Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Хабр доступен 24/7 благодаря поддержке друзей
Комментарии 20
Статья побудила меня задаться вопросом — что такое теория?
На примере статьи автор показывает, как ему лично помог взгляд на основе изучения пространства между крайностями с некой операцией инверсии. Ну хорошо, автору помогло, это радует. Но теория ли это?
Формально — конечно не теория, ведь формальная теория основана на логическом выводе от аксиом к теоремам с соответствующими доказательствами. Но чем наличие признака «формальная» помогает кому-то, кроме автора?
Формальную теорию можно формально проверить формальными методами. Классно. Но зачем?
Вот есть теория категорий, она вполне формальная, но где от неё польза? Опять — лишь в головах неких авторов, которые считают, что пользуясь словарём на основе теории категорий они постигли нечто большее, нежели могли бы постичь без использования терминологии теории категорий.
В данной статье автор так же показывает, что постиг некие глубины. В чём отличие формально выводимой (подтверждаемой) теории категорий в плане помощи авторам от данной неформальной (не подтверждаемой) «теории антиряда»? Обе помогли авторам. Обе не содержат практически полезного. Отличие исключительно в применении формального аппарата вывода.
Хотя с другой стороны, как нам много раз говорили математики, формальные методы дают некую «незыблемость» результата. То есть в рамках формализма формальная теория нерушима, потому что её невозможно опровергнуть не выходя за рамки формализма (аксиом и правил вывода). А вот неформальная теория имеет очень короткую жизнь. Но если за период жизни она помогла что-то постичь, то может она уже сослужила свою службу? Ах да, математики ещё говорят, что вот настанет светлое будущее, вот придут новые учёные, вот расцветёт новая теория, и вот тогда!!! Вот тогда и увидите пользу от неё. А почему так нельзя сказать про неформальную теорию? Потому что она неподтверждаема. То есть один её интерпретирует так, а другой — эдак. И в результате у обоих разные выводы. Правда пользы бывает немного и от всегда одинаковых выводов на основе некоторых формальных теорий.
В общем, философствовать в духе статьи можно долго. Главное — автор видит для себя некую пользу от использования такого формата рассуждений. Не очень понятно, как польза проявляется на практике, но что-то в этом есть — переход к новым глубинам или что-то такое. Даже поставил бы плюс, но меня здесь считают злым и посадили в клетку…
Автору вопрос — ваше неформальное определение математики как чего-то между алгеброй и геометрией как-то учитывает дискретные разделы традиционной математики? Например — графы. А от графов надо бы перейти к их сути, от которой идёт смысл понятия «отношение». Где отношения в вашем представлении математики, которая между алгеброй и геометрией?
По мне так есть всего две науки — формальная и неформальная. Первая — от аксиом к теоремам, а вторая — от действительности к абстракциям и обратно. Первая и вторая при этом могут причудливо пересекаться в самых неожиданных местах. Но сути это не меняет.
На примере статьи автор показывает, как ему лично помог взгляд на основе изучения пространства между крайностями с некой операцией инверсии. Ну хорошо, автору помогло, это радует. Но теория ли это?
Формально — конечно не теория, ведь формальная теория основана на логическом выводе от аксиом к теоремам с соответствующими доказательствами. Но чем наличие признака «формальная» помогает кому-то, кроме автора?
Формальную теорию можно формально проверить формальными методами. Классно. Но зачем?
Вот есть теория категорий, она вполне формальная, но где от неё польза? Опять — лишь в головах неких авторов, которые считают, что пользуясь словарём на основе теории категорий они постигли нечто большее, нежели могли бы постичь без использования терминологии теории категорий.
В данной статье автор так же показывает, что постиг некие глубины. В чём отличие формально выводимой (подтверждаемой) теории категорий в плане помощи авторам от данной неформальной (не подтверждаемой) «теории антиряда»? Обе помогли авторам. Обе не содержат практически полезного. Отличие исключительно в применении формального аппарата вывода.
Хотя с другой стороны, как нам много раз говорили математики, формальные методы дают некую «незыблемость» результата. То есть в рамках формализма формальная теория нерушима, потому что её невозможно опровергнуть не выходя за рамки формализма (аксиом и правил вывода). А вот неформальная теория имеет очень короткую жизнь. Но если за период жизни она помогла что-то постичь, то может она уже сослужила свою службу? Ах да, математики ещё говорят, что вот настанет светлое будущее, вот придут новые учёные, вот расцветёт новая теория, и вот тогда!!! Вот тогда и увидите пользу от неё. А почему так нельзя сказать про неформальную теорию? Потому что она неподтверждаема. То есть один её интерпретирует так, а другой — эдак. И в результате у обоих разные выводы. Правда пользы бывает немного и от всегда одинаковых выводов на основе некоторых формальных теорий.
В общем, философствовать в духе статьи можно долго. Главное — автор видит для себя некую пользу от использования такого формата рассуждений. Не очень понятно, как польза проявляется на практике, но что-то в этом есть — переход к новым глубинам или что-то такое. Даже поставил бы плюс, но меня здесь считают злым и посадили в клетку…
Автору вопрос — ваше неформальное определение математики как чего-то между алгеброй и геометрией как-то учитывает дискретные разделы традиционной математики? Например — графы. А от графов надо бы перейти к их сути, от которой идёт смысл понятия «отношение». Где отношения в вашем представлении математики, которая между алгеброй и геометрией?
По мне так есть всего две науки — формальная и неформальная. Первая — от аксиом к теоремам, а вторая — от действительности к абстракциям и обратно. Первая и вторая при этом могут причудливо пересекаться в самых неожиданных местах. Но сути это не меняет.
