Философия деления на… или исповедь сумасшедшего

Вступление

Сразу следует указать что в данной статье не будет глубокой математики. Будет лишь рассуждение на указанную в заголовке тему. Всё далее описанное лишь мнение автора. Не более того. Почти.

Небольшое дополнение: «мера» и «величина» являются слишком расплывчатыми понятиями, а некоторыми они считаются и синонимичными. Автор же решил строго использовать их в разных представлениях, для однозначности — мерами выступают названия единиц измерения, а величинами выступают численные значения, полученные в результате введённых условий или измерений. Причина, по которой мера указана в виде обычной единицы ("/1" в квадратных скобках далее), а не какого-то символьного названия, состоит в том, что при работе с обычными числами в нашем воображении мы не опираемся на какую-либо известную человечеству меру в своих мысленных расчётах, а просто напрямую работаем с числами («чистые вычисления»).

Особенность математики

Математика, как наука, окончательно углубилась в систематизацию и отвлечение, тем самым создав себе положение, при котором она попала в кризисное состояние. Что под этим подразумевается? Великий философ и математик Курт Гёдель своими прекрасными теоремами доказал что некоторые математические основания нельзя доказать или опровергнуть средствами самой математики.

И хотя многим очевидно, что аксиоматизация основана всегда на наблюдениях физической действительности (то есть на опыте), почему-то эти многие концентрируются исключительно на самой математике, то есть структуре (форме) без содержания. Потому они иногда не представляют что делают, но знают как. Большинство пытавшихся подойти к описанной проблеме, подобно кошке, которая преследует свой хвост, упорно ходит по кругу. Здесь, по всей видимости, проявляется то самое профессиональное закостенение, о котором написал Лоренц в своей прекрасной работе.

Сравнение, как важнейший инструмент познания

Всё познаётся в сравнении.

Рене Декарт

Для начала следует сразу обозначить что все математические операции происходят у людей благодаря возможности выявления общих признаков. То есть, благодаря постановке условия и соотношению условия с объектами происходит сам по себе счёт. Отсюда выводятся операции арифметики. Проще говоря, через сравнение происходил первоначальный счёт. Многие физические величины являются принятыми стандартами (эталонами), примеры которых бережно хранятся в Париже. Это подразумевает под собой то, что установлена первоначальная единица, на основе которой выводятся численные представления (концепции) физических явлений. Проще говоря проводится тот же подсчёт. “Вещами в себе” (термин, предложенный великим философом – Иммануилом Кантом) представляются нам такие предметы бытья, которые мы не можем постигнуть разумом, в силу несовершенства человеческих возможностей. Элементарное сравнение вещей и составление на этой основе категорий даёт нам возможность проводить систематизацию объектов познания, что приводит к получению какого-то обработанного знания (“вещи в себе” становятся не полными “явлениями”, ведь мы можем не знать всех свойств чего-либо). Если бы мы не могли определять различий между телами (формы, цвета, вкуса, размера и так далее), то для нас все предметы так и остались бы “вещами в себе”. Кант устанавливал, что выделение категорий – это основа внеопытного (априорного) мышления, которое напрямую связано с математической разновидностью познания, то есть сразу можно обозначить что благодаря выделению равенства или неравенства (схожести) мы устанавливаем (производим) только после этого возможность самого счёта. Конечно же, отсутствие внеопытного мышления исключает возможность его проведения (исключение человеческой «функции» сравнения делает невозможным счёт). Множества, к слову, представляют из себя категории объектов, у которых присутствует какие-то условия наличия элементов.

Возьмём в качестве объекта рассмотрения слиток серебра (популярный объект мысленного эксперимента). Мы можем выделить его массу исходя из экспериментального сопоставления с принятой единицей в системе СИ (килограмм). Мы, также, можем выделить его длину и ширину исходя из экспериментального сопоставления с принятой единицей в системе СИ (метр). Если мысленно отбросить принятые меры и все известные объекты, кроме самого слитка, то перед нами будет лишь объект познания данный нам в наших субъективных, чувственных представлениях (что по-прежнему будет частью внеопытного знания объекта, ведь полностью отключить мышление нельзя (как и обойтись без прошлого опыта, определение которого весьма затруднительно)). Мы не сможем сопоставить с ним какое-либо число просто потому, что не сможем его ни с чем сравнивать. Исходя из всего этого, легко прийти к выводу, что численное представление физической величины имеет под собой связь с элементарным сравнением (сопоставлением) вообще (это очевидно, но обозначить необходимо для ясности суждения).

