явлениям простые математические отношения — это обычно упрощённое моделирование реальности, а не её прообраз. Так что эквивалент истинности и математической красоты работает исключительно в физике, да и то не всегда.
Вот это и было их ошибкой: на основании того, что 1:2, 2:3, 3:4 и т. п. звучат «благозвучно», делается вывод, что благозвучие «аксиоматически» связано с простыми соотношениями частот.
Посмотрите книгу по поводу консонанса натуральных отношений. Я там не понимаю многого, а вам будет понятней.
разумеется, ни один (хороший) скрипач или флейтист не играет в равномерно-темперированном строе
Интересно. При примерно равной возможности выбора выбирается чистый строй. Почему, с вашей точки зрения?
Со временем, однако, становится понятно, что в применении к сложным явлениям простые математические отношения — это обычно упрощённое моделирование реальности, а не её прообраз.
Вы ошибаетесь. Основополагающие неупрощенные E=mc2, формулы СТО, законы Кеплера и остальные ключевые соотношения математики, физики, химии меняли свою форму от сложного к простейшим красивым отношениям, по мере изучения и понимания предмета.
А кто сказал, что выбирается чистый строй? Выбирается то, что лучше согласуется с гармонической логикой окружающего. И говорить о «строе» здесь не совсем корректно: большая часть тонов не будет иметь фиксированной частоты (а в масштабе всего произведения — вообще все).разумеется, ни один (хороший) скрипач или флейтист не играет в равномерно-темперированном строеИнтересно. При примерно равной возможности выбора выбирается чистый строй. Почему, с вашей точки зрения?
Основополагающие неупрощенные E=mc2, формулы СТО, законы Кеплера и остальные ключевые соотношения математики, физики, химии меняли свою форму от сложного к простейшим красивым отношениям, по мере изучения и понимания предмета.Физика и химия — возможно. Биология и, тем более, психология и проч. — нет. А музыка как раз из этой области. Человеческое восприятие обычно нечувствительно к мелким различиям (и по отношению к звуковысотности это подтверждается экспериментально). Вот, веткой выше обсуждали чистые и «нечистые» квинты, разница между которыми ощутима вообще только в стерильных условиях. В реальной музыкальной практике — нет.
При равномерно-темперированной — иррационально бесконечное. Звук «грязный».
Не хочу обидеть, но это полная ерунда
Это ерунда?
Слабые биения, создаваемые взаимодействующими друг с другом частичными тонами одной струны, являются естественными для звучания этого инструмента.
Если же мы берем несколько звучащих одновременно струн, что естественно при игре на том же фортепиано, в зависимости от состояния инструмента мы получаем широких диапазон возможностей от типично-узнаваемого звука фортепиано до «грязного».
К содержанию также есть претензии: возможно, в соседних главах материал и приводится к какому-то законченной стройной системе, но в том, что есть всё свалено в кучу — и невнятица про ладовый строй и про хорошо темперированный клавир, что вряд ли полезно человеку, незнакомому с темой, но представляется знакомым и очевидным знакомым с материалом.
Объясните, пожалуйста, почему эта же статья, но как перевод с не русского языка на Хабре допустима, а как копипаста с раритетной книги, которую рецензировали в институтах АН СССР — нет? Какие причины (правила Хабра, бо́льшая актуальность, бо́льшая полезность, необходимость трудозатрат на перевод, другое). Просто есть еще пара интересных тем в книге, которые я бы хотел обнародовать, и теперь в сомнении.
Очень крутая статья, спасибо за работу.
Если вспомнить, что сейчас господствуют только два лада — мажор и минор, то остается только удивляться, насколько утонченным было античное музыкальное сознание.
На самом деле даже в современной попсе частенько встречаются нестандартные лады, просто их сложно отличить от мажора и минора, если специально не вслушиваться. Например, заглавная тема для Back To The Future написана в лидийском ладу. Вот примеры:
— UPD
Извините, видео не скрывается под спойлеры
Если вспомнить, что сейчас господствуют только два лада — мажор и минор, то остается только удивляться, насколько утонченным было античное музыкальное сознание
На самом деле уже нет.
Например, в джазе и современной импровизационной музыке (а до этого fusion, prog и т.д.) давно уже активно исследуются как возможности системы мажоро-минора, так и использования различных ладов. Тот же модальный джаз, исследованный вдоль и поперек.
Даже академическая музыка XX века немало экспериментировала с ладовым потенциалом.
Я уж молчу о том, что понятие диссонанса и «шума» за этот век очень переосмыслилось.
Если вспомнить, что сейчас господствуют только два лада — мажор и минор, то остается только удивляться, насколько утонченным было античное музыкальное сознание.
+1 про блюзовый лад. Впрочем, для советской-постсоветской действительности (цитата из книги 1992 г.в.) это было актуально, несмотря на отечественных джазистов :)
Точная математическая модель, на мой взгляд, всегда будет упираться в погрешности в виде особенностей материала, создающего вибрацию, их обертонов (струны, голосовые связки — ) и не идеального восприятия интонирования и зонального восприятия музыки, так что либо прокачивать слух и использовать четверть тона (что в масштабах человечества нереально), либо привычно использовать специфическую «функцию округления» в виде темперации :)))
Точная математическая модель, на мой взгляд, всегда будет упираться в погрешности в виде особенностей материала, создающего вибрацию, их обертонов (струны, голосовые связки...
