Большие гипотезы о простых числах доказаны для небольших числовых систем

[mao_zvezdun]

что существует бесконечное количество простых чисел, различающихся на 4 (к примеру, 3 и 7), или на 14 (293 и 307), или на любое заданное вами число

На любое заданное четное число, разница двух простых чисел нечетной быть не может.

[maxzhurkin]

разница двух простых чисел нечетной быть не может

это не совсем так:
3-2=1
5-2=3
7-2=5