Первая — от аксиом к теоремам, а вторая — от действительности к абстракциям и обратно.
Обычно их называют соответственно «абстрактными» и «естественными» науками.
Реальные науки — это некоторая их смесь.
user_man:
Теория — это результат познавательной деятельности, одним словом — знания. Или так: теория — это любая информация, доступная в публичном просмотре (точнее «продуме» — термин «просмотр» я использую в данном контексте апеллируя к общему корню слов «зрение» и «умозрение»). Вот ключевая цитата из статьи:
То есть отвлечённо о теории говорить нет смысла — Вы либо ставите целью мыслительной (она же познавательная) деятельности приобретение знаний, и соответственно обеспечиваете стопроцентное соответствие объективной действительности всего того о чём здесь пишете, либо делитесь общими впечатлениями о прочитанном. Угадайте, дискуссия в каком из двух форматов мне интересна.
Недоказуемых аксиом не существует. И это можно доказать.
Остальное, извините, даже не берусь комментировать. Понять бы для начала посыл Вашего комментария — Вы хотите разобраться в прочитанном, или мне что-то объяснить?
Статья побудила меня задаться вопросом — что такое теория?
Теория — это результат познавательной деятельности, одним словом — знания. Или так: теория — это любая информация, доступная в публичном просмотре (точнее «продуме» — термин «просмотр» я использую в данном контексте апеллируя к общему корню слов «зрение» и «умозрение»). Вот ключевая цитата из статьи:
публичный доступ к абстракциям обеспечивается за счёт отсутствия у мыслей чувственного содержания
То есть отвлечённо о теории говорить нет смысла — Вы либо ставите целью мыслительной (она же познавательная) деятельности приобретение знаний, и соответственно обеспечиваете стопроцентное соответствие объективной действительности всего того о чём здесь пишете, либо делитесь общими впечатлениями о прочитанном. Угадайте, дискуссия в каком из двух форматов мне интересна.
теория основана на логическом выводе от аксиом к теоремам
Недоказуемых аксиом не существует. И это можно доказать.
Остальное, извините, даже не берусь комментировать. Понять бы для начала посыл Вашего комментария — Вы хотите разобраться в прочитанном, или мне что-то объяснить?
Недоказуемых аксиом не существует. И это можно доказать.
Докажите. И если у вас получится, то это будет лучшим ответом всем.
Правда я пока не вижу такого потенциала. Сужу по вашим ответам — часто не по существу, а если по существу — коротко и нелогично.
Докажите. И если у вас получится, то это будет лучшим ответом всем.
Констатируем два факта:
- математики думают над формулировками аксиом
- аксиома — это истинное утверждение
Допустим, Вы отдаёте себе отчёт в том, что формулировки аксиом являются результатом не божественных откровений, а самостоятельных рассуждений. Тогда ответьте пожалуйста на такой вопрос: как называется та процедура, которая по итогу рассуждений приводит к появлению истинного утверждения?
Правда я пока не вижу такого потенциала.
И ещё один вопрос: доказали ли Вы в своей жизни хоть одно утверждение, никем ранее не доказанное? Вижу некоторые основания предполагать, что по Вашему [честному] ответу станет прозрачной та причина, по которой Вы этого потенциала не увидели. Проверить моё предположение несложно: приведите пожалуйста доказательство переместительного закона сложения.
Сужу по вашим ответам — часто не по существу, а если по существу — коротко и нелогично.
Даю стопроцентную гарантию, что Вы не сможете раскрыть смысл словосочетания «формальная теория» — так чтобы Ваши суждения не вступали друг с другом в прямое противоречие (при условии разумеется что будете объяснять своими словами, не прибегая к шпаргалкам, копипасту чужих мыслей, и аргументу «усе так говорять»).
P.S. Заранее извиняюсь если этот вопрос связан у Вас с чем-то глубоко личным — мне вовсе не импонирует роль того «злого дяди», который посягает на веру ребёнка в Деда Мороза (а то прецеденты уже были).
>> как называется та процедура, которая по итогу рассуждений приводит к появлению истинного утверждения?
Вообще, название, на мой взгляд, никакой роли не играет. Скорее вы намекаете на неидеальность аксиом, связанную с неидеальностью нашего понимания мира. Но такой намёк совсем не подходит на роль доказательства, о котором вы говорили, что «это можно доказать».
>> доказали ли Вы в своей жизни хоть одно утверждение, никем ранее не доказанное?
Дело в том, что я понятия не имею, кто, где и когда что-то доказывал. Этих «кто и где» миллиарды, поэтому я в принципе не способен охватить такой безумный масштаб, не говоря уже об отсутствии возможности «видеть сквозь туман войны».
>> приведите пожалуйста доказательство переместительного закона сложения
Если возьмём Х яблок и прибавим к ним У яблок, получим кучу. Теперь пересчитаем эти яблоки (из кучи). Получим Х+У яблок. Затем возьмём из кучи У яблок и сложим во вторую кучу. Потом возьмём из первой кучи Х яблок и добавим во вторую. Пересчитаем яблоки во второй куче. Получим Х+У яблок.
Это не доказательство, но скорее схема рассуждений, применимая к значениям Х и У, равным 1. По этой схеме, опираясь на аксиомы неизменности количества после операции, повторяемости результата операции для одного яблока и т.д., переходим к утверждениям про 2 яблока, потом про N яблок, получая вариант индуктивного рассуждения. Продолжая индукцию выводим неизбежность повторения заявленного выше результата для любых N, Х, У.
