В предыдущих сериях…


Прошлая статья рассказала о двух способах сложения двух двоичных чисел с плавающей запятой без потери точности. Чтобы добиться этого, мы представили сумму c=a+b в виде двух чисел (s,t)=a+b, причём таких, что s — наиболее близкое к a+b точно-представимое число, а t=(a+b)-s — это отсекаемая в результате округления часть, составляющая точную погрешность. У читателей был вопрос: а можно ли достаточно точно сложить массив чисел типа double? Оказывается, можно! Но только, вероятно, не всегда и не абсолютно… и не алгоритмом Кэхэна, который тогда вспоминали в комментариях. За подробностями прошу под кат, где мы и найдём приложение тому, о чём я рассказал в прошлый раз.




Вступление


Кому не терпится получить результат, листайте сразу вниз к разделу «Таблицы» — этот раздел можно понять без чтения теории и многословной методики тестирования. А здесь начинается описание проблемы.

Традиционно, полное содержание статьи также доступно в форме презентации с закадровым голосом:



Дело в том, что абсолютно точно сложить N чисел типа double (binary64 в IEEE-754) с сохранением суммы в типе double не получится в силу самой специфики формата с плавающей запятой. Если мы возьмём арифметику с плавающей запятой с бесконечной точностью (или даже воспользуемся рациональными числами), то при достаточном объёме памяти получим абсолютно точную сумму S массива чисел X[N]. Но эту абсолютно точную сумму нужно будет всё равно округлить к ближайшему числу типа double. Назовём эту округлённую сумму S’. Если вспомнить функцию RN(x) из предыдущей статьи, которая выполняет округление произвольного вещественного x «к ближайшему чётному», то можно сказать, что S’=RN(S), поэтому |S-S’| ≤ 0.5ulp (т. е. ошибка составляет не более половины значения младшего бита). Таким образом, об абсолютной точности мы говорить не можем, но мы будем называть число S’ — «наиболее точной суммой» (из возможных). Поэтому переформулируем наш вопрос иначе: можно ли сложить числа X[N] так, чтобы получить наиболее точную сумму S’, не пользуясь длинной арифметикой, а оставаясь лишь в рамках операций сложения с double?

Да! На случайном наборе чисел этого, вероятно, можно добиться. Я покажу один алгоритм, который мне не удалось «завалить», хотя в теории, наверное, можно придумать какие-то особенные тесты, чтобы он ошибся хотя бы на 1ulp и выдал бы неправильно хотя бы последний бит результата. Всего мы рассмотрим три алгоритма и сравним их между собой через абсолютно точную сумму S, округлённую до наиболее точной суммы S’.

Нам понадобятся два алгоритма из предыдущей статьи, и сейчас мы должны дать им названия. Я буду пользоваться синтаксисом C++, уверен, это не вызовет трудностей с переводом у любого читателя.

Первый алгоритм для двух чисел


Напомню, эти алгоритмы возвращают два числа: наиболее близкую к реальной сумму s=RN(a+b) и точную погрешность t=(a+b)-s. Данный алгоритм работает правильно только при условии |a|≥|b|, если сумма RN(a+b)≠∞.

s = RN (a+b);
z = RN (s-a);
t = RN (b-z);
return (s, t);

Я запрограммировал его на C++ вот так:

double __fastcall fast_two_sum (double &t, double a, double b) {
  double s = a+b;
  t = b-(s-a);
  return s;
}

Не забудьте, что при компилировании подобного кода нельзя применять флаги агрессивной оптимизации вычислений с плавающей запятой, потому что переставлять порядок вычислений здесь категорически нельзя. Также мне неизвестно, будут ли работать подобные конструкции на GPU, так к��к раньше (по крайней мере, на заре их применения) они могли обрабатывать числа с плавающей запятой даже близко не по Стандарту. О текущем состоянии дел мне неизвестно, прошу знающих читателей подсказать в комментариях.

