В одном из разделов математики существует достаточно забавная задача про сумму чисел, связанных с натуральным рядом, и на первый взгляд кажется, что она достаточно проста, но при более глубоком погружении в тематику, приходит ощущение полной беспомощности.
Вся моя жизнь неразрывно связана с математикой. В голове постоянно рождаются мысли: «Почему именно так и какое этому объяснение?». Мне нравится находить разные способы решения интересных задач.
Так в школьные годы после темы про квадратные уравнения у меня сразу появился ряд вопросов: есть ли альтернативные варианты и как будет выглядеть решение для уравнения высших степеней?
На первый вопрос достаточно быстро был получен утвердительный ответ — да, может.
Разность корней квадратного уравнения можно выразить с помощью теоремы Виета, выполнив несложные преобразования.
Кстати, а вы знали, что корни многочленов
-ой степени образуют поле? ;)
Дальнейшее углубление в теорию решений уравнений высших степеней открывало бесконечно много новых знаний в тех областях, о которых я даже и не подозревал.
В результате ряда рассуждений стало понятно, что существуют некоторые преобразования над набором корней уравнений, которые могут давать интересные результаты, и с их помощью можно быстро и эффективно решать уравнения для степени меньше 5.
Я узнал о теории Галуа, теореме Абеля-Руффини, и т.д.
Информацию пришлось переваривать в течение нескольких лет.
В студенческие годы на одной из скучных лекций я упражнялся с суммой различных степеней натурального ряда (до определенного значения
) и заметил одну закономерность, что слагаемое с максимальной степенью всегда выражается как
.
Сразу возник вопрос: «Можно ли как-то использовать интеграл?».
Ответ не заставил себя долго ждать, и к концу пары было готово решение для любого
.
Я захотел получить аналогичную формулу и для отрицательных
, но все попытки заканчивались неудачей. Так состоялось моё первое знакомство с дзета-функцией.
Недавно мне на глаза попалась публикация о нетривиальных нулях дзета-функции Римана.
Так как доказательство гипотезы Римана является нерешенной проблемой тысячелетия, многие пытаются к ней подступиться, и периодически в разных источниках появляется информация о ее доказательстве либо опровержении. Но до сих пор ни одно из доказательств не было принято официальным математическим сообществом.
Тогда я решил разобраться и попытаться найти возможные пути решения гипотезы Римана.
Так как ранее у меня уже был опыт работы с бесконечными суммами, по наивности я решил, что это не должно быть очень сложно ;)
Что же с этой проблемой не так, если ее не могут решить на протяжении тысячелетия?
Обложившись справочным материалом, я начал вникать в проблему и изучать подходы, используемые при доказательстве. Большинство доказательств строилось на применении интегралов или специфических функций (например, функция Тодда).
На глаза попадались как совсем откровенные ляпы, так и очень сложные работы на несколько десятков страниц, погружение в которые могло занять не меньше месяца вдумчивого чтения.
Объём информации рос, а понимание, как подойти к проблеме или предположить, какой метод можно применить, чтобы приблизиться к решению, не приходило.
И тогда я решил отложить чтение профильной литературы.
Как-то часа в 3 ночи (после вечернего кофе) мне в голову пришла одна на мой взгляд очень простая и интересная последовательность действий, которая ведет к доказательству, ей я и хочу с вами поделиться.
Внесу пару уточняющих моментов:
Итак, поехали...
Сначала определимся, что нужно доказать и что для этого у нас дано.
Необходимо доказать, что все комплексные нули дзета-функции должны иметь вид:
.
Определим, что такое дзета-функция.
Начнём наш путь с Эйлера, так как он впервые определил дзета-функцию для действительных чисел
(далее по тексту
— функция)
Или просто
Из профильной литературы известно, что для всех выше обозначенных
функция сходится абсолютно.
Также Эйлером была введена знакочередующаяся эта — функция.
(далее по тексту
— функция)
Бернхард Риман определил
— функцию для комплексного переменного.
Чтобы продолжить функцию на комплексную плоскость для любого
,
, проделаем пару фокусов с функцией Эйлера, разбив ее на сумму по чётным и нечётным
.
Тогда
— функция будет выражаться, как сумма нечётных и чётных ![$i$](https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/bf8/3b5/32c/bf83b532cd867d34004f8eded8c5c79a.svg)
А
— функция будет выражаться, как разница нечётных и чётных ![$i$](https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/bf8/3b5/32c/bf83b532cd867d34004f8eded8c5c79a.svg)
Вычтем из
— функции
— функцию, тогда получим
Также отмечу, что есть особые точки — нули уравнения
, которые устранимы.
Выразим
— функцию через
— функцию
Это связь нам пригодится в дальнейшем.