Такой формальный трюк вроде бы Пеано первым из известных математиков осуществил. Подробности, соответственно, у него. Мой подход в своей сути не отличается от трюка Пеано (хотя детали я давно забыл).
>> Вы не сможете раскрыть смысл словосочетания «формальная теория»
И что это доказывает? Особенно в свете вашего заявления про «это можно доказать».
В целом вы подтвердили мои опасения — вместо доказательства имеем встречные вопросы и совершенно неконкретные, а так же очень краткие рассуждения.
Вообще, я бы рекомендовал вам почитать о формальных теориях. Может это нудно и сухо, утомляет необходимостью запоминать надуманную терминологию, но когда вы всё же пройдёте через это болото, вы поймёте смысл формального подхода. Понимание этого смысла расширяет ваши возможности в том числе и по свободному философствованию. Потому что формальный подход задаёт базу для неуязвимых рассуждений. Точнее — рассуждения будут неуязвимы, пока есть согласие с предложенным набором аксиом. Сравните такую интересную возможность с вашими хрустальными построениями, которые распадаются от первого же лёгкого удара чем-то прочным.
Вообще, название, на мой взгляд, никакой роли не играет. Скорее вы намекаете на неидеальность аксиом, связанную с неидеальностью нашего понимания мира. Но такой намёк совсем не подходит на роль доказательства, о котором вы говорили, что «это можно доказать».
>> доказали ли Вы в своей жизни хоть одно утверждение, никем ранее не доказанное?
Дело в том, что я понятия не имею, кто, где и когда что-то доказывал. Этих «кто и где» миллиарды, поэтому я в принципе не способен охватить такой безумный масштаб, не говоря уже об отсутствии возможности «видеть сквозь туман войны».
>> приведите пожалуйста доказательство переместительного закона сложения
Если возьмём Х яблок и прибавим к ним У яблок, получим кучу. Теперь пересчитаем эти яблоки (из кучи). Получим Х+У яблок. Затем возьмём из кучи У яблок и сложим во вторую кучу. Потом возьмём из первой кучи Х яблок и добавим во вторую. Пересчитаем яблоки во второй куче. Получим Х+У яблок.
Это не доказательство, но скорее схема рассуждений, применимая к значениям Х и У, равным 1. По этой схеме, опираясь на аксиомы неизменности количества после операции, повторяемости результата операции для одного яблока и т.д., переходим к утверждениям про 2 яблока, потом про N яблок, получая вариант индуктивного рассуждения. Продолжая индукцию выводим неизбежность повторения заявленного выше результата для любых N, Х, У.
Такой формальный трюк вроде бы Пеано первым из известных математиков осуществил. Подробности, соответственно, у него. Мой подход в своей сути не отличается от трюка Пеано (хотя детали я давно забыл).
>> Вы не сможете раскрыть смысл словосочетания «формальная теория»
И что это доказывает? Особенно в свете вашего заявления про «это можно доказать».
В целом вы подтвердили мои опасения — вместо доказательства имеем встречные вопросы и совершенно неконкретные, а так же очень краткие рассуждения.
Вообще, я бы рекомендовал вам почитать о формальных теориях. Может это нудно и сухо, утомляет необходимостью запоминать надуманную терминологию, но когда вы всё же пройдёте через это болото, вы поймёте смысл формального подхода. Понимание этого смысла расширяет ваши возможности в том числе и по свободному философствованию. Потому что формальный подход задаёт базу для неуязвимых рассуждений. Точнее — рассуждения будут неуязвимы, пока есть согласие с предложенным набором аксиом. Сравните такую интересную возможность с вашими хрустальными построениями, которые распадаются от первого же лёгкого удара чем-то прочным.
>> Вообще, название, на мой взгляд, никакой роли не играет.
Разумеется — в математике роль играть могут только определения, а иначе это будет разговор в формате «обмена общими впечатлениями». В связи с чем я ещё раз предлагаю Вам пересмотреть свои взгляды на уместность такого подхода при обсуждении этой темы.
>> Скорее вы намекаете на неидеальность аксиом, связанную с неидеальностью нашего понимания мира.
Математиков не интересует мир в контексте их профессиональной деятельности, как не интересуют неидеальные объекты. Для Вас это новость?
>> Дело в том, что я понятия не имею, кто, где и когда что-то доказывал.
Я тоже не склонен забивать себе голову избыточной информацией. Мне достаточно того, что Ваш ответ на мой вопрос понятен и исчерпывающ, хотя конечно для достижения однозначности этого понимания можно было бы обойтись и меньшим количеством слов.
>>Это не доказательство, но скорее схема рассуждений
Я имел в виду именно доказательство а не схему (то есть дедуктивное а не индуктивное). Подумайте над этим если хотите не в теории, а на практике узнать о том, что недоказуемых аксиом в математике не существует. Из того что над вопросом о доказуемости аксиом никто ещё толком не задумывался не следует ведь что они недоказуемы. Я всё понимаю — верить всегда проще чем думать, но сделайте хотя бы скидку на то что Вы отвечаете в теме о математических исследованиях.
>> И что это доказывает?
Пока ещё не доказывает, но убедительно говорит в пользу того, что значение словосочетания «формальная теория» недоступно Вашему пониманию. А иначе что Вам помешало просто взять им и поделиться? Взять например теорему Пифагора в качестве примера элемента теории, и объяснить своими словами: в чём конкретно состоит её формальность и зачем вообще математикам мог понадобиться этот термин.