Второй алгоритм для двух чисел


Этот алгоритм работает при любом соотношении между $a$ и $b$, но по-прежнему RN(a+b)≠∞. Вместо 3-х операций здесь их 6.

s = RN (a+b);
b' = RN (s-a);
a' = RN (s-b');
d_b = RN (b-b');
d_a = RN (a-a');
t = RN (d_a+d_b);
return (s, t)

В моём исполнении на C++ выглядит так:

double __fastcall two_sum (double &t, double a, double b) {
  double s = a+b;
  double bs = s-a;
  double as = s-bs;
  t = (b-bs) + (a-as);
  return s;
}

Теперь рассмотрим какие бывают варианты сложения нескольких чисел из массива. Сразу предупреждаю, что их очень много, но я взял два универсальных и наиболее интересных из книги [1], которые действительно хорошо себя показывают. На остальные алгоритмы, если вам интересно, авторы упомянутой книги дают ряд ссылок.

Обзор алгоритмов сложения


Задача. Задан массив X[N] типа double, требуется отыскать сумму всех чисел в этом массиве, сумма имеет тот же тип double.

Ниже по тексту будут представлены мои варианты реализации алгоритмов с описанием (где оно требуется). Все реализации будут опираться на псевдоним для массива чисел типа double:

using dvect_t = vector<double>;

Алгоритм 0. Абсолютно точная и наиболее точная сумма


Этот алгоритм нужен только для проверки остальных, его практический смысл лично для меня почти полностью отсутствует. Чтобы посчитать сумму чисел точно, нужна арифметика с бесконечной точностью. Это может быть длинная арифметика с плавающей запятой, а может быть длинная арифметика рациональных чисел. Я выбрал последнюю. Взял библиотеку MPIR (можно было взять и GMP) и тип данных mpq_t. Написанный в скрытом тексте код выдаёт наиболее точную сумму S’, получаемую из абсолютно точной суммы S путём правильного округления. Пропустите скрытый текст, если вы не знакомы с внутренним устройством формата double, это не помешает вам понять остальной материал.

Код алгоритма 0 и пояснения
Если нет цели получить максимальную скорость вычислений, то код может быть написан очень прямолинейно, однако далее возникает проблема. Функция mpq_get_d из библиотеки MPIR округляет число вниз, просто отрезая «лишнее» (а другой функции округления там нет). Нам нужно округлить по правилу «к ближайшему чётному», а для этого приходится совершать «танцы с бубном» над битовым представлением чисел типа double. Поэтому в коде ниже есть UB, будьте внимательны. 


using u64 = unsigned long long;
#define DAU(x) (*(u64*)(&x))  // Это UB, друзья! Перепишите как вам правильнее.

    // Наиболее близкая сумма.
    // Суммирование через рациональные дроби с бесконечной точностью.
    // Внимание, здесь танцы с UB! Проверьте, прежде чем запускать.
double __fastcall sum_exact (const dvect_t &X) {
  mpq_t s, a, b;
  mpq_inits (s, a, b, NULL);

  // Сначала нужно всё сложить
  mpq_set_d (s, 0.0); // Общая сумма дробей s = 0
  for (auto x: X) {
    mpq_set_d (a, x);  // Переводим 'x' к дроби 'a'
    mpq_add (s, s, a); // Складываем s += a.
  }

  // Теперь получаем точно-округлённый результат.
  double res = mpq_get_d (s); // Здесь округление к нулю! Это ещё не точный результат!
  
  // Достаём "бубен"...

  // Нужно на время убрать знак "минус"
  bool is_negative = res < 0.0;
  res = abs(res);
  mpq_abs (s, s);
  u64 res64 = DAU(res); // Получить битовое представление числа типа double.
  u64 res64_next = res64+1;  // Получить следующее за 'res' число в битовой форме
  double res_next;
  DAU(res_next) = res64_next;  // 'res_next' - это число, следующее за 'res'

  // Начинаем "танец"...

  mpq_set_d (a, res);      // a - точное дробное представление res
  mpq_set_d (b, res_next); // b - точное дробное представление res_next
  // В этот момент наша сумма s где-то внутри отрезка [a, b]=[res, res_next].
  mpq_sub (a, s, a);  // a - расстояние от res до s
  mpq_sub (b, b, s);  // b - расстояние от s до res_next

  // Что больше: расстояние от res до s или от s до res_next?
  if (mpq_cmp (a, b) > 0)
    res = res_next; // Если наша s ближе к правой границе отрезка.

  if ((res64&1) && mpq_cmp (a, b) == 0)
    res = res_next; // Если s по центру, но младший бит левой границы нечётный.

  mpq_clears (s, a, b, NULL);
  return is_negative ? -res : res;
}


Алгоритм 1. Наивное суммирование


Очевидный алгоритм и, пожалуй, наиболее быстрый и просторный для оптимизаций компилятора выглядит вот так:

double __fastcall sum_naive (const dvect_t &X) {
  double s = 0.0;
  for (auto x: X)  s += x;
  return s;
}

Здесь нечего пояснять.

