Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Хабр доступен 24/7 благодаря поддержке друзей
Комментарии 8
Хотел поставить плюс — но по политическим причинам не могу даже комментировать.
В качестве одобрения хотя бы «поставил флажок».
В качестве одобрения хотя бы «поставил флажок».
Уважаемый автор, мне очень лестно видеть такое внимание к моей шуточной статье.
Ваша публикация заставила меня кое-что проверить и посчитать несколько интегралов по области. Мое утверждение таково: если бочонков очень много, то все варианты Вашей задачи асимптотически тождественны друг другу и правило: «больший номер на случайном шаре = большее число шаров в сундуке» будет давать верный результат сравнения содержимого двух сундуков с предельной вероятностью 75%.
Для малых значений числа бочонков Ваш результат выглядит достаточно неожиданно, чтобы его стоило проверить еще раз.
Искренне желаю удачи.
Ваша публикация заставила меня кое-что проверить и посчитать несколько интегралов по области. Мое утверждение таково: если бочонков очень много, то все варианты Вашей задачи асимптотически тождественны друг другу и правило: «больший номер на случайном шаре = большее число шаров в сундуке» будет давать верный результат сравнения содержимого двух сундуков с предельной вероятностью 75%.
Для малых значений числа бочонков Ваш результат выглядит достаточно неожиданно, чтобы его стоило проверить еще раз.
Искренне желаю удачи.
Уважаемый Сергей! В каждой шуточной статье, есть только доля шутки.
Возможно, я ошибаюсь. Асимптоту я не считал, было бы интересно посмотреть Вашу интегрируемую функцию. Ваше утверждение красивое, оно мне нравится больше моего решения, но ошибки я у себя найти не могу, увы. Будем искать.
Если можете указать где по Вашему мнению ошибка, буду очень признателен.
Спасибо, Вам тоже удачи и ждем новых статей!
Возможно, я ошибаюсь. Асимптоту я не считал, было бы интересно посмотреть Вашу интегрируемую функцию. Ваше утверждение красивое, оно мне нравится больше моего решения, но ошибки я у себя найти не могу, увы. Будем искать.
Если можете указать где по Вашему мнению ошибка, буду очень признателен.
Спасибо, Вам тоже удачи и ждем новых статей!
Давайте попробуем. У меня дома нет сканера, поэтому будет к сожалению без картинок.
Пусть количество бочонков N в мешке велико. Я рассмотрю случай, когда бочонок возвращают в мешок: все равно вероятностью достать один и тот же бочонок два раза подряд будет принебрежимо мала. В принятых условиях пространство элементарных исходов выборки двух подряд бочонков можно представить на плоскости OXY целочисленным «квадратом» дискретных точек с вершинами (1,1), (1,N), (N,N), (N,1). Все целочисленные точки (a,b) этого квадрата имеют одинаковый вероятностный вес в 1/N2. Чтобы вычислить вероятность, с которой правило: «больший номер на шаре = больше шаров в сундуке» дает верный ответ, нужно вычислить с какой вероятностью оно будет справедливо для каждого элементарного исхода на «квадрате», а затем проинтегрировать результат.
Пусть на первом бочонке выпало a, а на втором b и a>b. Во первых, все подобные пары (a,b) находятся ниже диагонали первого квадранта: y(x) = x. Во вторых каждая такая пара определяет новый случайный эксперимент — выборку шаров из двух сундуков.
Пространством элементарных исходов каждого из этих экспериментов будет целочисленный прямоугольники с вершинами (1,1), (1,b), (a,b), (a,1) и равномерной вероятностной мерой на нем. Правильный результат сравнения будет происходить на исходах, которые лежат ниже диагонали первого квадранта y(x) = x, то есть принадлежат трапеции с вершинами (1,1), (b,b), (a,b), (a,1). Таким образом вероятность получить правильный ответ при заданных a и b, когда они оба велики, с большой точностью будет равна отношению площади трапеции к площади прямоугольника, то есть величине [(a+(a-b))/2 ⋅ b] / a⋅b = 1 — b/2a = 1 — (b/N) / 2(a/N).
Понятное дело, что случай a<b приведет к симметричному выражению: 1 — (a/N) / 2(b/N). Получается, что по целочисленным почкам квадрата (1,1), (1,N), (N,N), (N,1) в области, которая лежит ниже диагонали y(x) = x, нам нужно «просуммировать» выражение 1 — (b/N) / 2(a/N), а по той, что лежит выше — выражение 1 — (a/N) / 2(b/N). Поскольку выражения симметричны, я могу посчитать только одну сумму, а затем просто умножить на 2 ее результат. Посчитать сумму значений 1 — (b/N) / 2(a/N) можно сведя ее к интегралу функции 1 — y/2x по единичной мере в треугольнике (0,0), (1,1), (1,0).