>> вместо доказательства имеем встречные вопросы
Это ложное утверждение — Вы игнорировали мои вопросы, следовательно до «вместо» здесь не доходит. Повторю проигнорированные Вами вопросы:
>> Вообще, я бы рекомендовал вам почитать о формальных теориях. Может это нудно и сухо, утомляет необходимостью запоминать...
Ну тогда моё Вам встречное пожелание: изучите русский алфавит. Понимаю, это очень долгое и нудное занятие, но уверяю Вас — как только Вы его изучите, почувствуете себя настоящим профессионалом в математике.
Разумеется — в математике роль играть могут только определения, а иначе это будет разговор в формате «обмена общими впечатлениями». В связи с чем я ещё раз предлагаю Вам пересмотреть свои взгляды на уместность такого подхода при обсуждении этой темы.
>> Скорее вы намекаете на неидеальность аксиом, связанную с неидеальностью нашего понимания мира.
Математиков не интересует мир в контексте их профессиональной деятельности, как не интересуют неидеальные объекты. Для Вас это новость?
>> Дело в том, что я понятия не имею, кто, где и когда что-то доказывал.
Я тоже не склонен забивать себе голову избыточной информацией. Мне достаточно того, что Ваш ответ на мой вопрос понятен и исчерпывающ, хотя конечно для достижения однозначности этого понимания можно было бы обойтись и меньшим количеством слов.
>>Это не доказательство, но скорее схема рассуждений
Я имел в виду именно доказательство а не схему (то есть дедуктивное а не индуктивное). Подумайте над этим если хотите не в теории, а на практике узнать о том, что недоказуемых аксиом в математике не существует. Из того что над вопросом о доказуемости аксиом никто ещё толком не задумывался не следует ведь что они недоказуемы. Я всё понимаю — верить всегда проще чем думать, но сделайте хотя бы скидку на то что Вы отвечаете в теме о математических исследованиях.
>> И что это доказывает?
Пока ещё не доказывает, но убедительно говорит в пользу того, что значение словосочетания «формальная теория» недоступно Вашему пониманию. А иначе что Вам помешало просто взять им и поделиться? Взять например теорему Пифагора в качестве примера элемента теории, и объяснить своими словами: в чём конкретно состоит её формальность и зачем вообще математикам мог понадобиться этот термин.
>> вместо доказательства имеем встречные вопросы
Это ложное утверждение — Вы игнорировали мои вопросы, следовательно до «вместо» здесь не доходит. Повторю проигнорированные Вами вопросы:
- отдаёте ли Вы себе отчёт в том, что формулировки аксиом являются результатом не божественных откровений, а самостоятельных рассуждений ?
- как называется та процедура, которая по итогу рассуждений приводит к появлению истинного утверждения?
>> Вообще, я бы рекомендовал вам почитать о формальных теориях. Может это нудно и сухо, утомляет необходимостью запоминать...
Ну тогда моё Вам встречное пожелание: изучите русский алфавит. Понимаю, это очень долгое и нудное занятие, но уверяю Вас — как только Вы его изучите, почувствуете себя настоящим профессионалом в математике.
Дабы не растекаться мыслью по древу и обеспечить приемлемый уровень обсуждения этой темы я бы предложил Вам сконцентрироваться на двух ключевых моментах:
Да, теории бывают не только математическими, тем не менее оба пункта справедливы по отношению к любому информационному объекту, попадающему под категорию «теории» (при условии разумеется её пригодности для практического применения). Сказанное означает, что ни одному человеку при построении теории не приходилось и не придётся воспользоваться информацией из предметной области ФЛ, поэтому я и говорю что Вы не сможете себе помыслить ни одного примера в подтверждение обратного (от слова «стопроцентная гарантия»). Если человек утверждает о том чего не может помыслить, то я называю такую мысль «фиктивной» — то есть не несущей значимой информации. Поэтому предлагая Вам это обсуждение я исхожу из того что Вы сами не заинтересованы забивать себе голову информационным балластом, и соответственно заинтересованы в этом вопросе разобраться. Если не заинтересованы, значит скорее всего этот вопрос является для Вас предметом веры (то что я выше назвал «глубоко личным»). В таком случае конструктивная дискуссия на эту тему не представляется возможной, а полемизировать по этому поводу у меня признаться нет никакого желания.
- правильные ответы на оба проигнорированных Вами вопроса известны любому математику — то есть человеку, для которого математика является предметом профессионального интереса а не отвлечённого трёпа
- математики не пользуются формальной логикой (от слова «вааще и никак»)
Да, теории бывают не только математическими, тем не менее оба пункта справедливы по отношению к любому информационному объекту, попадающему под категорию «теории» (при условии разумеется её пригодности для практического применения). Сказанное означает, что ни одному человеку при построении теории не приходилось и не придётся воспользоваться информацией из предметной области ФЛ, поэтому я и говорю что Вы не сможете себе помыслить ни одного примера в подтверждение обратного (от слова «стопроцентная гарантия»). Если человек утверждает о том чего не может помыслить, то я называю такую мысль «фиктивной» — то есть не несущей значимой информации. Поэтому предлагая Вам это обсуждение я исхожу из того что Вы сами не заинтересованы забивать себе голову информационным балластом, и соответственно заинтересованы в этом вопросе разобраться. Если не заинтересованы, значит скорее всего этот вопрос является для Вас предметом веры (то что я выше назвал «глубоко личным»). В таком случае конструктивная дискуссия на эту тему не представляется возможной, а полемизировать по этому поводу у меня признаться нет никакого желания.
>> Математиков не интересует мир в контексте их профессиональной деятельности, как не интересуют неидеальные объекты. Для Вас это новость?