Точная математическая модель упирается в подобное во всех прикладных науках и областях. И ничего, живут как-то вместе.
Нужно понимать, что музыка звучит грязно не потому, что строй неправильный, а потому, что музыкант играет грязно. В интернете можно найти много примеров любителей, пытающихся играть в натуральной темперации, как самоцель (типа воссоздают аутентичное звучание) — а звучит это даже не убого, а жалко.
Идеальный строй, кстати, давно известен — 53-ступенная темперация снимает все проблемы с чистотой интервалов. Вот только на практике она никому не интересна — и даже в теории существует лишь несколько переложений примитивных никому не интересных произведений.
Человек берёт хроматический инструмент гитару и настраивает её по флажолетам, (а третью струну — например, октавой ниже первой на третьем ладу) в ноль биений. Затем берёт аккорд, и делает вывод. Гитара не строит, гитара плохая, гитару надо подороже, или отстроить у мастера.
Хроматический равномерно темперированный инструмент настраивать по натуральным интервалам без биений, и ожидать от него благозвучного и точного строя? Вот и весь секрет.
Если настраивать хроматический инструмент без тюнера или эталонной гармоники, но по нужному числу биений, (как настройщики фортепиано), а не их отсутствию, гитара часто внезапно становится «дороже» и «мастерски отстроенной».
Пифагорейский лад насчитывает 12 ступеней. Но при его современном анализе обычно ограничиваются семью ступенями, считая эти ступени диатонической гаммой, в которой терции и сексты далеки от акустически чистых пропорций (5/4, 6/5, 8/5, 5/3).
В древней музыкальной традиции Китая музыкальная система 12 люй также состоит из 12 ступеней, которые уподобляются 12 месяцам солнечного года. При этом в основу пифагорейского лада и в основу китайского лада положен один и тот же принцип: квинтово-квартовый шаг. Эти музыкальные системы неотличимы друг от друга ни на йоту.
Так, может быть, есть смысл внимательно и непредвзято проанализировать все 12 ступеней квинтового лада, прежде чем делать заключения о неблагозвучности терций и секст.
Говоря, что пифагорейский лад выстраивается восходящим квинтовым ходом от ступени До (С), музыковеды включают в полученный ряд из семи ступеней ступень Фа (F), которая на чистую кварту-квинту отстоит от ступени С. А это значит, что роль стартовой ступени играет ступень Fа не С: F - C - G - D - ...
Пятой ступени без колебаний дают имя Ля (А), но тут не стоит спешить. Шестая ступень ряда имеет размер 243/256 относительно F. При этом интервал 256/243 именуется у древних греков диесой или лейммой. Стало быть адекватное наименование шестой (от F) ступени - Fb.
Далее в русле той же древнегреческой логики получаем наименования седьмой, восьмой и девятой ступеней квинтового хода: Сb - Gb - Db.
Пропорция ступени Db относительно стартовой ступени F выражается умопомрачительной целочисленной дробью: 6561/8192, которую большинство из музыковедов и не пытается интерпретировать. А между тем, переведя эту дробь к десятичному виду, получаем значение 0,800903. То есть это ~4/5 от стартовой единицы. Отклонение от натуральной б.терции всего 2 цента. Это значит, что восьмой шаг квинтой порождает пропорцию большой терции с ничтожной (для струнной настройки) погрешностью.
Десятая ступень от F образует к F пропорцию малой терции всё с той же погрешностью в 2 цента и пропорцию большой терции к ступени С. Условно обозначим эту ступень Ab*.
Далее идут ступени Eb* - Bb*, которые образуют акустически безупречные терцовые пропорции со ступенями С, G, и D.
Эти три ступени неожиданно прокладывают мост к чистому европейскому строю с бемолями, размер которых равен 24/25.
Итак, после Db имеем: Ab* - Eb* - Bb*, где b* - это бемоль европейского чистого строя.
Четыре стартовые ступени и три завершающие ступени квинтового лада от F образуют лад До-минор с пропорциями акустически неотличимыми от C-moll чистого строя:
C-D-Eb*-F-G-Ab*-Bb*. А вот все 12 ступеней лада: F-C-G-D-Bbb-Fb-Cb-Gb-Db-Ab*-Eb*-Bb*.
Естественно на этих же 12 "квинтовых ступенях" от F формируется акустически безупречная мажорная гамма. Но только - это не гамма С-dur, а гамма Eb*-dur (Eb*-F-G-Ab*-Bb*-C-Db*). Первые три и последние четыре ступени из 12, построенных квинтовыми шагами от F.
Вполне себе разумеется, что одиннадцать квинтовых шагов от любой стартовой ступени порождают хроматическую гамму, в составе которой присутствует один минорный и один мажорный лады, с абсолютно чистыми пропорциями квинт и кварт и с пропорциями терций (секст), незначительно уступающими этим же пропорциям чистого строя.
Например, если в качестве стартовой ступени взять камертонную ступень Ля, то получим:
A - E - B - F# - C# - G#(Ab) - D#(Eb) - Bb - F - C - G - D
C-D-E-F-G-A-B - C-dur
E-F-G-A-B-C-D - E-moll
Вот это и есть истинное лицо пифагорейской модели музыкального строя, которое не нуждалось ранее и не нуждается сегодня в каком-либо исправлении.
Пифагорейское математическое обоснование музыкальной гаммы