Если поменять нашу единицу измерения (эталон), то мы можем получить любое численное представление (в рамках действительных чисел) одного и того же слитка, исходя из правила (теоремы) замены масштаба. Представим, что слиток весил один килограмм, то есть был полностью сопоставлен с принятой единицей измерения по массе. Но если мы не будем пользоваться традиционным эталоном (килограммом), а заменим его половиной принятой ранее единицы измерения (килограмма), то получим, что наш слиток весит две “принятых единицы”. Конечно же, в таком случае, масштаб будет распространяться на все сопоставляемые предметы (в рамках рассмотрения) для возможности их сравнения, но это не отменяет возможности изменения численных представлений сопоставляемых величин в принятых рамках (действие правила (теоремы) масштабов). Таким образом, я выделяю отдельно численное представление (величину), получаемое за счёт сравнения с принятой единицей измерения (мерой). Мы можем сравнивать слиток серебра в двести килограмм и другой слиток серебра в четыреста половин килограмма, что подразумевает использование разных численных представлений и разных принятых единиц измерения (мер). Конечно же они будут равны, при одинаковой мере. Учёт единиц измерения играет важную роль в физике, что помогает избежать ошибок (и парадоксов) при вычислениях. Но математика позволяет себе игнорировать такой подход, не смотря на то, что можно выводить любые численные представления исходя из выбора “принятой единицы”.

Важнейшая проблема математического подхода

Математика может быть определена как доктрина, в которой мы никогда не знаем ни о чём говорим, ни того, верно ли то, что мы говорим.

Бертран Рассел

Когда нам приходиться работать с величинами, то мы по-умолчанию считаем их одномерными (выведенными через одну, общую меру). Это относится к многочисленным учебным вычислениям математиков, которые не учитывают меры в решениях. Такой подход сразу же создаёт определённую ориентацию. «Идеальные представления», выработанные математически, не позволяют полно соотносить явления действительности, в силу сложности самих явлений (слишком много факторов, которые нельзя сразу учесть). Возникает проблема, при которой «идеальное представление» может быть само изначально не полным, а его проверка становится совершенно невозможной (опыт не может однозначно подтвердить это). Всё это достаточно подтверждается существованием такого замечательного параметра как точность («идеальное представление» (какой-нибудь всемирный закон) выведено на основании опыта и само же определяется опытом, что довольно забавно). Юмор ещё может состоять в том, что изначальные условия получения «идеальных представлений» могут уже не соотноситься с текущей действительностью (вселенная тогда и сейчас). Исходя из той же биологии (на примере которой легче это увидеть), наша действительность постоянно меняется, как и меняемся мы. Столетия назад выработанные законы могут перестать выполнять свою роль через какое-то время в силу изменения самой действительности (не сообщая уже о научных революциях). Видимо, в силу перечисленных проблем постепенно меняется подход к измерениям и стандартизации (становится более подозрительным скептичным). Но к чему всё это?

Автор данной статьи сошлётся на второй раздел книги Конрада Лоренца («Возникновение новых системных свойств»), в котором учёный указывает на не очевидные изменения параметров при формировании (комбинировании) систем из отдельных элементов, где каждый отдельный элемент демонстрирует свои особенности, но, при сочетании с другими, эти особенности искажаются — то есть устраняется линейная последовательность причин. Таким образом я хочу обратить внимание на то, что наблюдаемые явления не всегда могут следовать математическому подходу (да даже той же арифметике в простейших случаях) как некоторым известно. А если учесть что сама математика возникает при обработке опыта нашим разумом (с другими функциями человеческого организма), то решение математических проблем посредством опытной проверки не является чем-то уж преступным.

Ноль, как число

Не мало уже есть разборов относительно представления нуля, а потому раздел будет краток.