Зачем бы я тогда говорил о формальных теориях?
>> Я имел в виду именно доказательство а не схему (то есть дедуктивное а не индуктивное).
Дедукция опирается на общие законы, которые откуда-то берутся. Откуда? Вот от этих самых аксиом, которые вы хотели доказать. В итоге всё вернётся именно к уровню «я мыслю, следовательно существую». Поэтому аксиомы недоказуемы, ну а ваше заявление про их доказательство, видимо, было поспешным.
>> Из того что над вопросом о доказуемости аксиом никто ещё толком не задумывался не следует ведь что они недоказуемы.
Вы же сами подтвердили, что «тоже не склонен забивать себе голову избыточной информацией», но тогда с чего вы взяли, что «никто ещё толком не задумывался»? Это очередной поспешный вывод.
>> А иначе что Вам помешало просто взять им и поделиться?
Поделиться не так просто. Нужно вводить формализмы. А потом показывать пример вывода формальной теории. Я бы не сказал, что это просто (в смысле быстро). Хотя можно попробовать, но с ограниченной строгостью.
Предположим, что есть аксиома а=б. Далее предположим, что есть правило вывода — вместо а или б можно подставлять любое истинное утверждение про а и/или б. Тогда, если мы подставим вместо а с, получим необходимость истинности утверждения а=с. И если истинность а=с дана, то тогда по правилу вывода имеем с=б. Таким образом мы пришли к теории, утверждающей, что с=б на основании аксиом а=б и а=с и при помощи указанного правила вывода.
Чем прекрасна наша теория? Она неопровержима. Пока мы не оспариваем аксиомы и правило вывода — спорить с нашей теорией бесполезно.
Теперь вас заинтересовали формальные теории?
>> отдаёте ли Вы себе отчёт в том, что формулировки аксиом являются результатом не божественных откровений, а самостоятельных рассуждений?
Да.
>> как называется та процедура, которая по итогу рассуждений приводит к появлению истинного утверждения?
В итоге появляется не истинное утверждение, а утверждение, истинное при определённых условиях, то есть при допущении истинности аксиом и применимости правил вывода.
>> математики не пользуются формальной логикой
Есть автоматический вывод теорем. Но да, математики свысока смотрят на это чудо, хотя сами же его и придумали.
>> Сказанное означает, что ни одному человеку при построении теории не приходилось и не придётся воспользоваться информацией из предметной области ФЛ
Ещё как приходилось и, тем более, придётся. Я сам, будучи далёким от математики, сталкивался с необходимостью использовать такой подход. Потому что тогда вместо меня думать будет железный Феликс, что мне очень даже нужно ради экономии моего времени.
Дабы вы не придирались, немного о фразе «построение теории». Под построением можно понимать как закладку основ, так и развитие. Так вот по части развития автоматический вывод теорем — это как раз то, что доктор прописал.
Поэтому я и вам рекомендую обратить внимание на формализмы. Потому что ни полезны.
Зачем бы я тогда говорил о формальных теориях?
>> Я имел в виду именно доказательство а не схему (то есть дедуктивное а не индуктивное).
Дедукция опирается на общие законы, которые откуда-то берутся. Откуда? Вот от этих самых аксиом, которые вы хотели доказать. В итоге всё вернётся именно к уровню «я мыслю, следовательно существую». Поэтому аксиомы недоказуемы, ну а ваше заявление про их доказательство, видимо, было поспешным.
>> Из того что над вопросом о доказуемости аксиом никто ещё толком не задумывался не следует ведь что они недоказуемы.
Вы же сами подтвердили, что «тоже не склонен забивать себе голову избыточной информацией», но тогда с чего вы взяли, что «никто ещё толком не задумывался»? Это очередной поспешный вывод.
>> А иначе что Вам помешало просто взять им и поделиться?
Поделиться не так просто. Нужно вводить формализмы. А потом показывать пример вывода формальной теории. Я бы не сказал, что это просто (в смысле быстро). Хотя можно попробовать, но с ограниченной строгостью.
Предположим, что есть аксиома а=б. Далее предположим, что есть правило вывода — вместо а или б можно подставлять любое истинное утверждение про а и/или б. Тогда, если мы подставим вместо а с, получим необходимость истинности утверждения а=с. И если истинность а=с дана, то тогда по правилу вывода имеем с=б. Таким образом мы пришли к теории, утверждающей, что с=б на основании аксиом а=б и а=с и при помощи указанного правила вывода.
Чем прекрасна наша теория? Она неопровержима. Пока мы не оспариваем аксиомы и правило вывода — спорить с нашей теорией бесполезно.
Теперь вас заинтересовали формальные теории?
>> отдаёте ли Вы себе отчёт в том, что формулировки аксиом являются результатом не божественных откровений, а самостоятельных рассуждений?
Да.
>> как называется та процедура, которая по итогу рассуждений приводит к появлению истинного утверждения?
В итоге появляется не истинное утверждение, а утверждение, истинное при определённых условиях, то есть при допущении истинности аксиом и применимости правил вывода.
>> математики не пользуются формальной логикой
Есть автоматический вывод теорем. Но да, математики свысока смотрят на это чудо, хотя сами же его и придумали.
>> Сказанное означает, что ни одному человеку при построении теории не приходилось и не придётся воспользоваться информацией из предметной области ФЛ
Ещё как приходилось и, тем более, придётся. Я сам, будучи далёким от математики, сталкивался с необходимостью использовать такой подход. Потому что тогда вместо меня думать будет железный Феликс, что мне очень даже нужно ради экономии моего времени.
