Алгоритм: Как найти следующую лексикографическую перестановку

Если кратко описать, что такое лексикографический порядок — это сортировка в алфавитном порядке. Т.е. последовательность символов — AAA → AAB → AAC → AAD → ……… → WWW — является отсортированной в алфавитном (или в нашем случае лексикографическом) порядке.

Представьте, что у Вас есть конечная последовательность символов, например 0, 1, 2, 5, 3, 3, 0 и Вам необходимо найти все возможные перестановки этих символов. Наиболее интуитивным, но и наибольшим по сложности, является рекурсивный алгоритм, когда мы выбираем первый символ из последовательности, далее рекурсивно выбираем второй, третий итд, до тех пор, пока все символы из последовательности не будет выбраны. Понятно, что сложность такого алгоритма — O(n!).

Но оказывается, что наиболее простой алгоритм генерации всех перестановок в лексикографическом порядке — это начать с наименьшей и многократно вычислять следующую перестановку на месте. Давайте посмотрим как это сделать.

Точно также, как при расчете следующего целочисленного значения, мы должны стараться увеличить правую часть последовательности и оставить левую часть неизменной.

В качестве примера возьмем вышеприведенную последовательность — (0, 1, 2, 5, 3, 3, 0). Чтобы получить последовательность выше оригинальной, достаточно переставить первый и второй элементе местами, но в этом нет необходимости, так как можно переставить второй и и третий и получив более близкую по возрастанию последовательность. что приведет нас к следующей более близкой перестановки итд.

Наиболее оптимальным алгоритмом в этом случае будет следующий:

1. Прежде всего Вы должны найти наибольший не-увеличивающийся суффикс. В вышеприведенном примере это будет — (5, 3, 3, 0). Если Вы попробуете сделать любую перестановку в данной последовательности, то она не будет выше оригинальной.
   Стоит сказать, что найти данную последовательность вы можете за O(n) времени, просматривая последовательность слева направо.
2. Следующий элемент от суффикса является точкой поворота. В нашем случае — это 2. Точка поворота будет всегда меньше первого элемента суффикса. Это значит, что в суффиксе обязательно будет элемент превышающий точку поворота и если мы поменяет точку поворота на наименьший элемента из суффикса, превышающий опорный элемент точки поворота — мы получим последовательность превышающую оригинальную — в нашем случает это будет — (0, 1, 3, 5, 3, 2, 0).
   Т.е. результатом этой операции будет минимально возможный по возрастанию префикс.
   
3. И на последнем шаге мы должны отсортировать суффикс в порядке возрастания. Т.е. мы получим минимально возможный суффикс. В нашем примере это будет (0, 2, 3, 5) и вся последовательность будет выглядеть как (0, 1, 3, 0, 2, 3, 5).
   

Это значение и будет следующей лексикографической перестановкой.



Что касается практического применения алгоритма, то за все время моей работы он мне ни разу не понадобился, но на интервью в Uber посчитали иначе :))

Для простоты весь код будет написан на Go и думаю никому не составить труда перевести его на любой другой язык программирования.

Большое спасибо PYXRU и 646f67, что ткнули меня носом в возможную оптимизацию алгоритма — произвести расчет перестановки за линейную сложность просто сделав reverse суффикса.

func NextPermutationAlgorithm(w string) string {

 l := len(w)
	b := []byte(w)
	r := "no answer"

	for i:=l-1; i>0 ; i--{
		if b[i-1] < b[i] {
			pivot := i
			for j := pivot; j < l; j++ {
				if b[j] <= b[pivot] && b[i-1] < b[j] {
					pivot = j
				}
			}

			b[i-1], b[pivot] = b[pivot], b[i-1]

			for j := l-1; i < j; i, j = i+1, j-1 {
				b[i], b[j] = b[j], b[i]
			}

			r = string(b)
			break
		}
	}

	return r
}