Проблема нуля и деления на него

Почему-то люди окончательно удостоверились, что в результате умножения числа на ноль результатом будет сам ноль. Конечно же у этого вывода есть основания. Автор с ними согласен, но всё же необходимо немного разобраться. Возьмём всё тот же злосчастный слиток серебра и умножим на пять. Получим пять слитков. Увеличилась величина, а мера осталась той же. Возьмём слиток и умножим на ноль. Получим количество слитков — 0. Мера всё та же. Берём надоевший слиток и делим на два. Результатом будет половина слитка. Мера та же. Изменилась величина. Или нет? Что мешает сообщить, что мера изменилась? Бессмысленность. Поделив слиток на единицу мы получаем всё тот же слиток. Поделив же слиток сам на себя мы получаем чистую величину без меры (количество). Можно легко вспомнить что знаменателем всех действительных чисел, по-умолчанию, является единица. Та самая единица, которая, по сути, является мерой (эталоном) подсчёта нашей величины. Стоит изменить единицу (поменять меру, поменять знаменатель, поделить) и у нас меняется численная величина. Так что же происходит при делении на ноль?

Деление на ноль, как познавательный процесс

Уничтожается мера. Наше представление, благодаря которому выработана (подсчитана) величина, уничтожается. Каждый раз человек, проводивший математические операции на неопределённых величинах, всё время делал это неосознанно. Он брал признак (условие), по которому вырабатывал в воображении величину и выполнив необходимые для себя вычисления избавлялся от этого представления (из кратковременной памяти). Имея наблюдаемый пример, в котором мы позволяем себе поделить на ноль какое-то слагаемое, мы просто избавляем пример от этого слагаемого (получается что оно просто игнорируется, ведь мера, в данном случае, уже не совпадает при сопоставлении самих слагаемых — её просто нет для этого). Если провести аналогию с языками программирования, то поделив переменную какого-то типа на ноль, мы, фактически, должны удалить память (выделенную даже на «обёртку» (именованный указатель)), выделенную под эту переменную (это слишком радикально по описанным далее причинам).

У автора сложилось представление, при котором данная операция тесно связана с теорией информации, познавательной (когнитивной) психологией и всеми остальными «точными» (не может позволить себе автор назвать науки точными, в которых нет точных вычислений, для чего достаточно вспомнить представления пределов с бесконечно малыми (большими) величинами, не говоря уже о различителях (дифференциалах) и неразумных (иррациональных) числах) науками.

Проблема систематизации

Сперва, по всей видимости, получили операцию умножения (через сумму), и уже потом для неё и была выведена, как обратная, — операция деления. Особенность в том, что умножение коммутативно, ассоциативно, дистрибутивно и так далее, в отличии от деления. То есть, по свойствам уже нет такого же сопоставления, как при суммировании и вычитании. Никакой логической симметрии уже здесь не наблюдается, если так можно выразиться. При умножении и делении на ноль возникает знаменитая дилемма, ведь любое число умноженное на ноль всегда будет равно нулю, не говоря уже о делении, пока что. Что же делать в таком случае?

Предложение

Подобно тому, как в какое-то время люди решили ввести комплексные числа, для решения кубических уравнений, можно ввести особую разновидность чисел для решения проблемы возврата значения при делении и умножении на ноль. На первый взгляд всё это бессмысленно. На второй бессмысленность по прежнему очевидна, но автор не просто так затронул естественные науки и познавательную психологию. При условии, что меры расчёта могут быть друг с другом сопоставлены в самых различных математических вычислениях, должна появиться необходимость при учёте различных мер и особенностей подсчёта величин. Сам учёт будет являться необходимой информацией, формирующей возвратное значение при делении и умножении в различных, запутанных задачах физики и стандартизации (не говоря уже о расчёте систем с подключаемыми подсистемами и элементами).

При умножении на ноль любой величины сама величина становится нулевой, но мера остаётся неизменной. Такой подход мешает созданию обратной операции. Можно ввести «памятные числа», которые в самих примерах перестанут восприниматься после деления или умножения величины на ноль, но после обратной операции вернут предыдущее значение (величину) с учётом (предыдущей) меры. Данный подход открывает новые просторы сопоставления мер и величин при вычислениях. Более того, данный подход может позволить сопоставлять не только числа, но и другие, не математические объекты друг с другом, но всё это уже фантастика, которая намекает на теорию категорий.