Дабы вы не придирались, немного о фразе «построение теории». Под построением можно понимать как закладку основ, так и развитие. Так вот по части развития автоматический вывод теорем — это как раз то, что доктор прописал.
Поэтому я и вам рекомендую обратить внимание на формализмы. Потому что ни полезны.
>> Дедукция опирается на общие законы, которые откуда-то берутся. Откуда?
Ниоткуда, индукцию мы вообще сейчас не трогаем — при наличии объективной возможности дедуктивного вывода любой аксиомы из других аксиом она спокойно отдыхает в сторонке и не отвлекает нас от конструктивной дискуссии.
>> Вот от этих самых аксиом, которые вы хотели доказать.
Тут неважно кто чего хочет или не хочет — факт в том что они доказываются. Вообще, при моей индифферентности к вопросам веры я испытываю довольно существенные затруднения при общении с людьми, индифферентными к фактам.
>> Поэтому аксиомы недоказуемы, ну а ваше заявление про их доказательство, видимо, было поспешным.
Вообще-то я Вам доказательство в общем виде привёл а не заявление, а судя по Вашему игнору моих вопросов правильные на них ответы известны Вам не хуже чем математикам. Поэтому с моей точки зрения поспешные выводы делаете именно Вы.
>> Вы же сами подтвердили, что «тоже не склонен забивать себе голову избыточной информацией», но тогда с чего вы взяли, что «никто ещё толком не задумывался»? Это очередной поспешный вывод.
Если бы об этом хоть чуть-чуть задумывались, то доказательство переместительного закона сложения было бы общеизвестным. Мне оно известно, как известно и то что оно тривиально. Следовательно, на эту тему никто толком не задумывался. Думаете Вы один такой слепо уверовавший в недоказуемость аксиом?
>> Поделиться не так просто.
Да я с несколькими десятками человек обсуждал этот вопрос — все как один твердят "ну-у-у… долго объяснять в общем… почитайте книжки короче — там всё написано". То что Вы снизошли до разъяснений — это уже большой прогресс.
>> Нужно вводить формализмы. А потом показывать пример вывода формальной теории. Я бы не сказал, что это просто (в смысле быстро).
Как Вам такой пример «доказательства таблицы умножения»:
Понимаю, бедноватая ФС получилась, но что изменится для «достаточно богатой» кроме навороченности перебора вариантов?
>> Чем прекрасна наша теория?
Тем что она ни о чём. С таким же успехом Вы могли назвать «теорией» формулу «a*a + b*b = c*c», не оговорив никаких подробностей. Следует ли из Ваших слов то, что теорема Пифагора не является элементом теории — ну, раз она не абстрагируется от того содержания, на которое ссылаются a b c?
>> Она неопровержима. Пока мы не оспариваем аксиомы и правило вывода — спорить с нашей теорией бесполезно.
Опровергать компьютерную программу — это как? Надеюсь Вы хоть понимаете что всё это делается ради того и только ради того, чтобы потом забить в компьютер?
>> Теперь вас заинтересовали формальные теории?
Я со школы ими интересуюсь (программист по специальности), так что можете не сомневаться в том что к формальным систем я отношусь со всем пиететом.
>> В итоге появляется не истинное утверждение, а утверждение, истинное при определённых условиях, то есть при допущении истинности аксиом и применимости правил вывода.
Если истинность переместительного закона сложения математики только допускают, а не знают об этом наверняка, значит остаётся место и для допущения обратного — что рано или поздно найдётся такая пара чисел, для которых коммутативность сложения не выполняется. Так как Вы рассуждают только философы, не имеющие ни малейшего представления о методологии приобретения математических знаний.
>> Есть автоматический вывод теорем.
Да, я в курсе. Как и о том, что сначала было доказано существование такой возможности. Людьми доказано, а не компьютером — чувствуете подвох? То есть Вы банально перепутали последовательность: сначала что-то доказывается, а потом переводится на язык компьютеров, но никак не наоборот.
>> Но да, математики свысока смотрят на это чудо, хотя сами же его и придумали.
Причина подобного «высокомерия» математиков вполне обоснована:
А по Вашим словам получается что компьютер умеет думать за человека.
>> Я сам, будучи далёким от математики, сталкивался с необходимостью использовать такой подход. Потому что тогда вместо меня думать будет железный Феликс, что мне очень даже нужно ради экономии моего времени.
Вот потому Вы и допускаете столь ламерские ошибки в суждениях, что далеки от математики. А для меня эти ваши перлы «а-ля думающий компьютер» звучат как лязг железа по стеклу, особенно когда вы начинаете настаивать на своих заблуждениях.
>> Так вот по части развития автоматический вывод теорем — это как раз то, что доктор прописал.
Ну не умеет компьютер доказывать теоремы за человека, можете Вы это наконец понять?
>> Поэтому я и вам рекомендую обратить внимание на формализмы. Потому что ни полезны.
Разве я спорю с тем что они полезны? Я говорю о том, что к теориям они не имеют никакого отношения, и полагаю что причины тому объяснил Вам исчерпывающе.
Ниоткуда, индукцию мы вообще сейчас не трогаем — при наличии объективной возможности дедуктивного вывода любой аксиомы из других аксиом она спокойно отдыхает в сторонке и не отвлекает нас от конструктивной дискуссии.
>> Вот от этих самых аксиом, которые вы хотели доказать.
Тут неважно кто чего хочет или не хочет — факт в том что они доказываются. Вообще, при моей индифферентности к вопросам веры я испытываю довольно существенные затруднения при общении с людьми, индифферентными к фактам.