Алгоритм 2. Kahan


double __fastcall sum_kahan (const dvect_t &X) {
  double s=0.0, c=0.0;  
  for (auto x: X) {
    double y = x + c;
    s = fast_two_sum (c, s, y);
  }
  return s;
}

Схема работы алгоритма основана на первом методе сложения двух чисел без потери точности из предыдущей статьи. «Хвостик» $c$, который получается в результате сложения текущей суммы s и очередного слагаемого, добавляется к следующему слагаемому (у=x+c), как бы компенсируя потери. Иными словами, мы не выбрасываем потерянные биты после операции сложения (s+y) на каждом шаге, а пытаемся «спасти» их, добавляя их на следующем шаге.

Внимательный читатель вспомнит, что алгоритм s=fast_two_sum(c, s, y) работает корректно только когда |s|≥|y|, что не обязательно будет именно так для беспорядочной последовательности чисел из исходного массива X. Тем не менее, компенсационные способности данного алгоритма перекрывают ошибочное срабатывание для случаев |s|<|y|, по какой причине на практике этот алгоритм чаще всего работает лучше наивного суммирования. «Завалить» его именно на случайных тестах мне не удалось, хотя подобрать специальную последовательность вполне можно (см. последнюю таблицу в статье). Также в единственной книге, на которую я ссылаюсь, приводится пример:

  
  X[0] = 18014398509481984.0; // 2**54
  X[1] = 18014398509481982.0; // 2**54-2
  X[2] = -9007199254740991.0; // -(2**53-1)
  X[3] = -9007199254740991.0; 
  X[4] = -9007199254740991.0;
  X[5] = -9007199254740991.0;

Правильный ответ 2. Алгоритм Кэхэна вернёт 3. Наивное суммирование вернёт 1. Согласитесь, это чудовищная ошибка в 50% (или 251ulp). А вот следующий алгоритм выдаст в этом случае правильный ответ.

Алгоритм 3. Rump–Ogita–Oishi


Разумный вопрос: а что если вместо первого алгоритма сложения двух чисел из предыдущей статьи взя��ь второй, который безразличен к порядку этих чисел? Этот подход применяется в алгоритме Rump–Ogita–Oishi и даёт такой код:

double __fastcall sum_rump (const dvect_t &X) {
  double s=0.0, c=0.0, e;
  for (double x: X) {
    s = two_sum (e, s, x);
    c += e;
  }
  return s+c;
}

Однако здесь авторы алгоритма решили складывать «хвостики» $e$ в отдельную переменную, что, в общем-то, логично. В конце выполняем сложение итоговой суммы и суммы всех «хвостиков». Данный алгоритм можно представить себе так, как будто мы суммируем числа не в одной переменной типа double, а как бы удваиваем её, получая своего рода «double-double», в котором не 52, а 104 бита дробной части мантиссы. Чтобы «сломать» такой алгоритм, нужно чтобы погрешность «закрыла» 52 бита. Сделать это обычными бытовыми задачами практически нереально, если только вы не складываете триллионы чисел. Впрочем, это лишь домыслы автора текста. Если можете «завалить» алгоритм, прошу показать тест в комментариях (см. этот комментарий, но это не бытовой тест).

Тестирование


Замечание о методике и способе вывода погрешности


Я прошу прощения за многословное описание методики тестирования и преподнесения результата, но если его не сделать, то найдётся очень много скептиков, которые скажут, что я что-то не то протестировал и получил не те данные, какие они получили у себя. А этим объяснением я снимаю с себя всякую ответственность за несовпадения, которые обязательно будут.

Читатель понимает, что величина N может быть произвольной, так же как произвольными могут быть числа в массиве. Поэтому совершенно ясно, что любой обзор работы алгоритмов на практике будет субъективным и неполным. Какое распределение чисел X[i] выбрать? Какими выбрать верхнюю и нижнюю границы суммируемых чисел? Сколько чисел взять для получения репрезентативного результата? Сколько случайных тестов нужно для вычисления адекватной средней погрешности?

