О взаимосвязи простых и иррациональных чисел

[@myxo]

В таком виде совершенно не понятно что вы подразумеваете под «упорядочить множество {f(n, m)|n, m in N}».
То, как пишете вы: «способ найти следующую пару чисел n и m, зная предыдущую.» — элементарно и, вообще говоря, не зависит от функции, которую вы к этим числам применяете. Очевидно, вы имеете в виду что-то другое.

И да.
«простата какого-нибудь числа напрямую зависит от, например, какого-то знака после запятой»
Знаю, что такое нужно в личку. Но тут не удержался xD

[@ia_androsov]

Спасибо, исправил. У меня было несколько вариантов, как строго задать очевидную вещь. В таких множествах я имел ввиду нахождение просто взаимосвязи. Я думаю, что интуитивно понятно, что, например, во множестве степеней двойки «порядок» находиться очень просто, а во множестве простых чисел — нет. Вы правы, способ существует всегда — полный перебор. Я имел ввиду явную формулу для любой пары. Полный перебор формулой являться не будет, так как множество — бесконечно.

[@myxo]

Как ехидно говорил мой препод по матану: «Если вам это кажется очевидно, то для вас не будет никаких проблем это доказать».

Я правильно понимаю, что под порядком вы понимаете это.
Для мн-ва A = {a} задан порядок если существует биекция А <-> N (обозначим такие пары a_n) и функция f: A -> A, которая для каждого a_n вычисляет a_{n+1}
Иными словами если множество счетно и по элементу n можно однозначно определить эл-т n+1?

Или вы также требуете, чтобы f вычислялась за константу?

[@ia_androsov]

Для множества, про которое вы написали, биекция будет существовать всегда. Как раз потому, что множество — счетно. Да, вы выразили мою мысль наиболее правильно, сказав про вычисление f за константу. По крайней мере, нахождение n-ой пары за полиномиальное время.

[@myxo]

Ну вот. Теперь у вас есть нормально поставленное утверждение. Теперь продемонстрируйте для первого множества такую функцию f и докажите, что для второго такого f нет. Потому-что ваши словесные рассуждения совершенно непонятны.

Вот это меня совсем убило *сова.jpg*

Очевидно, что: 2 + 2 + 2 = 3 + 3 и 2 + 2 > 3, 2 < 3. Таким образом, пары чисел распределены следующим образом:

К тому же в вашем примере для первого множества отсутствуют, например, пара чисел (0, 2) Спрашивается почему?

[@ia_androsov]

(0,2) = (3,0) как раз из-за равенства 2 + 2 + 2 = 3 + 3. Удобно выбирать вторую пару, а не первую. Но можно было бы везде выбрать и первую пару — это не принципиально. Простите, боюсь, что я не могу доказать, что для второго множества не существует такой функции f. Я лишь сказал, что эта проблема остается открытой, так как абсолютно не очевидна. А доказательство, которое вы хотите, привело бы и к решению известной проблемы P/NP.

[@Kisva]

Есть еще порядок Шарковского.

[@zuko3d]

Из курса алгебры я помню, что отношение частичного порядка — это отношение, которое является рефлексивным (a >= a), транзитивным (a >= b, b >= c => a >= c) и антисимметричным (a >= b, b >= a => a = b). Отношение строгого порядка — это отрицание какого-то отношения частичного порядка.

Теперь попробуем его упорядочить. То есть найти способ найти следующую пару чисел n и m, зная предыдущую

Само это высказывание выглядит неверным. Рациональные числа упорядочены, но не получится найти «следующую пару».
Возможно, Вам стоило бы найти другой термин для того, что хотелось описать.

[@ia_androsov]

Я знаю об этой проблеме в терминологии. Вы абсолютно правы в определении порядка. Я пытался избежать именно этого понимания. Здесь я имел ввиду порядок в смысле выстроить пары в счетный ряд по возрастанию и ничего больше. И это можно сделать всегда в этих множествах. Важно лишь нахождение алгоритма для этого. Порядок из курса алгебры куда более общее понятие. Я учту это и в дальнейшем буду использовать другие термины. Спасибо за ваш комментарий.

[@Zhandos_Mambetali]

во множестве степеней двойки «порядок» находиться очень просто, а во множестве простых чисел — нет.

Но стоит эти степени двойки умножить на нечётные числа как сразу теряется их порядок, связано с гипотезой Коллатца, которая по хаотичности не уступает простым числам.