>> Поэтому аксиомы недоказуемы, ну а ваше заявление про их доказательство, видимо, было поспешным.
Вообще-то я Вам доказательство в общем виде привёл а не заявление, а судя по Вашему игнору моих вопросов правильные на них ответы известны Вам не хуже чем математикам. Поэтому с моей точки зрения поспешные выводы делаете именно Вы.
>> Вы же сами подтвердили, что «тоже не склонен забивать себе голову избыточной информацией», но тогда с чего вы взяли, что «никто ещё толком не задумывался»? Это очередной поспешный вывод.
Если бы об этом хоть чуть-чуть задумывались, то доказательство переместительного закона сложения было бы общеизвестным. Мне оно известно, как известно и то что оно тривиально. Следовательно, на эту тему никто толком не задумывался. Думаете Вы один такой слепо уверовавший в недоказуемость аксиом?
>> Поделиться не так просто.
Да я с несколькими десятками человек обсуждал этот вопрос — все как один твердят "ну-у-у… долго объяснять в общем… почитайте книжки короче — там всё написано". То что Вы снизошли до разъяснений — это уже большой прогресс.
>> Нужно вводить формализмы. А потом показывать пример вывода формальной теории. Я бы не сказал, что это просто (в смысле быстро).
Как Вам такой пример «доказательства таблицы умножения»:
…
Суждение №2.2: Два умножить на два равно четыре.
Суждение №2.3: Два умножить на три равно шесть.
Суждение №2.4: Два умножить на четыре равно восемь.
Суждение №2.5: Два умножить на пять равно десять.
Суждение №2.6: Два умножить на шесть равно двенадцать.
Суждение №2.7: Два умножить на семь равно четырнадцать.
Суждение №2.8: Два умножить на восемь равно шестнадцать.
Суждение №2.9: Два умножить на девять равно восемнадцать.
…
Понимаю, бедноватая ФС получилась, но что изменится для «достаточно богатой» кроме навороченности перебора вариантов?
>> Чем прекрасна наша теория?
Тем что она ни о чём. С таким же успехом Вы могли назвать «теорией» формулу «a*a + b*b = c*c», не оговорив никаких подробностей. Следует ли из Ваших слов то, что теорема Пифагора не является элементом теории — ну, раз она не абстрагируется от того содержания, на которое ссылаются a b c?
>> Она неопровержима. Пока мы не оспариваем аксиомы и правило вывода — спорить с нашей теорией бесполезно.
Опровергать компьютерную программу — это как? Надеюсь Вы хоть понимаете что всё это делается ради того и только ради того, чтобы потом забить в компьютер?
>> Теперь вас заинтересовали формальные теории?
Я со школы ими интересуюсь (программист по специальности), так что можете не сомневаться в том что к формальным систем я отношусь со всем пиететом.
>> В итоге появляется не истинное утверждение, а утверждение, истинное при определённых условиях, то есть при допущении истинности аксиом и применимости правил вывода.
Если истинность переместительного закона сложения математики только допускают, а не знают об этом наверняка, значит остаётся место и для допущения обратного — что рано или поздно найдётся такая пара чисел, для которых коммутативность сложения не выполняется. Так как Вы рассуждают только философы, не имеющие ни малейшего представления о методологии приобретения математических знаний.
>> Есть автоматический вывод теорем.
Да, я в курсе. Как и о том, что сначала было доказано существование такой возможности. Людьми доказано, а не компьютером — чувствуете подвох? То есть Вы банально перепутали последовательность: сначала что-то доказывается, а потом переводится на язык компьютеров, но никак не наоборот.
>> Но да, математики свысока смотрят на это чудо, хотя сами же его и придумали.
Причина подобного «высокомерия» математиков вполне обоснована:
Так, общий случай решения системы линейных уравнений Гаусс получил задолго до появления информационных технологий, а для того чтобы программисту перевести алгоритм Гаусса на язык компьютеров ему необходимо полностью прогнать его в голове. То есть появление информационных технологий не привнесло в математику новых возможностей, ведь компьютеру невозможно ничего объяснить и думать за математиков он не умеет. Как следствие, задачи математики и информатики не имеют общих точек пересечения.
А по Вашим словам получается что компьютер умеет думать за человека.
>> Я сам, будучи далёким от математики, сталкивался с необходимостью использовать такой подход. Потому что тогда вместо меня думать будет железный Феликс, что мне очень даже нужно ради экономии моего времени.
Вот потому Вы и допускаете столь ламерские ошибки в суждениях, что далеки от математики. А для меня эти ваши перлы «а-ля думающий компьютер» звучат как лязг железа по стеклу, особенно когда вы начинаете настаивать на своих заблуждениях.
>> Так вот по части развития автоматический вывод теорем — это как раз то, что доктор прописал.
Ну не умеет компьютер доказывать теоремы за человека, можете Вы это наконец понять?
>> Поэтому я и вам рекомендую обратить внимание на формализмы. Потому что ни полезны.
Разве я спорю с тем что они полезны? Я говорю о том, что к теориям они не имеют никакого отношения, и полагаю что причины тому объяснил Вам исчерпывающе.
мыслью по древу
Блин. Мысью же! Белкой, а не мыслью.