Видите в какой трудной ситуации находится обзорщик? Стоит что-нибудь сделать неправильно, читатель найдёт к чему придраться «со своей колокольни». Поэтому я заранее предупреждаю, что мой обзор будет обусловлен исключительно моими предпочтениями выбора тестов. Они описаны рядом с таблицами ниже. Если вам нужны другие результаты (а результаты можно получить любые, всё зависит от степени предвзятости экспериментатора), вы можете создать другие тесты :)

Второе предупреждение: как подавать результат? В каких единицах его будет удобнее всего принять читателям, не нуждающимся в детальном научном исследовании? Ну, допустим, я дам вам абсолютную погрешность, которая вычисляется по формуле

$|s_{got} – s_{exact}|,$


где $s_{got}$ — сумма, полученная алгоритмами 1–3, а $s_{exact}$ — наиболее точная сумма, полученная алгоритмом 0.

Однако эта разность точного и приближённого ответа не будет информативной, потому что сильно зависит от порядка результата (порядок этот, как вы помните, может быть от -324 до +308), вам говорит о чём-нибудь число 1.23456e+224 в качестве погрешности? Вряд ли. Гораздо более информативной будет относительная погрешность:

$\frac{|s_{got} – s_{exact}|}{|s_{exact}|}\cdot 100\%$


Но и она будет представлять из себя числа, порядки которых будут очень маленькими и трудными для восприятия через ощущения человека. Смотрите сами: относительная погрешность 1.23456e-10%. Удобно?

Тогда принимают решение показывать погрешность через ulp. Напомню, что ulp(x) — это, грубо говоря, ценность последнего бита числа x. Например, для чисел x типа double на интервале [1,2) величина ulp(x)=2-52. На интервале [2,4) ulp(x)=2-51 и так далее, вырастает вдвое при каждом увеличении экспоненты числа. Такой способ описания погрешности удобен тем, что показывает относительную погрешность в единицах измерения, равных ценности одного последнего бита результата. То есть зная эту погрешность, вы можете быстро понять, условно выражаясь, сколько битов результат вы «запороли» в ходе расчётов. 1ulp — потеряли 1 бит, 2-3ulp — 2 бита, 4-7ulp — 3 бита и т. д. Здесь логарифмическая зависимость.

Чтобы получить погрешность в ulp, нужно посчитать выражение

$\frac{|s_{got} – s_{exact}|}{ulp(s_{exact})}$


На моём любимом языке UB++ функция ulp(x) для double вычисляется вот так:

    // Получить значение смещённой экспоненты для 'x' типа double
    // Внимание, здесь UB! Перепишите код, если он вам не подходит
#define GET_EXP(x) (((*(unsigned long long*)(&x))&0x7FFFFFFFFFFFFFFFULL)>>52)

    // Получить значение ULP для числа x.
double get_ulp (double x) { return ldexp (1.0, GET_EXP(x)-1075); }


Таблицы


Каждый алгоритм прогонялся на 100 тестах. Один тест — это массив X[N] из чисел типа double. При этом получалось два вида погрешностей: средняя по всем 100 тестам и максимальная по ним же. Оба эти числа указаны в каждой ячейке таблицы: сверху — средняя, снизу — максимальная погрешность. Измерение погрешности ведётся в ulp относительно наиболее точной суммы, полученной абсолютно точным алгоритмом.

Помимо массива X[N], через алгоритм также одновременно прогонялись два других массива, состоящие из этих же чисел. Один из них упорядочен по возрастанию абсолютного значения, а второй — по убыванию.

Первый набор тестов: равномерно распределённые случайные числа на интервале [1,2) в количестве N=1000. Пояснения к символам «~» «↑» и «↓» даётся ниже.

Порядок Naive Kahan Rump–Ogita–Oishi
~ 4.86
21		 0
0		 0
0
↑ 4.97
14		 0
0		 0
0
↓ 4.50
19		 0
0		 0
0

Сейчас я поясню как читать такую таблицу. Символ «~» говорит, что числа в массиве расположены хаотично. Символ «↑» — упорядочены по возрастанию. Символ «↓» — по убыванию. Верхнее число в ячейке — средняя погрешность на 100 тестах, нижнее — максимальная на них же. Как понять, например, число 19 в таблице? Оно значит, что если упорядочить 100 разных массивов по убыванию и на каждом запустить алгоритм, то максимальная погрешность на этих тестах составит 19ulp, то есть, грубо говоря, 4-5 битов «потеряли». В десятичных цифрах это будет 1-2 цифры. Если учесть, что число типа double держит почти 16 десятичных цифр, то потерю 2-х цифр в бытовых задачах можно считать несущественной. При этом в среднем на этих 100 тестах погрешность составила 4,5ulp, то есть почти одну десятичную цифру.