[@Sirion]

Водоразделом в этом посте служит заголовок «Сама связь». До неё идут понятные рассуждения, которые проводятся непонятно зачем. После — непонятные рассуждения.

У вас в профиле указано «математик». Могу я поинтересоваться вашим образованием и местом работы? Не ради каких-то понтомерок, просто хочу лучше понимать контекст ваших рассуждений.

[@xi-tauw]

1) Простые числа никогда не были чем-то уникальным. Не обязательно переводить умножение в сложение через логарифм, достаточно обобщиться до многочленов и посмотреть на неприводимые многочлены.
2) Связь вида «там хаос и тут хаос, значит они связаны» не выглядит обоснованной.

[@kirtsar]

Взяв за основу произвольные простые числа, мы меняем задачу разложения составного числа на множители на задачу разложения практически произвольного иррационального числа на сумму двух других из заданного множества. Что-то мне подсказывает, что это задача должна относиться к классу NP.

Похоже на рюкзачные криптосистемы в криптографии, которые печально известны неочевидными уязвимостями.

Простые числа, насколько я понимаю, уже давным давно обобщены — надо смотреть в сторону простых-максимальных идеалов и операций с ними.

[@ia_androsov]

Действительно похоже, вы правы. Однако там используются лишь целые положительные числа. Здесь же — иррациональные. Да, они обобщены, как вы заметили. Но это обобщение не позволяет работать с изоморфизмами таким образом.

[@Refridgerator]

Утверждению «вариант улучшенного алгоритма RSA» в статье нет никакого обоснования. Независимый эксперт уже проверил его на преимущество и криптостойкость?

[@ia_androsov]

Очевидно, что он не хуже обычного RSA, так как RSA является частным случаем «варианта улучшенного RSA». В остальном предлагаю стать вам «независимым экспертом».

[@Refridgerator]

Увы, не для всех это очевидно. К примеру, не каждое подмножество эллиптических кривых имеет криптографическую ценность.

[@Refridgerator]

Кстати. Золотое сечение — 1,6180339887… иррационально. Однако если мы разложим его в цепную дробь

то увидим, что никакого хаоса нет и в помине. Из чего следует, что из иррациональности вовсе не следует хаотичность.

[@kirtsar]

Просто для справки добавлю, что любая квадратичная иррациональность представляется в виде периодической цепной дроби.

[@ia_androsov]

Теорема Лагранжа: Число представляется в виде бесконечной периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда оно является иррациональным решением квадратного уравнения с целыми коэффициентами.

Да, для алгебраических иррациональных чисел все может быть вполне хорошо. Мне хотелось бы рассматривать преимущественно трансцендентные числа. Например, все логарифмы от натуральных чисел являются трансцендентными числами или целыми, конечно.

[@Refridgerator]

Трансцендентное число также не является гарантией хаоса. Например, основание натурального логарифма представимо в виде e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...,1,1,2n-2,1,1,2n,...]

[@ia_androsov]

Однако периодов не будет. Да, пример хороший. Тогда мне следует более строго определить «степени хаотичности» и дополнить исследование, учитывая такие числа. И тогда интересно было бы «упорядочить» множество {n + m*sqrt(2)}. Видимо, должен существовать хороший способ. И дальше попробовать проделать это же с множеством {n + m*e}. Но вот если взять уже множество {n + m*sqrt(2) + k*e}, то видимо все равно появится хаос, из-за «укладывания» sqrt(2) в число e.

[@Refridgerator]

Да и для числа пи есть (обобщённое) разложение:

[@ia_androsov]

А есть что-то подобное для логарифма?

[@Refridgerator]

Есть — разложение в степенной ряд.

[@ia_androsov]

Боюсь, что это не подойдет. Я изучу эту тему, спасибо за замечания.

[@KvanTTT]

Может "хаотичность" следует из меры иррациональности? Чем выше значение, тем больше хаотичность.

[@ia_androsov]

Очень может быть. Но если предположить, что некоторое число «a» — имеет большую меру иррациональности, то тем не менее во множестве {ka + 2ma} хаотичности не будет вообще. Так как «2a» и «a» успешно делятся друг на друга. Возможно, нужно считать некую относительную меру, а по умолчанию она относительно единицы. Но для множеств вида {n + am}, видимо, именно мера иррациональности влияет на хаотичность. Спасибо за ваш комментарий.