Вероятность выигрыша матча при известной вероятности выигрыша очка

[@slonpts]

Хорошая задача!

В решении с деревом на узлах можно посчитать вероятности аналитически.

Дерево исходов матча — обычное биномиальное дерево, нарисованное до уровня 2n-1.
Нас интересуют только вероятности в вершинах, отмеченных зеленым. (Поэтому мы не рисуем вершины левее и правее — они не влияют на зеленые вершины, хотя и присутствуют в биномиальном дереве).

В случае игры до 11 голов, зеленые вершины — это вероятности матча со счетом 11-0, 11-1,… 11-10 в нашу пользу.
Ну и надо просто их просуммировать (это уже можно и на компьютере сделать).



P.S. Только заметил — у меня немного другие обозначения вероятностей гола, p и q. Но это ни на что не влияет, понятно.

[@p53]

Всё ещё проще. Пусть игроки играют не до k=11 очков, а фиксированные 2k-1 = 21 раунд. Тогда тот, кто в течение игры первым наберёт 11 очков, гарантировано выиграет по результатам 21 раунда. В результате мы получаем биномиальное распределение очков x, набранных первым игроком, а нас интересует вероятность P(x >= k), что соответствует кумулятивной вероятности 1-F(k; 2k-1, p) = F(k; 2k-1, q) которая выражается через регулярную неполную бета-функцию. P(x >=k ) = I_p(k, k). Ответ в виде графика можно спросить у вольфрам-альфы.

[@wormball]

> Ценный совет напрашивается сам собой — чтобы выигрывать матчи, надо работать над выигрышем каждого очка.

Я бы из графика противоположный бы вывод сделал — можно выигрывать 60% подач и при этом выигрывать 90% матчей. График, кстати, не подписан.

На схожую тему есть ещё один прикол. Как-то раз я писал программу, играющую в футбол, и решил посчитать, сколько мне надо времени играть, чтобы узнать, улучшился алгоритм или ухудшился. Не помню точных цифр, но получалось, что чтобы сколько-либо надёжно заметить разницу частоты забития голов в 10%, надо играть хотя бы до 200 голов.

А теперь вспомним, что начинается после каждого футбольного матча. Каждый первый зритель сразу начинает делать далеко идущие выводы — у кого сегодня зубы болели, кто играть не умеет, кого надо уволить, кого отправить на мыло, кто с кем сговорился, какие национальные традиции помешали забить гол и т. п. Хотя на самом деле с таким смешным количеством голов, как в футболе, результат матча ненамного отличается от результата подбрасывания монетки.

В баскетболе чуть получше, но и там надо помнить, что, как правило, после гола одной команды мяч получает другая и с довольно большой вероятностью сама забьёт гол. Так что от счёта надо отнять эдак половину (и ещё поделить на два — большинство голов-то двухочковые).

[@Pochemuk]

В данном случае мы имеем вероятность выигрыша очка (7/(11+7)) ~=0.39.

Существенная неточность…

Из того факта, что мы выиграли 7 и проиграли 11 очков вовсе не следует, что вероятность выигрыша очка равна ровно 7/(7+11).
Вообще о точном значении вероятности исходя из этих данных утверждать нельзя. Можно только утверждать, что данная вероятность имеет некоторое непрерывное распределение, называемое бета-распределением.

А уж дальше можно заниматься монте-карлой. Только придется брать не конкретное значение вероятности, а некоторые интегральные значения на узеньких диапазонах с некоторыми вероятностями каждое.

В общем, все не так просто, как на самом деле…

[@andrexj7]

вы пишите что

Допустим Вы – первый игрок. В данном случае мы имеем вероятность выигрыша очка (7/(11+7)) ~=0.39.

но моделируемая вами ситуация со счетом 11:7 — предполагает что первый игрок — должен иметь 11 очков а не 7…

[@Germanjon]

Интересный пост. Вопрос: в случае с настольным теннисом учитывался ли дальнейший розыгрыш «Больше-меньше» при счёте 20:20?

[@vesper-bot]

Нет, в тексте дважды упомянут «игнорирую козлиный бой», что означает отсутствие учета бесконечного дерева возможных очков. Т.е. в случае 20:20 следующее очко в этой модели однозначно определяет победителя.

[@Sirion]

Задача о разорении игрока. Старая как мир, имеющая аналитическое решение. Или это для «финансового математика» недостаточно хайпово?

[@BorisStratula]

Ещё бы это всё разжевать, а то за такой стеной математики мне не понять.

[@echasnovski]

Это не совсем задача о разорении игрока, т.к. там игрок может выиграть только «забрав деньги» у соперника. Она бы подходила, если бы победа в спортивном матче присуждалась когда кто-то из игроков «оторвался» от другого на фиксированное количество очков.

Задача в статье — это вариант Задачи о разделении ставки, достаточно подробно описанная в этой статье (обе ссылки на англоязычные источники).

Но и у этой задачи (набрать очков до того, как соперник наберёт очков, при вероятности выигрыша одного очка) есть интересные аналитические решения:

• В виде суммы
• Использующее неполную бета-функцию:

Я использовал эти формулы для создания модификации рейтинга Эло, который учитывает матчи «до побед». Вот ссылка на хабр-статью, если вдруг интересно.

[@Sirion]

Действительно. Невнимательно вчитался в статью, блеснул эрудицией не по делу. Каюсь.

[@dmagin]

У вас по ссылке интересная статья, но странно, что ее нет в хабе «Математика».

[@echasnovski]

Спасибо.
Она больше задумывалась как практическое изучение узкой области с использованием математики, а не статья по математике, поэтому как-то даже и не подумал о добавлении в этот хаб. Но да, возможно, нужно было.