Теперь случайным образом назначим знак «минус» всем нашим случайным числам из интервала [1,2), чтобы положительных чисел и отрицательных стало поровну (в вероятностном смысле). Ещё к нашим символам в первом столбце таблицы мы добавляем «±» с очевидным смыслом.

Порядок Naive Kahan Rump–Ogita–Oishi
±~ 158.96
7936		 0
0		 0
0
±↑ 86.35
2560		 0
0		 0
0
±↓ 175.70
11776		 0
0		 0
0

Вот это да! Разрешили числам быть отрицательными и тут же у наивного алгоритма, что называется, почва ушла из под ног. Погрешность в 11776 ulp эквивалентна потере 4-5 десятичных цифр (13-14 битов из 52 битов дробной части мантиссы). Остальные алгоритмы по-прежнему выдают наиболее точную сумму.

Теперь увеличим объём чисел, установим N=106. Мы ожидаем рост погрешности. Ожидания, в целом, оправдываются.

Порядок Naive Kahan Rump–Ogita–Oishi
~ 143.00
562		 0
0		 0
0
↑ 126.60
473		 0
0		 0
0
↓ 161.91
482		 0
0		 0
0
±~ 2015.41
38889		 0
0		 0
0
±↑ 1520.84
33965		 0
0		 0
0
±↓ 1672.76
36513		 0
0		 0
0

Перейдём к более показательному интервалу [1e-10, 1e+10) и возьмём сразу N=106 чисел, только генерация чисел выполняется не равномерно по интервалу, а равномерно по множеству всех возможных чисел типа double на этом интервале. На целочисленном интервале [0x3ddb7cdfd9d7bdbb, 0x4202a05f20000000) (это битовая запись чисел 1e-10 и 1e+10 в формате double) выбирается целое число $a$, которое представляет собой битовую последовательность. Эту битовую последовательность мы интерпретируем как число $x$ типа double, и именно это число $x$ считаем случайным в указанном смысле. Поясню, зачем так делается. Если брать равномерное распределение чисел на математическом интервале [1e-10, 1e+10), то в основном будут попадаться числа, близкие к 1e+10, потому что их больше всего. Их в 10 раз больше, чем чисел, близких к 1e+9, а этих, в свою очередь, в 10 раз больше чем чисел, близких к 1e+8 и так далее. Если же брать числа из множества точно-представимых чисел типа double, выборка будет более репрезентативной, потому что в ней будут самые разные числа с самыми разными экспонентами. А мне это и нужно.

Порядок Naive Kahan Rump–Ogita–Oishi
~ 4277.17
4662		 0
0		 0
0
↑ 29.17
111		 0
0		 0
0
↓ 7508.68
7915		 0
0		 0
0
±~ 475.68
8221		 1.09
21		 0
0
±↑ 65.39
861		 0.01
1		 0
0
±↓ 270.34
1736		 0
0		 0
0

Как видим, ситуация стала хуже, потому что числа очень разные и ясно, что их сумма будет давать гораздо большую погрешность. Здесь даже алгоритм Кэхэна начал ошибаться. А последний алгоритм всё ещё держится.

Далее у нас экспоненциальное распределение с параметром $\lambda=0.5$ в количестве чисел N=1000. Та же картина: пока числа имеют один знак — всё в целом неплохо. Когда мы назначаем половине всех чисел знак «минус», ситуация меняется.

Порядок Naive Kahan Rump–Ogita–Oishi
~ 4.84
19		 0.01
1		 0
0
↑ 2.81
11		 0.01
1		 0
0
↓ 6.53
26		 0
0		 0
0
±~ 33.83
1650		 1.26
23		 0
0
±↑ 12.76
422		 0.31
6		 0
0
±↓ 18.54
548		 0
0		 0
0

Напоследок посмотрим на нормальное распределение $\mathcal N(0,1)$ для N=1000 чисел.