Из профильной литературы известно, что в нулях
— функции
— функция также обращается в нуль.
Из формулы Эйлера — Маклорена, следует, что при![$n \to {\infty}$](https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/d09/d80/eba/d09d80eba331f66672c69019b02c08bf.svg)
Или
Выразим
— функцию через чётные
и ![$n$](https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/08d/9fa/efb/08d9faefbe272bdf8fbb80773542e343.svg)
Или
Выразим
— функцию через нечётные
и ![$n$](https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/08d/9fa/efb/08d9faefbe272bdf8fbb80773542e343.svg)
Или
Заметим, что
Тогда, используя (4), запишем
Тогда в нулях
(далее по тексту это выражение будет часто употребляться, в нулях означает, что
— нуль
— функции)
И
Используя (5) (6), заметим, что в нулях
Используя (7), заметим, что
Тогда, используя (8), в нулях можно записать равенство
Из профильной литературы известно, что![$\forall s$](https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/3f6/89d/b51/3f689db519335ba9bf29d90658c857d3.svg)
Где
— гамма-функция Эйлера.
Или, используя (1)
Тогда
Используя (9), запишем равенство в нулях
Тогда в нулях должно также выполняться равенство
Упростим выражение и запишем его в следующем виде
Положим
и запишем модули каждого из сомножителей
Тогда, используя (11.3) перепишем (11) в следующем виде
Или
Заметим, что (12) представляет собой периодическую функцию, верхняя и нижняя границы которой будут равны
Для того, чтобы выражение (12) было равно 1, нужно, чтобы верхняя и нижняя граница были равны 1.
Из профильной литературы известно, что любой нетривиальный нуль
— функции имеет действительную часть
.
Тогда запишем варианты пределов для верхней и нижней границ при
, ![$t\in (-\infty ,+\infty )$](https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/33c/312/4e5/33c3124e5e070cd85c62e87a96ecfddd.svg)
Как видно, нам подходит только вариант
и только в этом случае возможно соблюдение равенства (11) в нулях.
Следовательно, все комплексные нули
— функции имеют вид:
.
Что и требовалось доказать.
Вся моя жизнь неразрывно связана с математикой. В голове постоянно рождаются мысли: «Почему именно так и какое этому объяснение?». Мне нравится находить разные способы решения интересных задач.
Так в школьные годы после темы про квадратные уравнения у меня сразу появился ряд вопросов: есть ли альтернативные варианты и как будет выглядеть решение для уравнения высших степеней?
На первый вопрос достаточно быстро был получен утвердительный ответ — да, может.
Разность корней квадратного уравнения можно выразить с помощью теоремы Виета, выполнив несложные преобразования.
Пример для квадратного уравнения
По тереме Виета имеем
Тогда
В итоге получаем систему уравнений
Красиво, правда?
Кстати, а вы знали, что корни многочленов
Дальнейшее углубление в теорию решений уравнений высших степеней открывало бесконечно много новых знаний в тех областях, о которых я даже и не подозревал.
В результате ряда рассуждений стало понятно, что существуют некоторые преобразования над набором корней уравнений, которые могут давать интересные результаты, и с их помощью можно быстро и эффективно решать уравнения для степени меньше 5.
Я узнал о теории Галуа, теореме Абеля-Руффини, и т.д.
Информацию пришлось переваривать в течение нескольких лет.
В студенческие годы на одной из скучных лекций я упражнялся с суммой различных степеней натурального ряда (до определенного значения
Сразу возник вопрос: «Можно ли как-то использовать интеграл?».
Ответ не заставил себя долго ждать, и к концу пары было готово решение для любого
Я захотел получить аналогичную формулу и для отрицательных
Недавно мне на глаза попалась публикация о нетривиальных нулях дзета-функции Римана.
Так как доказательство гипотезы Римана является нерешенной проблемой тысячелетия, многие пытаются к ней подступиться, и периодически в разных источниках появляется информация о ее доказательстве либо опровержении. Но до сих пор ни одно из доказательств не было принято официальным математическим сообществом.
Тогда я решил разобраться и попытаться найти возможные пути решения гипотезы Римана.
Так как ранее у меня уже был опыт работы с бесконечными суммами, по наивности я решил, что это не должно быть очень сложно ;)
Что же с этой проблемой не так, если ее не могут решить на протяжении тысячелетия?
Обложившись справочным материалом, я начал вникать в проблему и изучать подходы, используемые при доказательстве. Большинство доказательств строилось на применении интегралов или специфических функций (например, функция Тодда).
На глаза попадались как совсем откровенные ляпы, так и очень сложные работы на несколько десятков страниц, погружение в которые могло занять не меньше месяца вдумчивого чтения.