Спасибо за поддержку, Вы себе даже не представляете, сколько людей, со средним а то и высшим образованием, не понимают того, что над доказательством нужно думать, даже если это переместительный закон сложения, а компьютер думать не умеет, даже если это последний писк технологий. У меня уже уши в трубочку сворачиваются от оксюморонов типа «думающий компьютер», «формальная теория», или «математики не уверены в истинности переместительного закона сложения». Хотя, с другой стороны, если бы философы так не ненавидели математику за то что там нужно сто раз подумать перед тем как уверенно о чём-то утверждать, вряд ли бы я узнал то о чём идёт речь в этой статье.
И вообще, «формальная теория» — это оксюморон. Причём это строго доказано — в статье я уделил внимание этому вопросу:
Хотелось бы всё-таки рассчитывать на минимум компетенции участников обсуждения во избежание перлов вида «дырявые теории в науке нарасхват» и прочего копипаста чужих заблуждений принимаемых на веру без предварительного анализа.
Лучше привязываться к аббревиатуре «ФС», о которой от Гёделя нам заведомо известно, что формальные системы в математике заведомо непригодны по причине заведомой неспособности обеспечить полноту теоретических построений.
Хотелось бы всё-таки рассчитывать на минимум компетенции участников обсуждения во избежание перлов вида «дырявые теории в науке нарасхват» и прочего копипаста чужих заблуждений принимаемых на веру без предварительного анализа.
Хотелось бы всё-таки рассчитывать на минимум компетенции участников обсуждения
В таком случае вам стоит освоить минимальную компетенцию автора публикации: из первого абзаца должно быть понятно, какова цель этой публикации, о чем она. Без этого условия публикацию не будут читать, какой бы прорывной и гениальной она не была (и это действует не только на хабре).
В интернете нет ни одного форума, участники которого были бы заинтересованы в получении результатов совместной научно-теоретической деятельности, поэтому мне нет смысла соблюдать эти формальности, понимая что кроме как на свои внутренние монологи рассчитывать мне больше не на что.
На Хабре всё как обычно. Не понял статью — заминусовал. Не могут вот некоторые со своим скудным умишкой просто мимо пройти. Обязательно автору нагадить надо!
Я ориентировался главным образом на критерий «наименьшей идеологизированности» информационного ресурса. Математические форумы все как один специализированы на «помощи школьнику», от научных за километр несёт казёнными штампами, за философские вообще молчу. Вот я и подумал что хабр — далеко не худший вариант где это можно опубликовать. Заодно и у себя в голове порядок навёл.
Если вы пишите статью, предполагая, что читать её будете только вы сами, но при этом выставляете на общее обозрение некоторому сообществу, то отрицательная оценка этой статьи — закономерный результат.
Зачем же вы тогда тратите свое время на то, чтобы писать что-то на форуме в интернете?
В интернете нет ни одного форума, участники которого были бы заинтересованы в получении результатов совместной научно-теоретической деятельности
Зачем же вы тогда тратите свое время на то, чтобы писать что-то на форуме в интернете?
поэтому мне нет смысла соблюдать эти формальностиДля людей, которые профессионально занимаются наукой (да и не только), эти формальности позволяют быстрей и эффективней находить полезную для них информацию.
Если вы пишите статью, предполагая, что читать её будете только вы сами, но при этом выставляете на общее обозрение некоторому сообществу, то отрицательная оценка этой статьи — закономерный результат.
Логично — может и рад бы возразить, да нечем.
Зачем же вы тогда тратите свое время на то, чтобы писать что-то на форуме в интернете?
Когда мозги начинает распирать от мыслей, приходится с этим что-то делать. К тому же можно использовать собеседников для развития этих мыслей, не спрашивая у них на то согласия.
Для людей, которые профессионально занимаются наукой (да и не только), эти формальности позволяют быстрей и эффективней находить полезную для них информацию.
Я имел в виду не «науку вообще», а отдельно взятый форум (хоть один), участники которого (простите) не переводят свои мозги на говно, а достигают результатов. Поскольку исключений из этого правила наблюдать мне ещё не приходилось, я прихожу к выводу что на совместные теоретические разработки наложен негласный запрет. О причинах могу только гадать — возможно для данного пространственно-временного сектора такой вариант не предусмотрен, и вполне допускаю что на то есть веские основания.
user_man:
Извините, пропустил Ваш вопрос мимо внимания — хоть что-то по существу написали. Ответ здесь:
То есть граф — это ни разу не геометрический объект, поскольку его графическое представление не содержит ничего кроме условных обозначений. У вектора хоть палочка соответствует тому что мы о нём понимаем (в уме только стрелочка), граф же как абстрактный информационный объект начисто лишён визуальной составляющей и содержит информацию только о связях, воспринимаемых сугубо умозрительно.
Автору вопрос — ваше неформальное определение математики как чего-то между алгеброй и геометрией как-то учитывает дискретные разделы традиционной математики? Например — графы. А от графов надо бы перейти к их сути, от которой идёт смысл понятия «отношение». Где отношения в вашем представлении математики, которая между алгеброй и геометрией?
Извините, пропустил Ваш вопрос мимо внимания — хоть что-то по существу написали. Ответ здесь:
Тогда «чисто-геометрическим» можно назвать любой объект составленный из точек и не содержащий информации о направлении их распространения, а к любому алгебраическому объекту можно применить «операцию понижения» до визуального объекта, сопроводив его условными обозначениями того что не видно глазу но видно уму
То есть граф — это ни разу не геометрический объект, поскольку его графическое представление не содержит ничего кроме условных обозначений. У вектора хоть палочка соответствует тому что мы о нём понимаем (в уме только стрелочка), граф же как абстрактный информационный объект начисто лишён визуальной составляющей и содержит информацию только о связях, воспринимаемых сугубо умозрительно.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Теория антиряда