Методом повторного интегрирования вы найдете находим результат: 1/2 — 1/8, а после умножения на 2, как раз и получаем заветные 1 — 1/4 = 3/4.
Пусть количество бочонков N в мешке велико. Я рассмотрю случай, когда бочонок возвращают в мешок: все равно вероятностью достать один и тот же бочонок два раза подряд будет принебрежимо мала. В принятых условиях пространство элементарных исходов выборки двух подряд бочонков можно представить на плоскости OXY целочисленным «квадратом» дискретных точек с вершинами (1,1), (1,N), (N,N), (N,1). Все целочисленные точки (a,b) этого квадрата имеют одинаковый вероятностный вес в 1/N2. Чтобы вычислить вероятность, с которой правило: «больший номер на шаре = больше шаров в сундуке» дает верный ответ, нужно вычислить с какой вероятностью оно будет справедливо для каждого элементарного исхода на «квадрате», а затем проинтегрировать результат.
Пусть на первом бочонке выпало a, а на втором b и a>b. Во первых, все подобные пары (a,b) находятся ниже диагонали первого квадранта: y(x) = x. Во вторых каждая такая пара определяет новый случайный эксперимент — выборку шаров из двух сундуков.
Пространством элементарных исходов каждого из этих экспериментов будет целочисленный прямоугольники с вершинами (1,1), (1,b), (a,b), (a,1) и равномерной вероятностной мерой на нем. Правильный результат сравнения будет происходить на исходах, которые лежат ниже диагонали первого квадранта y(x) = x, то есть принадлежат трапеции с вершинами (1,1), (b,b), (a,b), (a,1). Таким образом вероятность получить правильный ответ при заданных a и b, когда они оба велики, с большой точностью будет равна отношению площади трапеции к площади прямоугольника, то есть величине [(a+(a-b))/2 ⋅ b] / a⋅b = 1 — b/2a = 1 — (b/N) / 2(a/N).
Понятное дело, что случай a<b приведет к симметричному выражению: 1 — (a/N) / 2(b/N). Получается, что по целочисленным почкам квадрата (1,1), (1,N), (N,N), (N,1) в области, которая лежит ниже диагонали y(x) = x, нам нужно «просуммировать» выражение 1 — (b/N) / 2(a/N), а по той, что лежит выше — выражение 1 — (a/N) / 2(b/N). Поскольку выражения симметричны, я могу посчитать только одну сумму, а затем просто умножить на 2 ее результат. Посчитать сумму значений 1 — (b/N) / 2(a/N) можно сведя ее к интегралу функции 1 — y/2x по единичной мере в треугольнике (0,0), (1,1), (1,0).
Методом повторного интегрирования вы найдете находим результат: 1/2 — 1/8, а после умножения на 2, как раз и получаем заветные 1 — 1/4 = 3/4.
Спасибо за столь наглядный пример! Очень удобно!
Нарисовал схему для Без возвращения, Равные делим 50/50.
Взял ее так как уже при N=3 вероятность опускается ниже 0,75.
Все-таки отсутствие равного количества шаров в сундуках, при выборке без возвращения имеет влияние, по всей видимости больше чем кажется на первый взгляд. Если общее количество вариантов у нас N^2, то мы лишаемся N вариантов ( варианты с равным числом шаров в сундуках).
Нарисовал схему для Без возвращения, Равные делим 50/50.
Взял ее так как уже при N=3 вероятность опускается ниже 0,75.
Все-таки отсутствие равного количества шаров в сундуках, при выборке без возвращения имеет влияние, по всей видимости больше чем кажется на первый взгляд. Если общее количество вариантов у нас N^2, то мы лишаемся N вариантов ( варианты с равным числом шаров в сундуках).
Все-таки отсутствие равного количества шаров в сундуках, при выборке без возвращения имеет влияние, по всей видимости больше чем кажется на первый взгляд. Если общее количество вариантов у нас N^2, то мы лишаемся N вариантов
Видимо это влияние и приводит к аномалиям при небольших N. Когда N растет, то отношение N к N2 стремиться к нулю и влияние возможности совпадения сходит на нет.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Каков вопрос — таков ответ: формализуя задачу мы уже предопределяем возможный ответ