Объём информации рос, а понимание, как подойти к проблеме или предположить, какой метод можно применить, чтобы приблизиться к решению, не приходило.
И тогда я решил отложить чтение профильной литературы.
Как-то часа в 3 ночи (после вечернего кофе) мне в голову пришла одна на мой взгляд очень простая и интересная последовательность действий, которая ведет к доказательству, ей я и хочу с вами поделиться.
Внесу пару уточняющих моментов:
- Некоторые промежуточные расчеты и выводы я намеренно опускаю, чтобы не перегружать читателя
- По этой же причине я намеренно опускаю ряд специфических понятий
- Читатель должен быть знаком с матанализом и комплексными числами
- Все мои рассуждения могут оказаться неверными
Итак, поехали...
Сначала определимся, что нужно доказать и что для этого у нас дано.
Необходимо доказать, что все комплексные нули дзета-функции должны иметь вид:
Определим, что такое дзета-функция.
Начнём наш путь с Эйлера, так как он впервые определил дзета-функцию для действительных чисел
(далее по тексту
Или просто
Из профильной литературы известно, что для всех выше обозначенных
Список литературы
1. Titchmarsh and D. R. Heath-Brown, The Theory of the Riemann Zeta-Function, Second Edition, стр. 1, выражение (1.1.1)
Также Эйлером была введена знакочередующаяся эта — функция.
(далее по тексту
Бернхард Риман определил
Чтобы продолжить функцию на комплексную плоскость для любого
Тогда
А
Вычтем из
Подробнее
Известно, что
Сходится абсолютно, это следует из интегрального теста.
Разобьем сумму на четные и нечетные, тогда
Тогда
Сходится абсолютно, так как
Теперь можем произвести перегруппировку по четным и нечетным, тогда
Также отмечу, что есть особые точки — нули уравнения
Выразим
Это связь нам пригодится в дальнейшем.
Из профильной литературы известно, что в нулях
Список литературы
1. Titchmarsh and D. R. Heath-Brown, The Theory of the Riemann Zeta-Function, Second Edition, стр. 16, выражение (2.2.1)
Из формулы Эйлера — Маклорена, следует, что при
Список литературы
1. Note sur les zéros de la fonction ζ(s) de Riemann, стр. 294
2. Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, стр: 56,269,270
Или
Выразим
Или
Выразим
Или
Заметим, что
Тогда, используя (4), запишем
Подробнее
Используем тот факт, что
И
Следовательно
Сложим первый и последний предел, получим
Или
Или
Тогда в нулях
(далее по тексту это выражение будет часто употребляться, в нулях означает, что
И
Используя (5) (6), заметим, что в нулях
Используя (7), заметим, что
Подробнее
Сделаем замену, получим
Сделаем замену, тогда
Применим правило Лопиталя, тогда
Значит верно, что
Тогда
Также верно, что
Умножим последние два предела, получим
Следовательно
Тогда, используя (8), в нулях можно записать равенство
Из профильной литературы известно, что
Где
Список литературы
1. Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, стр. 260
Или, используя (1)
Тогда
Используя (9), запишем равенство в нулях
Тогда в нулях должно также выполняться равенство
Упростим выражение и запишем его в следующем виде
Положим
Подробнее
Положим
Известно, что
Используем формулу Эйлера для косинуса, получим
Исходя из монотонности функцийи
,
, заметим, что предел модуля произведения выражения с экспонентой при
равен константе
Тогда
Или
Воспользуемся формулой
Тогда
Или
Или
Рассмотрим квадрат модуля функции (11)
Обозначим
Заметим, чтомонотонна для
и зависит от
.
Запишем интервалы возрастания и убывания функции, для
,
Тогдаявляется единственной точкой, где значение функции
отлично от нуля и принимает константное значение для
.
Следовательно, для, применяя (11.1) можно использовать следующее выражение
Список литературы
1. Bateman, Harry (1953) Higher Transcendental Functions, Volumes I, стр. 47, выр. (6)
2. Bateman, Harry (1953) Higher Transcendental Functions, Volumes I, стр. 3, выр. (6)
Тогда, используя (11.3) перепишем (11) в следующем виде
Или
Заметим, что (12) представляет собой периодическую функцию, верхняя и нижняя границы которой будут равны
Для того, чтобы выражение (12) было равно 1, нужно, чтобы верхняя и нижняя граница были равны 1.
Из профильной литературы известно, что любой нетривиальный нуль
Список литературы
1. Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, стр.: 293, п. 13.9
Тогда запишем варианты пределов для верхней и нижней границ при
Как видно, нам подходит только вариант
Следовательно, все комплексные нули
Что и требовалось доказать.