Фундаментальное решение системы линейных уравнений. Взгляд со стороны

[risentveber]

Скорее человек открыл(изобрел) для себя возможность писать статьи на хабр

[trofimovep]

Если вы не занимаетесь матаном, то открытие не тривиально и довольно интересно. Может даже в какой-то конкретной (производственной, не математической) задаче может помочь перебрать варианты какие-то (однако опять же, тут сводится к вычислительной мощности, коей на первый взгляд ваш метод не блистает)
Однако должен заметить. В сути определитель матрицы является объемом гиперпараллелепипеда порожденного векторами матрицы. Вы выражаете этот объем в общем виде, и логично что данная пропорциональность таки будет обеспечивать равенство системы. Это известно еще с открытия собственных векторов. Общее решение никого не интересует, и уже придумали критерий получения оптимального решения переопределенных систем — минимальность невязки совместно с минимальностью нормы вектора, дающего эту невязку. Называется псевдорешение, и оно тоже вдоль и поперек ископано.

[DimsVs]

Спасибо, за комментарий. Я решился написать об этом лишь потому, что этот метод, почему то достаточно редок в практическом применении. По крайней мере в интернете я все время натыкался на решение методом Гаусса, и ничего более. Возможно это моя ошибка, неумение правильно формулировать вопросы, возможно поисковых систем, которые вывод в ТОП однотипные клоны сайтов.
Да и красиво все таки решается через вектора. Может пригодится, для понимания студентами…

[trofimovep]

Геометрия практически всегда красива) И втройне приятно открывать ее в повседневных вещах, таких как слау) А так, конечно, подобные темы не рассматриваются в университетских курсах, а для тех кто пишет книги — само собой очевидные (имею ввиду хорошие книги, монументальные, а не справочники или краткие пособия).

[SmallSnowball]

ну методов решения СЛАУ так-то очень много, вот неполный список
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%A1%D0%9B%D0%90%D0%A3

Конкретно метод гаусса вообще на практике используется редко (по крайней мере на больших матрицах), он слишком медленный и очень неустойчивый для плохообусловленных матриц. На тех задачах, с которыми лично приходилось сталкиваться в 95% случаев применялись либо итерационные методы, либо один из методов через разложение матриц, вид разложения выбирается под исходную матрицу.

[mokhin-denis]

Существует множество применений СЛАУ. Например, метод конечных элементов. Он, в свою очередь, применяется для математического моделирования различных физических процессов. Например, лидер в индустрии CAE, компания ANSYS, Inc., на протяжении нескольких десятилетий создает пакет инженерного анализа ANSYS. Там число уравнений в системе исчисляется сотнями миллионов, а методы решения вшиты в решатели, которые загружают HPC-сервера под завязку.
Об этом, в принципе, учат на узкопрофильных курсах ВУЗа (я, например, заканчивал физфак ННГУ). Плюс — об этом узнаешь на такой же узкопрофильной работе, где и пользуешься этими пакетами инженерного анализа. А если кому повезет — тот и сам создает CAE-пакеты (например, ЛОГОС).

[FGV]

Там число уравнений в системе исчисляется сотнями миллионов …

Так оно и есть, только применительно к статье есть два отличия:

1. СЛАУ полная, т.е. число уравнений = числу неизвестных;
2. СЛАУ разряженная, т.е. очень много нулевых элементов.