Порядок Naive Kahan Rump–Ogita–Oishi
~ 17.77
483		 1.46
61		 0
0
↑ 10.92
243		 0.34
19		 0
0
↓ 19.71
734		 0
0		 0
0

Мы видим, что если есть отрицательные числа, то наивный алгоритм начинает складывать совсем плохо. Возникает вопрос: что если складывать отдельно отрицательные числа, отдельно положительные, а затем сложить обе суммы? Ничего не будет кроме того, что станет хуже:

Порядок Всё подряд Отдельно + и –
±~ 78.65
2336		 2121.61
50048
±↑ 76.27
2496		 2465.55
66432
±↓ 52.74
480		 2863.61
99200

Напоследок я обещал показать в каком случае алгоритм Кэхэна может выдать ответ хуже, чем прямолинейное сложение. Возьмём тест, в котором X[i]=(double)cos(i), i=0..106-1. Убедитесь сами (здесь лишь один тест, поэтому не указана средняя погрешность, только максимальная):

Порядок Naive Kahan Rump–Ogita–Oishi
~ 210 522 0
↑ 410 0 0
↓ 42 0 0

Такая вот картина, друзья. Я провёл намного больше тестов, пока работал над статьёй, и сделал для себя следующие выводы.

  • Если нужно испортить сумму, получаемую наивным алгоритмом, то можно складывать отдельно положительные и отдельно отрицательные числа. Иногда, но не всегда, сортировка чисел по убыванию модуля также «ломает» наивный алгоритм, лучше сортировать по возрастанию, но и это в ряде случаев даёт более плохой результат, чем в случае хаотичного порядка.
  • Если нужно получить ожидаемо хороший результат, следует взять алгоритм Rump–Ogita–Oishi, я не нашёл случайных тестов, при которых он выдавал бы не наиболее точную сумму. Недостаток алгоритма в том, что работать он будет медленнее наивного сложения. Ускорить такой алгоритм, вероятно, можно, пользуясь битовым представлением числа с плавающей запятой и кое-какими трюками, но у нас такой задачи на этот обзор не было.
  • Алгоритм Кэхэна значительно лучше наивного суммирования и гораздо проще алгоритма Rump–Ogita–Oishi, поэтому наиболее целесообразен на практике, где точность наивного метода вам не подходит. Просто убедитесь заранее, что ваши числа не обладают какими-то экстраординарными свойствами, которые «завалят» данный алгоритм.
  • Наивное суммирование в общем-то не такое страшное, как могло показаться. Ну, подумаешь, потеряли мы 5 десятичных цифр (если N не более миллиона). Много? Если их у вас 16, то вроде бы не страшно, а если 7 (для float), то вроде бы… хотя, друзья, неужели кто-то будет складывать миллион чисел в типе float? Вы серьёзно? Это допустимо только если вам нужна одна правильная цифра, либо если массив обладает какой-то особой спецификой, и то я бы не рискнул.

Исходный код программы тестирования я не даю по следующим причинам.

  • Это творческий процесс, я создал свою субъективную схему тестирования и не считаю это научно-достоверным знанием, а потому не выношу на суд общественности. Коды алгоритмов я дал выше, если вам очень нужно, то не составит труда написать своё сравнение алгоритмов и получить свои данные.
  • Мой код не автоматизирован, чтобы его запускать для получения разных тестов, нужно ковыряться в программе и менять какие-то параметры, это просто неприлично — давать такой код. А написание полноценной системы тестирования в задачи публикации не входило.

Прошу отнестись с пониманием.

Другие приложения


У алгоритмов точного сложения двух чисел из предыдущей статьи есть и другие приложения, которые я надеюсь рассмотреть в последующих обзорах. Это вычисление скалярного произведения и значения полинома в точке. Хотя, возможно, читатель уже сам видит, как применить туда эти алгоритмы. Проблема возникает только с корректным промежуточным умножением двух чисел. И я бы не сказал, что это прямо-таки простая тема. Моя мотивация писать продолжение зависит от вашего интереса.

Благодарю за внимание и творческих вам успехов!

Продолжение: Статья о скалярном произведении.

Список источников


[1] Раздел 5.3 книги Jean-Michel Muller, “Handbook of floating-point arithmetic”, 2018.