Учёт возвращаемых параметров при умножении и делении на ноль должен зависеть от применения и оправданности, но уже на этом шаге можно вывести что для уничтожения величины является обратной операция уничтожения представления (меры). Сами эти операции, конечно же, в рамках обычных вычислений не имеют смысла (хотя это покажет будущее и опыт).

Исходя из этого, в квадратных скобках остаётся информация о предыдущей величине и мере умножаемого или делимого на ноль числа.

Конечно же нужно добавить пометки ([*;/] или [/;*]), уточняющие на каких местах предыдущая величина и мера, ведь при умножении на ноль необходимо ставить на первое место меру, которая осталась. При делении же необходимо ставить на первое место предыдущую величину, а уже потом меру, которая уничтожена. Получающиеся «памятные числа» не могут взаимодействовать с другими числами посредством арифметики, хотя должны взаимодействовать друг с другом, в силу наличия одинаковых мер, но это уже устанавливает сам вычисляющий. Складывая метры с литрами нельзя всё подвести под одну величину. Такова действительность. Другое дело, что числа одномерны, при использовании сами по себе.

Ввод правил арифметических действий довольно прост. Достаточно сопоставлять величины одинаковых мер. Для подгонки просто следовать правилу приведения масштабов, используя имеющиеся меры, то есть умножать имеющуюся величину на меру.

Автор не сильно задумывался над тем, какие символы для обозначения оставшихся мер и величин использовать, да и квадратные скобки взял просто так, но если каким-то чудом его идеи получат применения и смысл у других людей, то просьба всё же использовать русские символы для уникальности изображения и внедрения русской, культурной традиции.

Небольшие размышления на тему «неопределённостей»

Обозначенная проблема деления на ноль породила несколько общеизвестных неопределённостей. Но при выводе предыдущих идей они не кажутся такими уж нерешаемыми.
Автор статьи выступает резко против использования пределов (неопределённых функций, у которых метод достижения заданной величины не обозначен) при данном обозрении, ведь для достижения многих величин, пусть и самих по себе неопределённых, всегда можно попробовать подойти к их оценке, иначе сами величины были бы нами не воспринимаемы (к вопросу сравнения).

В данной формуле путем замен легко выводится прошлый результат:

Как видно, пределы совершенно не нужны для восприятия установленных, (например) действительных чисел. Когда идёт речь о пустоте, то подразумевается состояние всё же определённое (отсутствие чего-то по условию, как результат), хотя в действительности абсолютно пустых состояний ещё никто не видел (правда при таком подходе условие размыто).

Важная проблема появляется при сопоставлении бесконечностей с нулём, но всё дело в том, что сами бесконечности неопределённы. Стоит только им придать функциональный вид и многие выводы при оценке сами собой напрашиваются через индукцию. Вспоминаются прекрасные рассуждения Георга Кантора о «мощностях», благодаря которым и появились множества.

Допустим у нас имеются функции F(x) и G(x):

Разве при делении данных функций у нас не получится явный ответ?

Более того, что мешает дать оценку быстроты достижения различных бесконечностей, при учёте тех же канторовских «мощностей»? Да ни что.

Деление одной бесконечности на другую должно равняться единице хотя бы потому, что обозначение одинаковое. В противном случае, введение функционального представления бесконечностей является необходимой нуждой, которая поможет определять их различие даже в символьном отображении. Исходя из принятия бесконечности, как результата, легко прийти к выводам:

Имей мужество пользоваться собственным разумом.

Иммануил Кант

Это очередная попытка прикоснуться к неизведанному (вроде так писал коллега по озабоченности проблемой деления на ноль), которая здесь (на ресурсе) уже не раз проводилась. Просто автор считает что нужно использовать другие методы, нежели математические, в вопросах определения различных оснований. Например достаточно самоощущения (рефлексии).

Я плохо представляю, что происходит с людьми: они учатся не путем понимания. Они учатся каким-то другим способом — путем механического запоминания или как-то иначе. Их знания так хрупки!

Ричард Фейнман

Литература:

Конрад Лоренц: «Оборотная сторона зеркала»;
Рене Декарт: «Рассуждение о методе, чтобы верно направлять свой разум и отыскивать истину в науках»;
Иммануил Кант: «Критика чистого разума»;
Александров Александр Данилович: «Геометрия».